数的计算：扩展数据总个数探索

"问题描述-一题多解（数的计算）" 这道题目属于算法和数学相结合的问题，主要考察的是动态规划和递推关系的理解与应用。问题的目标是找到符合特定规则的自然数的个数，规则是：从一个自然数n开始，可以不作处理，或者在其左侧加上不超过它一半的自然数，重复这一过程，直到无法再添加自然数为止。 题目给出了三个不同的解决方案，每个方案都涉及到计算一个函数f(n)，表示数字n能够扩展出的满足条件的数的总数。 分析1: 这个解决方案通过递归关系来计算f(n)。首先初始化所有s[i]为1，因为每个数本身都是一个解。然后通过两层循环，外层循环遍历n，内层循环将i左侧可能添加的数（1到idiv2）累加到s[i]。这样s[n]就得到了n能够扩展出的所有数的个数。这个算法的时间复杂度是O(n^2)，因为每个n都需要遍历到idiv2。 分析2: 这个优化方案引入了两个数组h和s。h[i]表示i能扩展出的数的个数，而s[i]表示前i个数能扩展出的数的个数。通过累加h[i]来更新s[i]，并且h[i] = s[i] - s[i-1]。这样可以避免重复计算，降低时间复杂度到O(n)。 分析3: 这个递推公式基于n的奇偶性来计算f(n)。当n为奇数时，f(n)等于f(n-1)，因为对于奇数，我们只能在它前面加上一个较小的奇数，这不会改变扩展数的总数。对于偶数，f(n)等于f(n-1)加上f(n/2)，因为对于偶数，我们可以选择不添加任何数或者添加n/2。这个递推关系可以在O(n)时间内解决，但需要预先计算一个f数组。 这三个解法各有优劣，分析1虽然简单直观，但效率较低；分析2通过优化提高了效率；分析3利用了奇偶性进一步简化了计算。在实际编程竞赛或算法设计中，应根据时间和空间限制选择合适的解决方案。