1 第一题
某过程涉及两变量 x 和 y，拟分别用插值多项式和多项式拟合给出其对应规律的
近似多项式，已知 xi 与 yi 之间的对应数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 1 2
40.3
719
3 4 5
-13.3
570
6
24.8
234
7 8 9
97.4
847
10
78.2
392
y 34.6
588
14.6 -14.2
448 721
75.2 103.5
795 743
⑴请用次数分别为 3，4，5，6 的多项式拟合并给出最好近似结果 f(x)。
⑵请用插值多项式给出最好近似结果。
1.1 实验目的：
学习逼近和插值的原理和编程方法，由给出的已知点构造多项式，在某个范围内近似代
替已知点所代表的函数，以便于简化对未知函数的各种计算。
1.2 试验原理和方法：
实验原理：
拉格朗日插值法中先构造插值基础函数：𝑙
𝑘
(
𝑥
)
=
∏
𝑛
𝑗=0
𝑥
j≠k
𝑛
造出拉格朗日多项式：𝑝
𝑛
(
𝑥
)
=
∑
𝑛
𝑘=0
(
∏
𝑗=0
𝑥
j≠k
𝑥𝑥
𝑖
𝑘
𝑥
𝑖
𝑥𝑥
𝑖
𝑘
𝑥
𝑖
(
𝑘=0,1,2,⋯,𝑛
)
，然后构
)𝑓
(
𝑥
𝑘
)
。
最佳平方逼近中，设逼近函数𝑃
𝑛
(
𝑥
)
=𝑎
0
+𝑎
1
𝑥+𝑎
2
𝑥
2
+⋯+𝑎
𝑛
𝑥
𝑛
，逼近函数和真实函
𝑟
1
1
𝑥
1
𝑟
2
1
𝑥
2
数之差r=𝑃
𝑛
(
𝑥
)
𝑦，[
⋮
]=[
⋮
⋮
𝑟
𝑛
1
𝑥
𝑛
⋯
𝑥
1
𝑛
𝑎
0
𝑦
1
⋯
𝑥
𝑛
𝑎
2
][
1
] [
𝑦
2
]，即：𝒓=𝑿𝒂 𝒀，根据最小二
⋱
⋮ ⋮
⋮
𝑛
𝑎
𝑛
𝑦
𝑛
⋯ 𝑥
𝑛
2 𝑇 1 𝑇
乘准则令
∑
n
𝑖=0
𝑟
𝑖
=𝑚𝑖𝑛，可以得到𝒂=
(
𝑿𝑿
)
𝑿𝒀。
实验方法：
2
逼近法采用最佳平方逼近，依据最小二乘原则：
∑
n
𝑖=0
𝑟
𝑖
=𝑚𝑖𝑛，由已知条件采用离散
型。插值法采用拉格朗日插值法。
在逼近法中，由于是离散型的，所以法方程系数阵设计成求和。分别求出 3、4、5、6
次的多项式，逼近结果和真实值有一定差距，最小二乘正是让这些差距达到最小，理论上多
项式次数越高结果和真实值差距越小。
拉格朗日插值法中“la=la*(p-x(j))/(x(k)-x(j))”语句实现的是我们通常书写的连乘
形式拉格朗日插值多项式，但是表示不方便，而如果用“s=collect(s)”函数将其展开成降
幂排列多项式以后，由于余项问题结果会和原本的多项式有偏差，这种偏差随着 x 的增大而
增大。求出多项式后和题目中给出的参考点进行比较。
最后，选择六次最佳平方逼近多项式和拉格朗日插值多项式（九次）进行比较，选取
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