哈工大算法分析与设计证明题解析

"哈尔滨工业大学算法分析与设计课程的作业答案" 这部分内容主要涉及了算法分析中的渐进符号（Θ、O、Ω）的定义和应用，以及多项式时间复杂度的证明。下面是针对每个问题的详细解释： 1. 证明f(n)=an^2+bn+c=θ(n^2)： 这个问题证明了函数f(n)是n^2的同阶渐进。通过设置常数c1和c2，并找到一个n0，当n大于n0时，f(n)总是在c1n^2和c2n^2之间，证明了f(n)的增长速度与n^2相同。 2. 证明6n^3≠θ(n^2)： 这个证明通过反证法来展示6n^3不可能是n^2的同阶渐进。假设6n^3=θ(n^2)，那么存在常数c1和c2使得n^3小于等于c2n^2，这会导致n小于等于某个常数值，与n可以无限增长的事实矛盾，因此假设不成立。 3. 证明P(n)=∑ai*n^i/d=θ(n^d)： 这个证明展示了多项式求和P(n)是n^d的同阶渐进。通过比较最大项和最小项，证明了P(n)既不会超过O(n^d)也不会小于Ω(n^d)，因此它是n^d的同阶渐进。 4. 证明n=Ο(n^2)： 这是一个简单的证明，通过设置c=1和n0=1，当n大于n0时，n总是小于等于n^2，满足Ο(n^2)的定义。 5. 如果f(n)=θ(g(n))，则f(n)=Ο(g(n))： 这个证明基于θ符号的定义，既然f(n)与g(n)是同阶渐进，那么一定存在常数使得f(n)小于等于c2g(n)，这满足Ο(g(n))的定义。 6. f(n)=θ(g(n)) if and only if f(n)=Ο(g(n))且f(n)=Ω(g(n))： 这个证明说明了f(n)与g(n)是同阶渐进的充分必要条件是f(n)既是g(n)的上界（Ο(g(n)))，也是g(n)的下界（Ω(g(n)))。 这些证明展示了算法分析中的基本概念，包括如何使用渐进符号来描述算法的时间复杂度，以及如何通过数学推理来验证这些关系。这对于理解算法效率和设计高效算法至关重要。