45
第
33
卷第
4
期
2014
年
12
月
《新疆师范大学学报
H
自然科学版)
Joumal of Xinjiang Nonnal University
(Natural
Sciences Edition)
Vo
I.
33 ,
No
.4
Dec.2014
一阶非线性常微分方程解的存在唯一性
努尔别克·艾孜玛洪,
木拉迪力·迪力穆拉提,
依干拜尔迪·胡达拜尔迪,
阿布都克热木·卡地尔
(新疆农业大学数理学院,新疆乌鲁木齐
830052)
摘
要:文章利用
Banach
不动点定理证明了一阶非线性常微分方程解的存在唯一位。在非线性项为元界的情况下得到
了新的解的存在唯一性条件,弱化了
Lipschitz
条件和偏导连续性条件,为研究微分方程解的存在唯一性方面提供了新的思路和
方法。
关键词
Banach
不动点;压缩映射;常微分方程
中图分类号
0175.14
,
01
77.
92
文献标识码
A
文章编号
1008-9659(
2014)
04-
∞
45-04
定义
1
设
X
是集合
,
T:X
→
X
为一映射,如果
Xo
E
X
,满足
Txo
=
町,则称耳。为映射
T
的一个不动点。
定义
2
设
(X
,
d)
为一距离空间
,
T:X
→
X.
如果存在一个常数
KE(O
,l),
使得对所有的
x
,
y
E
X
满足
不等式:
d(Tx
,Ty)
~Kd(x
,
y)
,
则称
T
是
X
上的一个压缩映射。
1922
年波兰数学家巴拿赫提出了
Banach
不动点定理。
Bα
nach
不动点定理是泛函分析中最常用的一个
存在唯一性定理。最经典形式为:
定理
1
[1]
设
X
是完备的距离空间
,
T:X
→
X
是压缩映射,则
T
有唯一不动点,或者方程
Ax
=x
在完备空
间
X
中有唯一解。
这一定理有着及其广泛的应用,像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一
性问题均可以归结为此定理的推论[
1-3]
直到现在都是人们关注的重要结论之一。最近也有不少作者给出
了对
Ban
α
ch
,
不动点定理在微分方程解的存在性方面的研究成果
[4
飞
考虑初值问题
(丰
=f(x
,U(X) )
dx".....
(1)
u(xo)
= U
o
其中
f(x
,
y)
是矩形区域
s
= 1
(耳
,
u)
: I x -
Xo
I
运
h
,
I u - U
o
I
运
r)
上的二元函数。对于常微分方程(
1)
最
经典的解的存在唯一性结论为:
定理
2[2]
设
f(
耳
,
u)
在矩形区域
S
连续、关于
U
满足
Lipschitz
条件(即存在常数
K
,
有
I
f(
x ,
u)
-
f(
x ,
盯)
I
运
KI
u-vl)o
记
M
=
Sups
I
f(
耳
,
u)
I
,如果
h
< min 1 r / M ,
11
圳,则初值问题(1)有唯一解。
定理
3[3]
设
f(x
,
u)
与偏导数
λ
(x
,
u)
在矩形区域
S
连续,记
L
=
SUPR
Iλ(
耳
,
u)
I ,m =
SUPR
I
f(x
,
u)
I ,
如果
o
<
h:::
三
r
,
h'm<r
,
h.L<I
,
则初值问题有唯→解。
[收稿日期
1
2014-09-28
[基金项目]新疆农业大学紧缺人才专业大学生创新项目和新疆农业大学校前期课题
(XJAU201211
)。
[作者简介]努尔别克·艾孜玛洪
(1979-)
,男(维吾尔族)
,新疆伊犁人,硕士,主要从事泛函分析、临界点理论、微分方程等方面的研究。