算法设计与分析基础习题解析：欧几里得算法与方程解法

"这篇资料是关于《算法设计与分析基础》第二版的习题参考答案，涵盖了算法、习题解答等内容，涉及欧几里得算法、农夫过河问题、过桥问题、二次方程求解及十进制转二进制的方法。" 在算法设计与分析中，习题1.1探讨了最大公约数（GCD）的性质。等式gcd(m,n)=gcd(n,mmodn)是欧几里得算法的基础，它表明求两个正整数的最大公约数可以通过不断用较大的数除以较小的数并取余来递归计算。习题中的提示指出，如果一个数能整除两个数，那么它也能整除这两个数的任何组合以及它们的模运算结果。因此，最大公约数不会因这一过程而改变，所以gcd(m,n)等于gcd(n,r)，其中r=m mod n。 习题1.2中提到了经典的逻辑问题和算法应用。第一个问题是“农夫过河”问题，这是一个典型的约束满足问题，农夫、狼、山羊和白菜都需要安全地运到河对岸，但不能让狼单独与山羊或白菜在一起。解决此类问题通常需要使用回溯搜索或状态空间图来找出可行的解决方案。 第二个问题“过桥问题”则涉及到在只有一个手电筒的情况下，四个人需要过桥。每次只能两个人一起过桥，且需要手电筒。这个问题可以通过动态规划或递归策略来解决，找到最小的过桥时间。 习题1.2的第4部分涉及求解二次方程的算法，称为Quadratic算法。该算法首先检查二次项系数a是否为零，然后根据判别式D判断方程的根的类型：当D>0时，有两个实根；D=0时，有一个实根；D<0时，无实根。通过伪代码，我们能看到如何有效地计算这些根。 最后，习题中还要求描述将十进制整数转换为二进制整数的过程。这可以通过除以2的连续余数法实现，即不断地将十进制数除以2并记录余数，直到商为0。余数从最后一次到第一次构成的就是该十进制数的二进制表示。伪代码可以如下表示： ```markdown 算法 DecimalToBinary(n) // 将十进制整数n转换为二进制 // 输入：一个正整数n // 输出：n的二进制表示 result = "" while n > 0 remainder = n mod 2 result = remainder + result n = n / 2 return result ``` 这个算法通过不断地除以2并逆序存储余数，构建出二进制数的字符串表示。