两台机器流水作业调度优化:动态规划与Johnson法则解析
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更新于2024-08-04
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"这篇内容主要讨论的是流水作业调度问题,特别是使用动态规划方法和Johnson法则来寻找最优解决方案。问题背景是n个作业需要在两台机器M1和M2上依次加工,每台机器的加工时间不同。目标是最小化从开始到所有作业在M2上加工完成的总时间。文章通过分析表明该问题具有最优子结构,并介绍了动态规划的求解思路。"
在流水作业调度问题中,动态规划是一种有效的解决策略。问题的核心在于确定作业的最优加工顺序,以减少总的完成时间。这里,我们有两个关键点:
1. **最优子结构**:问题的最优解可以通过组合子问题的最优解来获得。在这个问题中,如果π是n个作业的最优调度,那么除第一个作业外的剩余作业S={2, 3, ..., n}也应该有一个最优调度π'。这个性质允许我们通过逐步构建更小规模的子问题,最终得到全局最优解。
2. **动态规划算法设计**:为了实现动态规划求解,我们可以建立一个二维数组T[S, t],表示在处理作业集合S且M2已有等待时间t时,完成这些作业所需的最短时间。初始状态是T[空集, 0]=0,因为没有作业也没有等待时间。然后,对于每个非空子集S和每个可能的等待时间t,我们寻找一个作业i,使得在M1上的加工时间ai加上在M2的等待时间t后的T[S-{i}, max{t-ai, 0}]最小,这便是T[S, t]的值。通过遍历所有可能的S和t,最后得到的T[N, 0]就是整个问题的最优解。
动态规划方法的关键步骤包括:
- **状态定义**:定义状态T[S, t],表示处理集合S时,M2等待时间t的最短完成时间。
- **状态转移方程**:T[S, t] = min{i| T[S-{i}, max{t-ai, 0}] + ai},其中i遍历集合S的所有元素。
- **初始化**:T[空集, 0] = 0。
- **边界条件**:当S只有一个元素时,T[S, t] = ai + max{t-ai, 0}。
- **递推计算**:自底向上填充T数组,从单个作业的子问题扩展到全部作业。
- **最优解**:T[N, 0]即为所求的最小总时间。
通过这样的过程,我们可以系统地探索所有可能的调度组合,确保找到最佳的加工顺序。Johnson法则通常用于解决更复杂的情况,例如多于两台机器的流水线调度,但在这个两机器的问题中,动态规划已经足够解决问题。
总结来说,流水作业调度问题是一个典型的优化问题,动态规划提供了一种系统化的解决方案,利用最优子结构特性逐步分解问题,确保能找到全局最优解。在实际应用中,动态规划可以有效地应用于各种调度和排列问题,帮助决策者制定最优策略。
2020-04-17 上传
2023-09-07 上传
2023-09-09 上传
2023-07-28 上传
2023-05-26 上传
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2023-12-29 上传
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梁肖松
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