结构型单调变分不等式的新下降LQP交替方向法

"这篇论文是‘首发论文’，由龙林鹤和刘金魁共同撰写，探讨了求解结构型单调变分不等式的新方法——下降型LQP交替方向法。该方法应用于解决数学优化领域中的特定问题，具体涉及变分不等式、预测校正法和下降方向的选择。文章还讨论了算法的全局收敛性，并通过数值实验验证其有效性。" 本文主要介绍了针对结构型单调变分不等式问题的一种新颖的求解策略——下降型LQP（Logarithmic-Quadratic-Proximal）交替方向法。在优化理论中，变分不等式是一类重要的非线性问题，通常出现在经济学、工程学及机器学习等多个领域。结构型单调变分不等式具有可分特性，使得问题的复杂度在一定程度上得以降低。 下降型LQP交替方向法由预测步和校正步两部分组成。预测步采用LQP交替方向法的迭代格式生成预测点，这种方法能够有效地处理多变量优化问题，尤其在变量之间有分离结构时。预测点的选择基于一个新的下降方向，这个方向旨在保证每一步迭代都能沿着负梯度方向减少目标函数的值。 在校正步中，新方法采用预测点与前一迭代点的凸组合来构建新的校正点。这种设计是为了确保算法的收敛性和优化效果。在算法分析中，作者给出了选择最优步长的方法，这对于保证算法的效率和稳定性至关重要。 在适当的假设条件下，论文证明了所提算法的全局收敛性，这意味着无论初始点如何选择，算法都能保证在有限步后收敛到问题的解。全局收敛性是优化算法的一个重要属性，确保算法在各种情况下都能找到有效的解决方案。 最后，通过数值实验，作者展示了该算法相对于其他方法在解决实际问题时表现出的优越性。这些实验结果不仅验证了理论分析的正确性，也为算法的实际应用提供了支持。 这篇论文提出了一种创新的求解结构型单调变分不等式的算法，它结合了预测和校正的思想，以及LQP函数的特点，有效地解决了这类问题，并通过实证分析证明了其有效性和广泛的应用前景。对于优化理论和算法设计的研究者，以及在相关领域工作的人来说，这是一个有价值的参考资源。