Euler法求解非线性随机微分方程的收敛性研究

本文主要探讨了非线性随机微分方程求解过程中Euler法的收敛性问题，由作者王鹏飞和殷凤合作完成，发表于忻州师范学院数学系。随机微分方程在实际问题中的应用日益广泛，但由于其解析解难以获得，因此数值方法的设计和分析显得尤为重要。Euler方法作为基础的数值求解工具，其收敛性和稳定性是评估其有效性的重要指标。 研究者们注意到，尽管近年来关于随机微分方程数值方法的文献主要集中在线性方程上，对于非线性情况的研究相对较少。本文特别关注的是标量自治非线性随机微分方程，其一般形式为： dy/dt = g(t,y) + σ(t,y)dW_t 其中g(t,y)和σ(t,y)分别是偏移系数和扩散系数，W_t是一个标准的Wiener过程。文章假设这两个系数在全球李普希兹条件下满足一定的条件，即存在正实数b和a，使得对任意t和h，有： |g(t+h,y+h) - g(t,y)| ≤ b|h| 和 |σ(t+h,y+h) - σ(t,y)| ≤ a|h| 对于这种类型的方程，Euler方法的迭代公式为： yn+1 = yn + h[g(tn,yn) + σ(tn,yn)ΔW_n] 本文的核心贡献在于证明了在上述全局李普希兹条件下，Euler方法在不同的收敛意义上具有以下特性： 1. 均值意义上的局部收敛阶为2，这意味着随着步长h的减小，Euler方法的平均误差以平方速度趋于零。 2. 均方意义上的局部收敛阶为3/2，这表明方差的减少速度稍微慢于均值，但仍然保证了方法的精度。 3. 强收敛阶为1，即当步长h趋于零时，数值解趋向于精确解的速度为线性。 这些结果表明，尽管Euler方法在处理非线性随机微分方程时可能不如某些高级数值方法高效，但对于这类问题，它仍提供了可靠的基本解法，并且其收敛性分析对于理解和优化其他更复杂的数值算法具有指导意义。 关键词包括随机微分方程、Euler法、收敛阶以及全局李普希兹条件，这些都是理解该论文核心内容的关键术语。该研究对于数值分析领域，特别是在随机微分方程数值求解领域的理论发展具有重要意义。