二维半线性伪抛物方程的全离散有限体积元法解析

"二维半线性伪抛物方程的全离散有限体积元方法* (2013年)，作者郭玉娟、杨青，发表于《山东师范大学学报(自然科学版)》2013年第1期，主要探讨了采用有限体积元方法解决二维半线性伪抛物方程的初边值问题，给出了误差估计的理论成果。" 本文研究的是二维半线性伪抛物方程的数值解法，这类方程在描述热传导、质量传递和反应扩散等物理现象中有重要应用。伪抛物方程包含时间和空间变量的复合偏导数，是高阶偏微分方程的一种。文献中提到，该方程可以用于热流密码体制加密器的设计，其中初始值作为明文，最终值作为密文，而系数函数则作为密钥。 文章关注的问题是以下形式的二维半线性伪抛物方程： \( \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot (p\nabla u) - qu = F(x, y, t, u) \) 这里，\( p \) 和 \( q \) 是依赖于空间坐标 \( x \) 和 \( y \) 的函数，\( \nabla \cdot \) 表示散度运算，\( \nabla u \) 是梯度，\( q \) 通常代表扩散项，\( F \) 是已知的源项。方程还包含了边界条件和初始条件。 为了求解这个问题，文章提出了全离散有限体积元方法。这种方法将连续区域划分为有限的控制体，通过积分方程的形式化，将偏微分方程转化为离散的代数方程组。在有限体积元方法中，每个控制体的平均值被用来近似解，从而简化了复杂的偏微分方程。 作者郭玉娟和杨青构造了相应的全离散格式，并对误差进行了估计。他们假设 \( p \), \( q \), 和 \( f \) 都属于特定的连续空间，并满足非负性等条件（如 \( p > 0 \)）。这些假设确保了解的存在性和唯一性。 在误差分析中，他们证明了有限体积元方法的收敛性和稳定性，给出了误差估计量，这为实际计算提供了理论指导。文献中还提到了其他研究，如使用C-N差分格式和隐式差分格式来求解这类方程，并进行了数值模拟。 这篇论文对二维半线性伪抛物方程的数值解法进行了深入研究，特别是通过全离散有限体积元方法，为理解和求解这类方程提供了有价值的工具和理论支持。这一工作对于物理、化学和工程等领域中涉及此类方程的数值模拟和计算具有重要意义。