图形变换与矢量叉积——三维几何运算解析

"矢量叉积-第二讲 图形变换、表示" 在计算机图形学中，矢量叉积是一个至关重要的概念，特别是在三维图形变换和表示中。它是一种仅适用于三维空间的运算，用于找到与两个给定矢量垂直的新矢量。这个运算在几何上具有丰富的含义，例如，它可以用来确定两个矢量之间的角度，计算面积，以及执行各种图形变换。 图形变换是计算机图形学中的核心概念，它涉及到将图形从一个坐标系统转换到另一个坐标系统，或者改变图形的形状、大小和位置。图形变换的主要目的是简化图形处理，通过一系列基本变换创建复杂的图形效果，如动画和视觉特效。变换可以使静态图像产生动态效果，增加视觉吸引力。 常见的二维和三维几何变换包括： 1. 平移变换：将图形沿指定的矢量方向移动一定的距离，不改变图形的形状和大小。 2. 缩放（比例）变换：扩大或缩小图形的尺寸，保持其形状不变。对于绕空间任意一点的缩放，变换中心不再是原点，而是指定的点，变换矩阵需要相应调整。 3. 旋转变换：围绕轴线旋转图形，改变其方向而不改变形状。绕空间任意点的旋转需要考虑旋转中心和旋转角度。 4. 错切变换（Shear Transformation）：沿某一方向拉伸图形，同时保持其他方向不变，造成图形斜向扭曲。 5. 对称变换：通过直线或平面镜像复制图形，形成对称形状。 这些基本变换可以通过矩阵运算来实现。在二维空间中，通常使用2x2矩阵，而在三维空间中，则使用3x3矩阵。矩阵乘法允许我们将多个变换组合在一起，形成更复杂的变换序列。组合变换的计算遵循矩阵乘法的顺序规则，即先右后左，这意味着先应用右边的变换矩阵，再应用左边的矩阵。 为了正确执行这些变换，我们需要了解世界坐标系，这是一个用户定义的坐标系统，通常以笛卡尔坐标系的形式存在，可以是二维或三维。在坐标系中，点可以用(x, y)或(x, y, z)表示，而矢量则不仅表示位置，还表示方向。矢量运算包括矢量加法、点积和叉积。其中，矢量点积给出两个矢量之间的夹角余弦值，而叉积则产生与原始两个矢量都垂直的新矢量，其长度等于两个矢量的长度乘积与它们夹角的正弦值。 在实际应用中，矩阵运算扮演着关键角色。矩阵加法允许我们合并相似的变换，而矩阵乘法则用于组合不同的变换。例如，先进行平移再进行旋转，可以通过先计算旋转矩阵，然后将其与平移向量结合，形成一个新的复合变换矩阵。 矢量叉积在图形变换和表示中起到基础性的作用，它与矩阵运算和几何变换相结合，为我们提供了强大的工具，用于创建和操纵复杂的计算机图形。理解和掌握这些概念对于深入学习和应用计算机图形学至关重要。