线段树详解：动态维护区间最小值

线段树是一种高效的数据结构，用于处理动态范围内的区间查询和修改操作，尤其适用于求解区间内的最大值、最小值等统计问题。本文主要关注的是使用数组存储方式构建线段树的方法。 线段树的核心在于将一个大的区间不断划分为小的子区间，直到每个子区间只包含一个元素，这样每个叶子节点就对应数组中的一个原始元素。对于非叶子节点，它们存储的是其两个子节点（对应子区间的最小值或最大值）的合并结果。线段树的构建通常通过递归的方式完成，可以近似地看作一棵满二叉树，其深度不超过log(2n)。 在数组存储方式下，线段树的节点直接存储在一个一维数组中。例如，如果线段树的区间范围是2^n，那么需要一个大小为2n-1的数组来容纳所有节点。这是因为在满二叉树中，除了最后一个层级外，每个节点都有两个子节点，因此总节点数比元素个数多一倍。数组的索引与树的结构相对应，例如，节点i的左子节点是2i+1，右子节点是2i+2。 初始化线段树时，首先设定数组的大小，这里使用了一个常量MAX_N=1<<17，即2^17，表示线段树可以处理的最大元素数量为2^17。接下来，为了确保所有未定义的节点都有一个初始值，数组中的所有元素都设置为INT_MAX，这是一个表示极大数值的常量，通常用于区间查询的边界条件。 在线段树的更新操作中，如`update(int k, int a)`函数，参数k是需要修改的元素在原始数组中的位置，a是新的值。首先，将k转换为线段树中的索引（加N-1），然后将新值赋给对应的节点，并通过上溯到父节点的过程更新父节点的值，这个过程一直持续到根节点。每次上溯，都是将当前节点的两个子节点的最小值（或最大值）作为父节点的新值。 查询操作，如`query(int o, int l, int r, int a, int b)`函数，用于查找区间[a, b)内的最小值。如果查询的区间完全覆盖了节点o所代表的子区间[l, r)，则直接返回该子区间的最小值。否则，需要分别对左右子节点进行递归查询，然后返回这两个子查询的结果中的较小值。 线段树的优势在于它能够以O(logn)的时间复杂度完成区间查询和修改操作，这在处理大量数据的实时更新和快速查询场景中非常有用。此外，数组存储方式相较于链表或堆结构，空间效率更高，访问速度更快。但是，这种方法需要预先知道区间大小，且不适用于动态改变区间大小的情况。 线段树是一种强大的数据结构，通过数组存储实现，适用于处理动态范围内的区间查询和修改，尤其在静态数据集和高效查询需求的场景中表现出色。