同济大学线性代数第四版习题解析

"同济大学的《线性代数》第四版习题答案，由黄正华提供，包含了第一章至第五章的主要习题解答，强调了部分重要习题，如第一章的5.(2),(5);7;8.(2)等，并展示了如何计算行列式和解决相关问题。" 在《线性代数》这门课程中，行列式是基础且重要的概念之一。行列式可以帮助我们判断矩阵是否可逆，以及计算矩阵的秩和特征值等。第一章节的习题解答中，提到了计算三阶行列式的方法，例如通过对角线法则来简化计算过程。对于给定的行列式，可以按照对角线法则选取元素进行乘积相加减，例如(1)中的行列式通过该方法计算得到结果为-4。 行列式的另一种形式是带有变量的，例如(2)、(3)和(4)。它们需要利用多项式性质和因式分解来进行计算。在(2)中，我们可以看到一个对称行列式，通过交换行和列，利用立方和公式得出最终结果。在(3)中，通过展开和因式分解，我们得到一个关于三个变量a、b、c的表达式，其结果是三个变量的差的立方之积。而在(4)中，我们可以将行列式转换为关于x、y的多项式，然后通过提取公因式和应用立方和公式简化表达式。 线性代数的其他关键主题包括矩阵及其运算，如矩阵的加法、减法、乘法以及逆矩阵。矩阵的初等变换和线性方程组是解决实际问题的重要工具，比如通过高斯消元法或克拉默法则解线性方程组。此外，向量组的线性相关性涉及向量的线性组合，可以帮助理解空间中的线性结构。相似矩阵和二次型在讨论矩阵的几何意义和二次函数的性质时至关重要。 第五章的二次型通常会涉及矩阵的合同变换和规范形，这对于理解和优化二次函数极值点有着重要作用。通过学习这些内容，学生将能够运用线性代数的方法解决更复杂的问题，比如在物理学、工程学、经济学等领域。 这个习题答案资源涵盖了线性代数的基础知识，不仅包括行列式的计算，还有矩阵运算、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵和二次型等多个重要主题。对于学习者来说，通过深入研读并实践这些习题，可以巩固理论知识，提高解决问题的能力。