高次多项式倒数序列初等对称函数非整性新进展

本文主要探讨的是高次多项式倒数序列的初等对称函数的整性问题。由洪绍方、骆元媛、千国有和王春林四位作者在1946年之后的工作中，特别是Erdös和Niven的原始证明基础上，进一步深入研究了这一数学领域。他们关注的核心问题是，对于任意给定的正整数m和d，是否存在无限多个正整数n，使得倒数序列1/m, 1/(m+d), ..., 1/(m+(n-1)d)中的某个初等对称函数成为整数。 Erdös和Niven在他们的经典工作中给出了一个限制，即对于任意给定的m和d，这样的整数n是有限的。然而，这个结果在Wang和Hong的最新研究成果中得到了增强。他们证明了一个关键的新定理：如果n大于等于4，那么对于任何正整数m和d，上述倒数序列的所有初等对称函数都不可能为整数。这是一个重要的进展，它扩展了对这些特殊序列整性的理解，并排除了某些情况下的可能性。 文章的焦点转向了更一般的情况，即考虑一个次数大于等于2且具有非负整系数的多项式f。作者们证明了当f(x)不是x^m（其中m至少为2且为整数）时，1/f(1), 1/f(2), ..., 1/f(n)中的任一初等对称函数都不可能是整数，除非特殊情况n=1且多项式f退化为x^m。这一结论进一步强化了对高次多项式倒数序列初等对称函数整性特性的认识，并且对这类函数的整数性质进行了严格的限定。 这篇论文的研究内容涉及到了数论中的初等对称函数、多项式理论、级数分析以及整数性问题。它不仅提供了关于特定序列的严谨数学证明，而且也为今后在类似问题上进行更深入探索奠定了基础。中图分类号O156.4表明了该研究在数学领域中的具体定位，即代数数论方向，特别是与整数性质和多项式特征相关的部分。