特征值与特征向量的定义及求法；特征子空间与特征多项式的性质

第18讲_特征值与特征向量1；引入有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵.变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质，4设 是数域P上线性空间V的;一、特征值与特征向量的定义 三、特征子空间 二、特征值与特征向量的求法 2 一、 特征值与特征向量 二、 特征值与特征向量的求法 三、 特征子空间 四、 特征多项式的有关性质 3 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 引入 有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 4 设 是数域P上线性空间V的一个线性变换， σ则称 为 的一个特征值，称 为 的属于特征值 0λσσξ0( ),σ ξλ ξ=一、特征值与特征向量 定义： 若对于P中的一个数 存在一个V的非零向量 ,ξ0,λ使得 的特征向量. 0λ5 ① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， ()00()( )()()kkkkσξσ ξλ ξλξ===Q注： 相同 或相反 0(0)λ >0(0).λ <0( )0,0.σ ξλ==时 ② 若 是 的属于特征值 的特征向量，则 ξσ0λ也是 的属于 的特征向量;" 本节内容主要讨论特征值与特征向量的定义、求法以及相关性质。在有限维线性空间V中取定一组基后，V的任一线性变换都可以用矩阵表示，希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵。特征值与特征向量是研究线性变换性质的重要概念。特征值是一个线性变换的一个数域P上的的一个特征值，特征向量是对应特征值的非零向量。特征值与特征向量在几何意义上被理解为特征向量经线性变换后方向保持。 此外，本节还介绍了特征子空间和特征多项式的性质，以及如何选择适当的基使得一个线性变换在这组基下的矩阵就是一个对角矩阵。 在该讨论中，我们发现特征向量并不是被特征值所唯一确定的，即使特征值相同或相反时，特征向量也有可能是相同或相反的。这些概念的理解对于线性代数和矩阵变换有着重要的意义。