非线性微分方程多项式逼近：方法与应用

本文是一篇深入探讨大数据背景下非线性常微分方程多项式逼近的学术论文。作者针对复杂的非线性系统，提出了在原有线性逼近方法的基础上发展出的多项式逼近策略。论文主要分为四个部分： 1. 引言：文章开篇强调了在数学各个领域中，用简单的对象（如微分方程）逼近复杂问题的重要性。作者将焦点集中在如何通过线性方程来近似非线性微分方程，尤其是对于那些物理系统模型，如形式为y'(t) = f(y(t))的系统，通过变量替换将其转化为一组线性化方程。 2. 已有方法：第二章详细介绍了几种常见的逼近方法，包括经典线性逼近，它通常假设非线性函数的局部线性特性；以及最小二乘线性逼近，这是一种通过最小化残差来逼近的线性化方法。特别是，章节还着重展示了在纯量情况下最小二乘逼近的具体结果，并推广至依赖于初值的一族逼近族。 3. 最佳平方多项式逼近：在第三章，作者探讨了多项式逼近非线性常微分方程的方法，提出了最佳平方逼近算法。这部分不仅包含了逼近过程的详细步骤，还证明了逼近序列的收敛性。此外，作者讨论了逼近的阶以及逼近解与数值解之间的误差关系，这有助于评估逼近的精确度。 4. 数值例子：第四章提供了实际应用中的数值例子，通过对比多项式逼近与其他经典线性化方法（如最小二乘线性逼近），展示了多项式逼近能得到更优解的性能。这些例子直观地展示了多项式逼近在实际问题中的优势。 论文的关键词包括非线性系统、最小二乘多项式逼近，突出了该研究的核心内容。本文是一篇结合大数据背景，深入研究非线性微分方程数值分析的技术文献，对理解和解决实际工程中的非线性问题具有重要参考价值。