易验证,P(A|B)符合概率定义的三条公理,即:
1° 对于任一事件 A,有 P(A|B)≥0;
2° P(Ω|B)=1;
3°
其中 A
1
,A
2
,…,A
n
,…为两两互不相容事件.
这说明条件概率符合定义 1.3 中概率应满足的三个条件,故对概率已证明的结果都适
用于条件概率.例如,对于任意事件 A
1
,A
2
,有
P(A
1
∪A
2
|B)=P(A
1
|B)+P(A
2
|B)-P(A
1
A
2
|B)
又如,对于任意事件 A,有
P( |B)=1-P(A|B).
例 1.12 某电子元件厂有职工 180 人,男职工有 100 人,女职工有 80 人,男女职工中
非熟练工人分别有 20 人与 5 人.现从该厂中任选一名职工,求: ( 1) 该 职
工为非熟练工人的概率是多少?(2) 若已知被选出的是女职工,她是非熟练工人的概率
又是多少?
解 题(1)的求解我们已很熟悉,设 A 表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件,则
P(A)=25/180=5/36
而题(2)的条件有所不同,它增加了一个附加的条件,已知被选出的是女职工,记
“选出女职工”为事件 B,则题(2)就是要求出“在已知 B 事件发生的条件下 A 事件发生的概
率”,这就要用到条件概率公式,有
P(A|B) =P(AB)/P(B)/=(5/180)/(80/180)= 1/16
此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做,既然已知选出的是女职工,那么男职工就
可排除在考虑范围之外,因此“B 已发生条件下的事件 A”就相当于在全部女职工中任选一人,
并选出了非熟练工人.从而 Ω
B
样本点总数不是原样本空间 Ω 的 180 人,而是全体女职工人
数 80 人,而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数 5 人,因此所求概
率为
P(A|B)=5/80=1/16
例 1.13 某科动物出生之后活到 20 岁的概率为 0.7,活到 25 岁的概率为 0.56,求现年为
20 岁的动物活到 25 岁的概率.
解 设 A 表示“活到 20 岁以上”的事件,B 表示“活到 25 岁以上”的事件,则有
P(A)=0.7,P(B)=0.56 且 B A.
得 P(B|A)=P(AB)/P(A) =P(B)/P(A) =0.56/0.7=0.8.
例 1.14 一盒中装有 5 只产品,其中有 3 只正品,2 只次品,从中取产品两次,每次取
一只,作不放回抽样,求在第一次取到正品条件下,第二次取到的也是正品的概率.
解 设 A 表示“第一次取到正品”的事件,B 表示“第二次取到正品”的事件
由条件得
P(A)=(3×4)/(5×4)= 3/5,
P(AB)= (3×2)/(5×4)= 3/10,
故有 P(B|A)=P(AB)/P(A)=(3/10)/( 3/5)= 1/2.
此题也可按产品编号来做,设 1,2,3 号为正品,4,5 号为次品,则样本空间为
Ω={1,2,3,4,5},若 A 已发生,即在 1,2,3 中抽走一个,于是第二次抽取所有可能
结果的集合中共有 4 只产品,其中有 2 只正品,故得
P(B|A)=2/4=1/2.
2.乘法定理