抽象代数基础：半群、幺半群与群的概念与应用

"该资料涉及半群、幺半群和群的概念及其在计算机科学中的应用。" 在计算机科学中，抽象代数是不可或缺的基础理论，特别是对于理解自动机理论、形式语言和信息编码等领域。本资料主要围绕半群、幺半群和群这些二元代数结构展开讨论。 半群是一个代数结构，由一个集合S和在S上定义的一个二元运算*组成，这个运算满足结合律，即对于任意的a, b, c ∈ S，都有(a * b) * c = a * (b * c)。在半群中，通常用简洁的记号ab来表示a * b。此外，还定义了与运算*相关的集合操作，如aH表示集合H中所有元素与a的运算结果集合，Ha表示H中元素与a的运算结果集合，而HK表示H与K的运算结果集合。 交换半群是满足运算*可交换的半群，即对于所有a, b ∈ S，有a * b = b * a。在日常数学中，加法和乘法运算就是典型的交换半群例子。 幺半群是在半群的基础上引入了一个幺元e，使得对于所有的a ∈ S，有a * e = e * a = a。幺半群的幺元e提供了一个“身份”元素，使得任何元素与之运算都不会改变原有元素的值。如果运算*还是可交换的，那么幺半群就成为交换幺半群。例如，整数集合上的加法和乘法运算分别带有幺元0和1，形成交换幺半群。 在半群和幺半群中，如果还存在一个逆元运算，即对于每个元素a ∈ S，都存在一个元素a'使得a * a' = a' * a = e，那么这样的结构就成为群。群的概念在计算机科学中广泛应用于算法设计、数据结构和密码学等领域。 举例来说，一个字母表∑上的字可以构成半群，通过字的连接运算形成新的字。在整数集合上，加法和乘法运算分别构成交换幺半群，而集合的并运算和交运算在集合上构成交换幺半群。此外，函数集合上的合成运算以及关系集合上的复合运算也能形成幺半群。 通过学习这些基本的代数结构，学生可以提高抽象思维能力和逻辑推理能力，掌握一种通用的数学工具，这对计算机科学的学习和实践有着深远的影响。本书提供的丰富例题和习题旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念，适用于计算机专业的本科生学习，同时也适合其他工程技术人员自我提升。