完全一次多项式与形函数在有限元分析中的应用

"有限元-ht66fxx flash单片机原理与实践" 在有限元分析中，形函数扮演着至关重要的角色，它们是构建单元位移场的基础。形函数需满足特定的收敛准则，以确保计算结果的准确性。以下是对形函数及其相关知识点的详细解释： 1. 形函数的收敛准则： - 完全一次多项式：形函数通常基于一次多项式构造，以确保在有限元素域内有足够的灵活性来逼近复杂的几何形状和应力状态。 - 节点值约束：形函数在对应的节点上取值为1，其他节点取值为0，这是插值性质的体现，有助于构建节点位移向量。 - ∑Ni=1：所有形函数在单元内部的线性组合必须恒等于1，这保证了位移的连续性。 2. 形函数特点： - 阶次匹配：形函数的阶次与位移函数相同，保证了位移场的精确度。 - 节点值：形函数在节点i处的值为1，其他节点为0，这种性质使得形函数能够通过节点位移唯一确定整个单元的位移分布。 - 和为1：在单元内部，所有形函数的线性组合始终等于1，确保了位移场的完整性。 - 值域范围：形函数的值域通常在0到1之间，符合插值函数的一般特性。 3. 形函数的性质： - 结点值：形函数Ni仅在对应的结点i处取值为1，其他结点为0，保证了单元的局部性和唯一性。 - 单元内和：在单元内任意点，所有形函数的和恒为1，保证了位移的连续性。 - 边界性质：在三角形边界上，形函数满足特定的边界条件，如边界上的线积分公式，用于处理边界效应。 - 积分性质：形函数的面积积分和边界线积分有特定的表达式，用于计算单元的贡献。 4. 等参元概念： - 等参元是为了处理不规则几何形状，通过坐标变换将规则形状的单元映射到实际问题的区域。等参变换保留了单元内部的几何均匀性，即使在笛卡尔坐标下单元形状变得复杂。 - 在等参变换中，形状函数Ni'与原始形函数Ni保持一致，且使用相同的节点，这使得在不同坐标系统间转换变得简单，同时保持了精度和边界适应性。 总结来说，形函数是有限元方法的核心，它们确保了解的收敛性和精度。在实际应用中，通过满足特定准则的形函数构建单元模型，可以有效地近似复杂结构的位移和应力分布。等参元则为处理非规则几何形状提供了便利，同时结合形函数的性质，确保了有限元分析的有效性和可靠性。