理解线性回归：最小二乘法与正则化

"这篇文档详细介绍了线性回归的基本概念，特别是最小二乘法的理论及其几何意义，并讨论了线性回归中的正则化方法，包括L1正则化（Lasso）和L2正则化（岭回归）。文档通过实例解释了如何用线性回归模型去拟合数据点，并用矩阵形式表达损失函数，为理解线性回归的优化过程提供了清晰的数学框架。" 线性回归是一种广泛应用于预测和数据分析的统计学方法，其目标是找到一条最佳拟合线（在多维空间中可能是超平面）来描述因变量与一个或多个自变量之间的关系。在机器学习领域，线性回归是基础的监督学习算法之一。 1. 最小二乘法：这是解决线性回归问题的常用方法，旨在最小化预测值与真实值之间的残差平方和。在几何上，最小二乘法相当于找到穿过数据点的直线，使得所有数据点到直线的垂直距离（即残差）的平方和最小。矩阵表达形式使这一过程更为简洁，便于计算。 2. 极大似然估计：从概率角度来看，最小二乘法可以视为假设噪声服从高斯分布时的极大似然估计。这意味着我们寻找的是使得数据点出现概率最大的参数值。 3. 正则化：线性回归模型可能会遇到过拟合问题，即模型过于复杂，对训练数据过度拟合，而对新数据的泛化能力下降。为了解决这个问题，引入了正则化。L1正则化（Lasso）鼓励模型参数稀疏，能产生具有较少非零系数的模型，有助于特征选择；L2正则化（岭回归）则通过添加一个L2范数项来平滑参数，防止模型过拟合，但不会产生完全为零的参数。 4. 损失函数与矩阵表示：损失函数通常是预测值与实际值之差的平方和，矩阵表示形式为(Xw - y)T(Xw - y)，其中X是数据矩阵，w是权重向量，y是目标变量。通过求解损失函数对w的偏导数并令其等于0，可以找到最小化损失的w值，这在数值优化方法中通常通过梯度下降或其他优化算法实现。 5. 线性模型的表达：线性回归模型一般写作y = wx + b，其中y是预测值，x是输入特征，w是权重，b是偏置项。在矩阵形式中，可以将偏置项整合到特征矩阵的第一列，形成带有全一列的扩展特征矩阵，简化模型表示。 线性回归是一个基本但强大的工具，用于理解和预测连续变量。通过最小二乘法、正则化以及矩阵运算，我们可以构建和优化模型，以适应各种实际问题。在机器学习和数据分析中，理解这些基本概念对于建立有效的预测模型至关重要。