(
)
,0E
′
ρ
当然，
虽然经过了一系列简化，然而 是复振幅通常都是不确定的，即使知道了强度
分布，相位分布也可能是比较难预测的。 也可以通过辅助手段测量强度分布和相位分
布。 讨论圆这里，我们以平面波入射为例， 孔夫琅禾费衍射问题。这时
()
,0E
′
ρ
可用常数
代替，不妨设为 1。利用 Bessel 函数的递推关系，我们可以得到解析的圆孔夫琅禾费衍射
公式：
()
2 2
1
22
jk z jk z
kR
J
E
⎛⎞ ⎛⎞
ρρ
++
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎛⎞
⎜⎟
′
πρρπ
⎛⎞
ρ
22
2
0
,
/
zz
R
jkj
z
z e dJ e R
zzzkRz
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
ρ
⎝⎠
′′
≅− ρρ =−
⎜⎟
λλρ
⎝⎠
∫
(1.32)
即使是解析式，我们还是不能直观地感受到衍射斑的样式。下面我们利用 Matlab 给出
夫琅禾费圆孔衍射的强度分布。程序代码如下：
R=0.1;
ce(0,2*1.22*lambda/2/R*z,201);
01);
grid(r,eta);
rt(theta,rho);
*k).ˆ2/lambdaˆ2;
,max(r),0,max(Ie(:))]);
off;
1,:),’k’);
lambda=1.064e-3;
k=2*pi/lambda;
z=1.0e3;
r=linspa
eta=linspace(0,2*pi,2
[rho,theta]=mesh
[x,y]=pol2ca
Bess=besselj(1,rho*R*k/z);
Ie=4*piˆ2*Rˆ2*Bess.ˆ2./(rho
surf(x,y,Ie);
axis([-max(r),max(r),-max(r)
shading interp;box on; grid
figure;plot(x(1,:),Ie(1,:),’k’,x(101,:),Ie(10
-15 -10 -5 0 5 10 15
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
x 10
-3
1
0.8
0.9
图 1.3 夫琅禾费圆孔衍射 (孔径 0.2mm，距离 1m 远)
程序中使用了这样一个参数
1.22 / D
λ
，因为平面波假设具有最小的衍射角，这个参数
就称为衍射极限角，所以在衍射区域里，只取二倍衍射极限范围就可以大致看出小孔的衍射
6
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