色散方程Ut=αUxxx的三层显式差分格式研究

"色散方程ut=auxxx的两类显式差分格式 (1994年) - 四川大学学报(自然科学版)，黎益" 本文详细探讨了色散方程\( u_t = au_{xxx} \)的数值解方法，其中\( a \)为常数，可能是正也可能为负。作者黎益针对该方程构造了两种类型的显式差分格式，每种格式含有双参数，并且在中间层为奇数点(K为奇数)和偶数点(K为偶数)的三层结构。这些格式具有二阶精度，意味着它们能够捕捉到物理现象的精细细节，而误差与时间和空间步长成比例，即\( O(\tau h^2) \)，其中\( \tau \)表示时间步长，\( h \)表示空间步长。 对于色散方程的数值解，通常的显式差分格式具有特定的节点数量，文中提及的"[(点格式"是一种特殊形式，其结构如下： \[ U^{n+1}_j = \sum\limits_{i=-q}^{p} \omega_i U^{n}_j + \omega_0 U^n_{j+\frac{1}{2}} \] 其中，\( p \)和\( q \)是常数，\( \omega_i \)是权重系数，\( U^n_j \)代表在时间步\( n \)和空间位置\( j \)的解的近似值。这种格式的层数为\( [( = q-p+1 \)。文献表明，增加层数\( K \)可以改善格式的稳定性。 文章提出了两类新的显式差分格式，它们依赖于两个参数，并且通过选择特定的函数表达式，利用0.618法（一种优化方法）来优化单参数，得到了四点至九点格式的最优稳定条件。这些条件包括： - \( \frac{\alpha \tau}{h^3} < O.25 \)（2.10） - \( \frac{\alpha \tau}{h^3} < O.7016 \)（2.2） - \( \frac{\alpha \tau}{h^3} < 1.3575 \)（2.7） - \( \frac{\alpha \tau}{h^3} < 2.3945 \)（2.3） - \( \frac{\alpha \tau}{h^3} < 4.0111 \)（2.5） 其中，\( \alpha \)是色散项的系数。这些稳定条件对于理解如何选择合适的步长以确保数值解的稳定性至关重要。 文章还指出，对于一阶精度的格式或者假设方程解具有周期性的特殊情况，稳定条件可以显著放宽。然而，一个尚未解决的问题是，是否可以通过优化双参数的方法构建出比上述稳定条件更好的"J(点格式"。 本文为色散方程的数值模拟提供了新的差分格式和优化方法，对理解和改进数值解的稳定性和精度有着重要的理论贡献。