推广的双参数松弛法在解大线性系统中的收敛性研究

"本文详细探讨了解大线性系统中双参数松弛法的推广，特别是ETOR方法，该方法在处理大规模稀疏线性系统时具有重要应用。文章引用了Evans的工作，通过预处理技巧来定义ETOR方法，该方法包含了Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR、AOR和TOR等多种迭代法作为特例。作者特别关注了当系数矩阵具有一些特定性质，如Hermite正定、H-矩阵、L-矩阵和不可约弱对角占优等情况下的迭代法收敛性，并建立了相应的收敛定理。此外，文中还给出了实用的收敛性判别准则，以便于实际问题的应用。" 文章首先介绍了大线性系统在许多应用数学领域中的重要性，特别是在系数矩阵为带状或分块带状稀疏矩阵的情况下，传统的松弛迭代法（如SOR和AOR）可能并不适用。因此，作者引入了双参数松弛法（TOR方法）的概念，以适应不同斜线位置元素的差异，提高迭代效率。 接着，作者提出了ETOR（扩展的双参数松弛法）迭代法，这是对TOR方法的一种推广。ETOR方法允许在不同斜线位置上的元素乘以不同的松弛因子，以更精确地处理系数矩阵中的非对称性和不均匀性。通过非奇异矩阵R的预处理，可以将原线性系统转换为更易处理的形式，R可以选取为(4)式所示的结构，其中αi，βi为实参数。 文章的核心在于分析了当系数矩阵具备特殊性质时，ETOR迭代法的收敛性。这些特殊性质包括Hermite正定性，即矩阵所有顺序主子式的符号都相同；H-矩阵，即矩阵的负对角元素之和小于等于对角元素；L-矩阵，即所有下三角元素非负，且对角线元素为正；以及不可约弱对角占优，这是一种保证迭代法收敛的矩阵特性。对于这些情况，作者建立了一系列的收敛定理，提供了判断迭代法收敛性的准则，这对于实际计算过程中的算法选择和参数调整具有指导意义。 这篇论文深入研究了大线性系统求解的迭代方法，尤其是ETOR方法的收敛性理论，对于数值线性代数和科学计算领域有着重要的理论与实践价值。通过引入预处理技巧和双参数松弛策略，该方法能够更好地适应各种复杂系数矩阵，为解决实际问题提供了新的工具和理论支持。