一次遍历解决数组特殊计数问题：寻找缺失数字与重复数字

在C++编程中，遇到长度为n的整数数组问题，该数组由数字1到n构成，但有一个数字a未出现，而数字b出现了两次。任务是仅通过一次遍历数组，找出这两个特殊的数字a和b。这个问题的关键在于利用组合数学原理以及对数组元素进行特殊操作来解决。 首先，我们可以通过数组元素的总和s1来找到数字b，因为数组元素之和等于从1加到n的等差数列之和，即s1 = n*(n+1)/2。由于b出现了两次，所以数组总和会比其他数字多出一个b的值，即b = s1 - (1+2+...+n)。这样可以得到b的值，但a的值无法直接通过这种方式确定。 接下来，考虑利用数组中元素的平方和s2，即s2 = arr[0]^2 + arr[1]^2 + ... + arr[n-1]^2。对于一个没有a且b出现两次的数组，平方和的规律与普通数列有所不同。我们可以计算出所有元素平方和的平均值，然后用这个平均值减去每个元素本身的平方，这样能得到a^2的值。由于a和b的平方差r1-r2 = n*(n+1)*(2*n+1)/6 - (arr[0]^2 + arr[1]^2 + ... + arr[n-1]^2)，因此a^2 = r1 - r2。然后利用a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)来解得a+b的值，从而推算出a。 在实际操作中，需要处理两种情况：a > b 和 a < b。当a > b时，计算c = s1 - s2，然后取模M，c%M = (a-b)%M，这将帮助我们在[1, M-n]范围内找到a-b的可能值；反之，若a < b，则计算d = (-c)%M 和 d = (-d)%M，寻找a-b的范围在[M-n, M-1]。这里假设M是一个足够大的数，通常选择2^32作为模数，因为32位整数的最大值是2^32-1。 在取模运算中，需要注意的是，如果n小于2^31，那么可以直接使用公式计算，如n*(n+1)/2 % M。对于n >= 2^31的情况，需要进一步优化，例如通过整除和余数来计算s的值，以减少计算复杂度。 为了快速确定a和b的具体值，我们需要使用模运算的性质，比如(a*b)%M = ((a%M)*(b%M))%M 和 (a/b)%M = ((a%M)/(b%M))%M。这样可以有效地减少对大数的运算，并确保结果在较小范围内。 最后，为了节省CPU时间，特别是对于32位系统，可以考虑将数组元素取模2^32后进行计算，这可以有效降低溢出的风险。例如，a%2^32 = 2^32 * (a/2^32)对于正数a而言，相当于a的最低32位。如果计算过程中可能涉及到负数，需要特别注意取模操作的正确性。 通过巧妙地利用数组和数学关系，以及合理地利用模运算，可以在只读遍历一次数组的情况下找到数字a和b，同时避免了计算过程中的溢出问题。C++代码中包含了相应的头文件和函数，展示了如何通过这些策略实现这一目标。