椭圆最优控制问题的最大模估计：混合有限元方法

"该资源是一篇2011年发表在湘潭大学自然科学学报上的学术论文，主题聚焦于一类椭圆最优控制问题的最大模估计，采用混合有限元方法进行研究。作者是邢小青和陈艳萍，来自华南师范大学数学科学学院。论文中，他们利用最低阶的Raviart-Thomas混合有限元空间来近似状态变量和对偶状态变量，用分片常数函数近似控制变量，并通过引入投影算子建立了对偶状态变量与控制变量的关系，从而得到了最优阶的误差估计。文章最后还提供了数值算例以验证理论结果。" 在本文中，作者探讨了椭圆最优控制问题，这是一个在工程优化、系统控制等领域具有广泛应用的数学模型。椭圆最优控制问题涉及找到一个控制函数，使得某个性能指标（如能量、成本等）达到最小，同时满足一定的动态约束，这些约束通常由偏微分方程（在这个例子中是椭圆型的）表述。 混合有限元方法是一种数值求解偏微分方程的方法，它通过将连续问题转化为一组离散的代数方程来处理。在这个特定的问题中，使用最低阶的Raviart-Thomas混合有限元空间意味着状态变量和对偶状态变量的近似在空间上是线性的，这降低了计算复杂性，但可能会影响精度。 控制变量被近似为分片常数函数，这意味着在每个有限元区域内，控制函数是常数，这种方法简化了问题的离散形式，但可能导致控制的连续性较差。 关键创新在于引入投影算子，这个算子帮助作者建立了对偶状态变量（即拉格朗日乘子）和控制变量之间的联系。通过对这个关系的分析，他们能够推导出关于状态变量和控制变量的最优阶误差估计，这是数值方法中的重要指标，因为它表明了方法的收敛速度和精度。 最后，数值算例的提供是为了验证理论分析的正确性和实用性，它们通常包括具体的数值计算和结果对比，以展示理论预测与实际解之间的吻合程度。这样的实践验证对于理论结果的可信度至关重要。 这篇论文对椭圆最优控制问题的研究做出了贡献，不仅在理论上发展了新的误差估计方法，还在实践中提供了数值示例，为后续研究者提供了参考和指导。其工作对于理解并改进控制策略，特别是在处理复杂系统的优化问题时，具有重要的理论和应用价值。