一维间断Galerkin有限元方法：Rosenbrock型指数积分应用

"基于Rosenbrock型指数积分的一维间断Galerkin有限元方法 (2013年)，作者：陈业飞、李文成、邓子辰" 本文主要探讨了一种新颖的一维间断Galerkin有限元方法，该方法结合了Rosenbrock型指数积分技术。Rosenbrock型指数积分方法在时间域中被采用，而空间域则利用间断有限元方法进行离散。这种结合不仅保留了空间离散的高精度特性，还充分利用了指数时间积分方法的优势，即能够进行显式的大时间步长推进，这对于解决需要长时间模拟的问题尤其有利。 间断Galerkin有限元方法（Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DG）起源于1978年，最初用于解决中子输运方程。在过去的几十年里，DG方法得到了广泛的研究和发展，尤其是在处理非线性方程和高阶偏微分方程方面。Shu和Cockburn等人提出的TVD和TVB的Runge-Kutta DG方法以及局部DG方法极大地扩展了其应用范围，包括解决流体力学、超高声速流和渗流流场等问题。DG方法的一大优点在于其灵活性，它允许在不同的元素间使用不连续的解，这在处理物理现象中的不连续性和复杂边界条件时非常有效。 Rosenbrock型指数积分方法是一种高级的时间积分策略，它能有效地处理复杂的动态系统，并且可以避免传统隐式方法中的线性求解步骤，从而实现更快的计算速度。在本文中，这种时间积分方法与DG空间离散相结合，形成了一种高效的数值算法，对于一维双曲守恒律问题，它表现出了良好的性能和稳定性。 数值试验的结果证实了该方法的有效性。通过对比分析和实际问题的模拟，证明了该方法在处理一维双曲守恒律问题时，既能保持高精度，又能实现长时步的数值推进，这在解决需要长期追踪物理过程的问题时具有显著优势。 此外，DG方法与自适应网格和多重网格方法的结合，进一步增强了其在解决复杂工程问题时的能力。自适应网格可以根据需要在问题的特定区域细化或粗化，从而提高计算效率；而多重网格方法则可以加速解的收敛，减少计算时间和内存需求。 这篇论文提出了一种创新的数值方法，将Rosenbrock型指数积分与间断Galerkin有限元方法相结合，为解决一维双曲守恒律问题提供了新的工具，对于未来的数值模拟研究和工程应用具有重要价值。这一方法的提出，展示了在数值分析领域中，结合不同理论和技术的可能性和潜力，对于推动相关领域的理论发展和实际应用具有积极意义。