理解核函数：从多项式空间到内积转换

"这篇讲义主要探讨了机器学习中的核函数概念，特别关注了多项式空间和多项式核函数。" 在机器学习领域，核函数是一个关键的概念，它允许我们将数据从原始特征空间映射到一个高维的特征空间，使得在高维空间中的线性模型能够在原始空间中实现非线性分类或回归。讲义首先定义了核函数，并指出它是正定函数，意味着它能够确保映射到希尔伯特空间后保持内积的性质。 定义1.1阐述了核函数的基本特性，即存在一个从输入空间到希尔伯特空间的映射，使得在希尔伯特空间内的内积等同于原始空间中经过核函数转换后的内积。这个映射允许我们在不实际计算高维空间向量的情况下，利用核函数来执行计算，从而避免了“维数灾难”。 接着，讲义介绍了d阶多项式，这些多项式是特征空间中的基本元素，可以用来构建复杂的非线性模型。特别是对于二维空间中的模式，2阶有序齐次多项式空间被提出，它由四个有序单项式构成，这四个单项式共同构成了一个4维空间。映射函数将原始空间的点映射到这个多项式空间，当维度增加时，映射的维数会迅速膨胀，导致计算复杂度剧增。 为了解决这一问题，讲义提出了核函数的应用。例如，对于2阶多项式空间，通过特定的核函数，可以将高维空间的内积转换为原始空间中向量内积的平方，有效地避免了直接在高维空间进行操作。定理1.1进一步扩展了这个思想，给出了对于更一般情况的映射，即从[pic]到[pic]阶有序多项式空间[pic]的映射，展示了如何在多项式空间中计算内积，而无需实际进入高维空间。 这个定理的意义在于，它提供了一种计算复杂性更低的替代方法，即通过核函数计算内积，这在实践中对于构建和支持向量机(SVM)等机器学习算法至关重要。通过使用核函数，我们可以处理非线性问题，同时保持算法的高效性，这是机器学习领域的一个重要突破。