有限单元法详解：从单元分析到整体求解

"整体分析-有限单元法课件" 有限单元法是一种广泛应用的数值分析方法，主要用于解决工程和科学问题中的复杂结构力学分析。这种方法通过将连续体结构离散化为多个简单的单元，然后对每个单元进行独立分析，最终组合成整体结构的分析结果。 1. 结构物的离散化 在有限单元法中，首先需要将结构物划分为有限个单元，这个过程称为离散化。单元的大小和数量取决于所需的计算精度和可用的计算资源。例如，一个杆系结构可能被划分为多个一维杆单元，而一个复杂的二维或三维结构可能会被划分为四边形单元或六面体单元。每个单元的节点是连接各个单元的关键点，它们的位移是分析的主要对象。 2. 单元的位移模式 位移模式描述了单元内部任意点的位移如何依赖于节点位移。通常，通过选择适当的形状函数（形函数矩阵N），可以近似地表示单元内任何点的位移，即位移函数δ = Nd，这里的d是节点位移向量。形状函数的选择对分析的精度、效率和可靠性至关重要。 3. 单元特性分析 单元特性分析涉及几何方程和物理方程的建立。几何方程描述应变（ε）与位移（δ）的关系，通常通过变形矩阵B表达。物理方程，如胡克定律，建立了应力（σ）与应变之间的联系，这涉及到弹性矩阵D，它取决于材料的属性。通过这些方程，可以得到单元的应力和应变，并进一步构建单元刚度矩阵k。 4. 单元刚度方程 利用虚功原理或最小势能原理，可以建立单元的刚度方程，即kδ = F，其中F代表作用在单元上的力。这是有限单元法的核心，因为它将单元的力学行为转换为代数问题。 5. 整体分析 单元分析完成后，需要将所有单元的刚度方程组合起来形成整体刚度矩阵K，这反映了整个结构的响应。结合结构的边界条件和荷载，可以得到整体的节点平衡方程KΔ = P，其中Δ是所有节点位移的集合，P包括直接作用在节点上的荷载和通过积分得到的等效荷载。解这个方程组就能得到结构的位移、应力和应变等关键参数。 6. 软件应用 有限元分析通常借助专门的软件工具，如通用软件（如ANSYS、ABAQUS）和专用软件，来进行计算。这些软件提供方便的用户界面，用于输入几何信息、材料属性、边界条件和荷载，并自动完成离散化、单元分析和整体求解的过程。 有限单元法是一种强大且灵活的工具，广泛应用于结构工程、流体力学、热传导、电磁学等多个领域。它的优势在于能够处理非线性问题、动态问题以及具有复杂几何形状和边界条件的结构。然而，正确选择单元类型、形状函数和网格密度对于获得精确的解决方案至关重要。