3.1线性变换:矩阵表示与几何应用
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更新于2024-08-04
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在3.1线性变换章节中,我们探讨了在三维图形学中如何通过矩阵来描述和操作几何体。首先,理解线性变换的概念至关重要。线性变换是一种数学函数τ(v),它将三维向量v映射到新的三维向量τ(x', y', z'),满足特定的线性性质,即对于任意的3D向量u和v以及标量k,τ(ku) = kτ(u)。非线性变换如τ(x, y, z) = (x^2, y^2, z^2)不满足这一条件,因为它不遵守比例规则。
线性变换的定义依赖于以下等式:
τ(u + kv) = τ(u) + kτ(v) (公式3.2)
为了用矩阵形式表示线性变换,我们引入标准基向量i, j, k,它们分别对应于x, y, z轴。任何三维向量u都可以被分解为这些基向量的线性组合。对于线性变换τ,其作用于向量u的表达式可以写作:
τ(x, y, z) = τ(xi + yj + zk) = xτ(i) + yτ(j) + zτ(k)
这里的τ(i), τ(j), τ(k)实际上是表示线性变换作用在标准基向量上的结果,即变换后的基向量。这种表示可以通过矩阵乘法来实现,因为线性组合实质上是向量与矩阵的乘法,使得公式3.3可以改写为:
[τ(i)] [x] + [τ(j)] [y] + [τ(k)] [z]
这里,[τ(i)], [τ(j)], [τ(k)]是3x1的列向量,代表变换后的基向量的方向,而[x], [y], [z]是1x3行向量,代表原向量的分量。这展示了如何将线性变换转换为一个3x3的矩阵,即变换矩阵,它可以用来处理3D空间中的点和向量,实现平移、旋转和缩放等几何变换。
在后续的学习中,将重点放在如何通过矩阵-矩阵乘法将多个变换合并为一个总变换,以及如何利用XNA数学库中的函数来创建和应用这些变换矩阵。同时,还会讲解坐标系间的转换,即如何通过矩阵描述坐标变换,以便在不同的坐标系统中保持几何对象的正确位置和方向。
总结来说,3.1线性变换部分介绍了线性变换的定义、矩阵表示及其在三维图形中的应用,这对于理解和操控3D场景中的几何对象至关重要。理解并掌握这些概念,能够帮助开发者在实际项目中高效地进行3D模型的变换和渲染。
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恽磊
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