3.1线性变换：矩阵表示与几何应用

在3.1线性变换章节中，我们探讨了在三维图形学中如何通过矩阵来描述和操作几何体。首先，理解线性变换的概念至关重要。线性变换是一种数学函数τ(v)，它将三维向量v映射到新的三维向量τ(x', y', z')，满足特定的线性性质，即对于任意的3D向量u和v以及标量k，τ(ku) = kτ(u)。非线性变换如τ(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2)不满足这一条件，因为它不遵守比例规则。 线性变换的定义依赖于以下等式： τ(u + kv) = τ(u) + kτ(v) （公式3.2） 为了用矩阵形式表示线性变换，我们引入标准基向量i, j, k，它们分别对应于x, y, z轴。任何三维向量u都可以被分解为这些基向量的线性组合。对于线性变换τ，其作用于向量u的表达式可以写作： τ(x, y, z) = τ(xi + yj + zk) = xτ(i) + yτ(j) + zτ(k) 这里的τ(i), τ(j), τ(k)实际上是表示线性变换作用在标准基向量上的结果，即变换后的基向量。这种表示可以通过矩阵乘法来实现，因为线性组合实质上是向量与矩阵的乘法，使得公式3.3可以改写为： [τ(i)] [x] + [τ(j)] [y] + [τ(k)] [z] 这里，[τ(i)], [τ(j)], [τ(k)]是3x1的列向量，代表变换后的基向量的方向，而[x], [y], [z]是1x3行向量，代表原向量的分量。这展示了如何将线性变换转换为一个3x3的矩阵，即变换矩阵，它可以用来处理3D空间中的点和向量，实现平移、旋转和缩放等几何变换。 在后续的学习中，将重点放在如何通过矩阵-矩阵乘法将多个变换合并为一个总变换，以及如何利用XNA数学库中的函数来创建和应用这些变换矩阵。同时，还会讲解坐标系间的转换，即如何通过矩阵描述坐标变换，以便在不同的坐标系统中保持几何对象的正确位置和方向。 总结来说，3.1线性变换部分介绍了线性变换的定义、矩阵表示及其在三维图形中的应用，这对于理解和操控3D场景中的几何对象至关重要。理解并掌握这些概念，能够帮助开发者在实际项目中高效地进行3D模型的变换和渲染。