动态规划解决广场铺砖问题——状态压缩

"状态的表示-状态压缩类型动态规划" 在动态规划中，状态的表示是解决问题的关键。在这个特定的问题中，我们面临的是一个广场铺砖的问题，涉及到一个W行H列的区域需要使用1*2的小砖进行覆盖，且砖块之间不能重叠。当W和H的值都在1到11之间时，传统的搜索算法（如深度优先搜索或广度优先搜索）由于其时间和空间复杂度较高，并不适合解决这个问题。 首先，我们注意到几个关键的性质： 1. 如果W和H都是奇数，那么无法用1*2的砖块铺满整个广场，因为每块砖覆盖的面积是偶数，而总面积是奇数。反之，如果W和H至少有一个是偶数，那么一定存在铺满广场的方法。 2. 每次铺设砖块只会改变所铺设行的上下两行的状态，不会影响更远的行。 3. 每一行的铺设方式都可以独立考虑，因为1*2的砖块只能水平方向铺满一格或者两格。 为了有效地表示广场每行的状态，我们可以使用状态压缩的方法。每行的状态可以看作是一个长度为W的01字符串，其中1表示砖块覆盖的位置，0表示未覆盖的位置。例如，状态"100100"表示一行中第二、四、五格被砖块覆盖。 动态规划的解决方案在于，我们定义f(i, s)表示铺到第i行，当前状态为s的方案数。初始化时，第一行只有一种状态即所有格子未覆盖，所以f(1, 0) = 1。最终答案是铺到最后一行且所有格子未覆盖的状态数，即f[h+1][0]。每行有2^W种可能的状态，因此我们需要计算从一种状态转变到另一种状态的方案数。这通常涉及到位操作，比如通过异或、与、或等操作来计算两个状态之间的转换可能性。 在计算f(i, s)时，我们可以枚举第i行的状态，考虑如何从上一行的状态s转换过来。对于每个新的状态，我们可以通过位操作来确定它能从哪些状态转化而来，然后累加对应的方案数。这样，我们可以递归地计算出每一行的方案数，最终得到总方案数。这种方法的时间复杂度是O(h * 2^W)，其中h是广场的高度。 状态压缩是一种有效的节省空间的技巧，特别适用于状态空间巨大的动态规划问题。在这个广场铺砖问题中，通过状态压缩和位操作，我们能够高效地计算出所有可能的铺设方案，避免了对大规模搜索树的遍历。