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定的比例趋向无穷时,样本协方差矩阵特征值分布的可分离特性。令 Bτ2R 的极
限谱分布(,/-.*()表示为 C,B−−τ2YR 的极限谱分
布表示为 F−−CY,根据文献#
很容易得到式<=。
mF(z)=fmF−−(z)+(f−1)1z (3)C<G=7)CY<G=H<)V=G???<=
根据式<=,由于随机矩阵(ΨW)<O4=中的元素满足独立且均值为零方差为
的条件,因此 Bτ2R 是总体协方差矩阵 HPH†+σ2IMM3MAH5 的样本协方
差 矩 阵 。 对 应 地 , 扩 展 Y∈CM×τK∈ℂQR6到 Y−
−∈C(M+N)×τKY∈ℂ<HF=QR,如式<=所示。
Y−−=(HP12 σIM 0 0)(ΨW) (4)KY7<M3???5?????????=<O4=??<=
可 得 1τY−−Y−−†RKYKYA 是 总 体 协 方 差 矩 阵 (HPH†+σ2IM 0
0 0)<M3MAH5???????????????????Z???=⎟的样本协方差矩阵。
由于 HM 满足其元素是独立且有有限四阶矩,根据文献"
中的定理 [ 可
知 , 若 , n1,⋯,nK→∞(⋯(\UW 且 Mnk→fk>0(]U)]I , 那 么
HPH†M3MA的经验谱分布(D,//-.*()弱且几乎确
定收敛到一个极限分布 。对于 z∈C+G∈ℂH,分布 的 9 变换
<G=是
关于
的方程具有正虚部的唯一解,如式<=所示。
z=−1mG+∑j=1L1fjPj1+PjmG (5)G7VHL97)939H39??<=
因此,HPH†M3MA中 D,的几乎确定收敛性保证了(HPH†+σ2IM 0
0 0)<M3MAH5????????????????????????= 的 几 乎 确 定 收 敛 性 , 同 时 可 以 得 到
(HPH†+σ2IM 0 0 0)<M3MAH5???????????????????Z???=的 D, 几乎 确
定收敛到一个分布 M,对于 z∈C+G∈ℂH,其 9 变换
M
<G=满足式<"=所示
条件。