轴对称有限元刚度矩阵精确积分方法探讨

"轴对称有限元刚度矩阵的精确积分" 轴对称有限元方法是解决轴对称问题的一种常用工具，特别是在结构力学和热力学分析中。文章主要讨论了在利用有限元方法分析轴对称问题时，如何对线性位移函数的刚度矩阵进行精确积分，以提高计算精度。 轴对称问题通常涉及圆柱形或球形结构，其特点是问题的几何形状和物理性质在某个轴线上保持对称。在有限元分析中，采用线性位移插值函数的三角形单元是常见的离散化手段。然而，当处理这种问题时，单元刚度矩阵会出现涉及径向距离 \( r \) 的奇异积分，如式 (1) 所示，这在 \( r = 0 \) 处可能导致计算困难。 文章中提到了几种处理这种奇异积分的方法。首先，Zienkiewicz 在其著作中曾给出过精确积分公式，但由于在某些情况下简单近似积分可能更优，因此在后续版本中被删除。郭仲衡指出了当三角形单元的边与轴对称轴平行时，采用的计算公式会导致错误，并给出了修正方案。钱伟长则建议改用周向应变 \( E_{\theta} \) 作为独立变量，以避免在 \( r = 0 \) 处积分的困难。然而，谢志成等人发现对于有小尺寸中心孔的轴对称体，使用钱伟长的方法也会遇到问题。 文章的重点在于介绍如何处理这些特殊情况下的精确积分。虽然奇异积分的精确公式已在文献中广泛存在，但实际计算时需要特别注意各种边界条件和几何特征。例如，当三角形单元的一条边位于 \( z \) 轴上时，积分会发散，需要采取适当的修正。作者强调轴对称问题在对称轴处的“奇异性”并非物理上的，而是可以消除的数学问题，因此线性位移模式的轴对称有限元方法仍然适用。 在实际应用中，处理这些奇异积分的关键在于选择合适的积分路径和区域，以及对边界条件的正确处理。文章并未在此提供详细的计算公式，而是重点阐述了处理过程和可能遇到的问题，旨在为轴对称问题的有限元分析提供指导。 这篇论文探讨了轴对称问题的有限元分析中精确积分的必要性和特殊处理方法，对从事相关领域研究和工程实践的专业人士有着重要的参考价值。通过精确积分，可以提高计算的准确性和可靠性，尤其是在处理包含对称轴附近复杂行为的结构时。