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2 二维 Copula 函数理论
二维 Copula 函数应用广泛,它是由 2 个随机变量 X
、
Y 构成的联合分布函数 F
θ
(x
,
y)
[ 6]
,边
缘分布函数分别为 F
1
(x)和 F
2
(y),其中 x∈[0,1],y∈[0,1]。在对参数 θ 估计时
[ 12]
,首先计算
Kendall 相关系数 τ,然后采用非参数估计法对 Copula 函数参数 θ 进行估计
[ 13]
。
2.1 Copula 函数的类型及参数估计
Copula 函数大致可分为 Archimedean 型、椭圆型和二次型
[ 14]
,本文选用结构简单、适应性强
的二维 Archimedean Copula 函数构建了淮河中下游水沙联合分布模型。最常用的 Archimedean
型 Copula 函数二维联合分布模型有以下 3 种,具体的表达式及参数关系见表 1。
表 1 3 种常见的 Archimedean Copula 函数
Table 1 Three common Archimedean Copula functions
Cθ(u,v)=exp{−[(−lnu)θ+(−lnv)θ]1/
θ} Cθ(u,v)=exp--lnuθ+(-
lnv)θ1/θ
Cθ(u,v)=(u−θ+v−θ−1)−1/θ Cθ(u,v)=
(u-θ+v-θ-1)-1/θ
Cθ(u,v)=−ln[1+(e−θu−1)(e−θv−1)/(e−θ−1
)] θCθ(u,v)=-ln1+e-θu-1e-θv-1/e-
θ-1 θ
τ=1+4θ[1θ∫10texp(t)dt−1]τ=1+4θ1
θ∫01texp(t)dt-1
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由表 1 中的 Copula 函数的参数 θ 与 Kendall 相关系数 τ 之间的关系来估计,其中 Kendall 秩相
关系数表示为
τ=(C2n)−1∑i<jsign[(xi−xj)(yi−yj)]τ=(Cn2)-1∑i<jsign[(xi-xj)(yi-yj)]
式中:C2n表示 组 合 数 , n 由具体数据个数决定;(xi,yi)是随 机 变 量 X
、
Y 的实 测 值 ; i,j=1,2,…,n;
sign(∙)是符号函数,表达式如下式所示:
sign[(xi−xj)(yi−yj)]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1 , (xi−xj)(yi−yj)>00 , (xi−xj)(yi−yj)=0−1 , (xi−xj)(yi−yj
)<0sign[(xi-xj)(yi-yj)]=1 , (xi-xj)(yi-yj)>00 , (xi-xj)(yi-yj)=0-1 ,
(xi-xj)(yi-yj)<0
Kendall 秩相关系数 τ 值越大,表示变量之间的相关性越显著。
2.2 Copula 函数的选择
在利用多种 Copula 函数对二维联合分布进行拟合后,需采用拟合优度检验指标进行优选,确定最
优拟 合 Copula 函数,常用方法有均 方 根 误 差 准 则法(root mean square error,RMSE)、赤