有两只老鼠和 n 块不同类型的奶酪，每块奶酪都只能被其中一只老鼠吃掉。 下标为 i 处的奶酪被吃掉的得分为： 如果第一只老鼠吃掉，则得分为 reward1[i] 。 如果第二只老鼠吃掉，则得分为 reward2[i] 。 给你一个正整数数组 reward1 ，一个正整数数组 reward2 ，和一个非负整数 k 。 请你返回第一只老鼠恰好吃掉 k 块奶酪的情况下，最大 得分为多少。 示例 1： 输入：reward1 = [1,1,3,4], reward2 = [4,4,1,1], k = 2 输出：15 解释：这个例子中，第一只老鼠吃掉第 2 和 3 块奶酪（下标从 0 开始），第二只老鼠吃掉第 0 和 1 块奶酪。 总得分为 4 + 4 + 3 + 4 = 15 。 15 是最高得分。

这是一道经典的动态规划问题，可以使用状态压缩和记忆化搜索来解决。具体思路如下：

1. 定义状态：用一个整数 state 表示当前已经选的奶酪集合，第 i 位表示第 i 块奶酪是否已经被选（0 表示未选，1 表示已选）。用一个整数 k 表示还需要选的奶酪数量。

2. 定义状态转移方程：设 f[state][k] 表示当前状态为 state，还需要选 k 块奶酪时的最大得分，那么状态转移方程为：

f[state][k] = max{f[state'][k-1] + sum(reward1[i] for i in unselected1) + sum(reward2[i] for i in unselected2)},

其中 state' 是 state 的一个子集（即去掉若干位的结果），unselected1 和 unselected2 分别表示第一只老鼠和第二只老鼠未选择的奶酪集合。

3. 边界条件：当 k=0 时，f[state][k] 为 0。

4. 最终答案：f[(1<<n)-1][k] 表示最终状态为所有奶酪都已经被选，还需要选 k 块奶酪时的最大得分。

时间复杂度为 O(3^n * n)，空间复杂度为 O(2^n * n)。

相关问题

有两只老鼠和 n 块不同类型的奶酪，每块奶酪都只能被其中一只老鼠吃掉。 下标为 i 处的奶酪被吃掉的得分为： 如果第一只老鼠吃掉，则得分为 reward1[i] 。 如果第二只老鼠吃掉，则得分为 reward2[i] 。 给你一个正整数数组 reward1 ，一个正整数数组 reward2 ，和一个非负整数 k 。 请你返回第一只老鼠恰好吃掉 k 块奶酪的情况下，最大 得分为多少。

这是一道经典的动态规划问题，可以使用背包问题的思路进行求解。定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 块奶酪中，第一只老鼠吃 j 块奶酪时获得的最大得分。则状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] + reward1[i], dp[i-1][j-k] + reward2[i]), k = 1,2,...,j

其中 dp[i-1][j] 表示第 i 块奶酪不被吃掉，dp[i-1][j-1] + reward1[i] 表示第 i 块奶酪被第一只老鼠吃掉，dp[i-1][j-k] + reward2[i] 表示第 i 块奶酪被第二只老鼠吃掉，其中 k 为第一只老鼠吃掉的奶酪块数。

最终的结果即为 dp[n][k]。

以下是参考代码：

def maxCheese(reward1, reward2, k):
    n = len(reward1)
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, k+1):
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
            if j == 1:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-1] + reward1[i-1])
            elif j > 1:
                for l in range(1, j+1):
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-l] + reward2[i-1])
            dp[i][j] += reward1[i-1]
    return dp[n][k]

一只的老鼠发现了一个三角形的奶酪迷言。这个迷宫有若干个小房间，每个小房间有若干块大小相等的小奶酪(每个房间至少有一块奶酪)。奶酪迷宫的构造如下:(1)奶酷迷宫一共有N行，第1行有一个小房间，第2行有两个房间，第3行有三个小房间，....第N行有N个小房间(2)所有的小房间都是从第1列开始进行排列的。(3)奶酪迷宫的入口是第1行的那个小房间。(4)由于奶酪迷宫的特殊构造，小老鼠进入一个房间后，不允许回退到上一层的房间，也不允许走到左边的房间，只允许走到右边或者下面的房间。(5)在奶酪迷宫的最后一层，每个房间都有一扇通往迷宫出口的门，且最后一层的小房间没有通往左边和右边小房间的门。 现在小老鼠已经知道了每个小房间里面有多少块小奶酪，它找到了一条可以从入口走到出口且可以得到最多小奶酪的路径。你能不能编写一个程序，输出小老鼠最多可以得到多少块小奶酪呢?java 代码

好的，我可以为您提供一个Java代码实现，如下所示：

import java.util.Scanner;

public class CheeseMaze {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入奶酪迷宫的层数N：");
        int N = input.nextInt();
        int[][] maze = new int[N][N];
        System.out.println("请依次输入每个小房间的奶酪数量：");
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                maze[i][j] = input.nextInt();
            }
        }
        int[][] dp = new int[N][N];
        dp[0][0] = maze[0][0];
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + maze[i][0];
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + maze[i][j];
            }
        }
        int max = dp[N-1][0];
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            if (dp[N-1][i] > max) {
                max = dp[N-1][i];
            }
        }
        System.out.println("小老鼠最多可以得到" + max + "块小奶酪。");
    }
}

以上代码中，我们首先输入奶酪迷宫的层数N和每个小房间的奶酪数量，然后使用动态规划算法来求解小老鼠可以得到的最大奶酪数量。具体来说，我们定义一个二维数组dp来表示小老鼠到达每个小房间时可以得到的最大奶酪数量。状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + maze[i][j]，其中maze[i][j]表示当前小房间的奶酪数量。最后，我们在dp数组的最后一行中找到最大值即可。