FGFGð Þ¼ð Þ¼p¼¼¼þ þ ¼þþ ¼ð 2ð Þ ðÞÞJournal of the Egyptian Mathematical Society（2015）23，513埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章欧氏三维空间E3H.N. 阿卜杜拉Department of Mathematics，Faculty of Science，University of Assiut，Assiut 71516，Egypt接收日期：2013年7月31日;修订日期：2014年6月3日;接受日期：2014年2015年2月11日在线发布本文构造并得到了E3中Weingarten平移曲面和线性Weingarten平移曲面的必要条件。这些类型的特殊情况进行了调查和绘图。1. 介绍2000年数学潜规则分类：53A04; 53A05？2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表U.K.;H. @hkk;h。2019-01-1800：00：00. @我的天。平移表面的特性在塑造建筑和建筑设计中起着重要的作用。在工程中，平移曲面用于壳体。在膜结构、穹顶结构、索网结构、穹顶结构、可折叠结构等结构的设计中[1]。在这里，以及在后续，我们假设索引i;j在范围1; 2上运行。在研究子流形的微分几何时，通常会检查不同类型的曲线，真实条件更确切地说，人们渴望确定所有满足这样一个条件的子流形。对于欧氏空间E3中的曲面M：X1/X2/X3，一个有趣的曲率性质需要研究，它要求主曲率之间存在函数关系uki0，这种性质称为Weingarten曲面或W-曲面。使用高斯曲率和平均曲率，我们可以重新定义W-曲面，满足uK;H0，或者等价地，对应的雅可比行列式为零，即，电子邮件地址：hamdy_n2000@yahoo.com同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevierhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.07.005此外，如果表面满足关于K和H的线性方程，即aKbHc;a;b;cR;a;b;c-当b为常数时，线性Weingarten曲面退化为具有常高斯曲率的曲面.当常数一个线性Weingarten曲面退化为一个具有常数平均曲率的曲面。在这种意义下，线性Weingar曲面可以看作是具有常高斯曲率或常平均曲率的曲面的自然推广[2在欧氏空间E3中，直纹曲面上的关系uK;H^0;uKII;H^0和aKIIbH^c 已 在 [3 ， 5] 中 得 到 研 究 。 适 用 于 K II<$H;KII<$K;K IIc;我们参考[3，6 -8]的历史和一般结果在这个问题上。此外，对于不可展直纹曲面，线性关系aK IIbHcK常数， 一个2[9]在[9]中研究了沿每个规则的b22. 几何代数设 C1 ： a<$a<$s1<$m 和 C2 ： b<$b<$s2<$m是两 条曲线 ， 它 们 由 E3 中 的 弧 长 si 参 数 化 。 考 虑 Frenet 标 架ftisi;nisi;bisig相关联 与 的 曲线Ci.的1110- 256 X？ 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词平移曲面; Weingarten曲面2我¼@X---.@hij1/4。FG211 2 1t1t2nj向量。B@。h22;12h11;2..2H11 H12 .CA;1X公司简介B C B CBCnisiA¼ @-¼YΣ ΣðÞ我3小行星514 阿卜杜拉当在基fti;ni;big中表示时，向量ti和bi的导数产生几何实体，自然曲线。使用（2.1）和（2.2），很容易检查，M由下式给出：turesjisi和torsionssisi，它们为我们提供了关于曲线A和B在S1的邻域中的行为，分别然后曲线Ci的Frenet公式由[10]定义：我也是。1coshcosh1;det.gij<$sin h; h- n p ; n <$0; 1 ;2 ;.2013年12月3日d0tisi1 00jisi010tisi1@ nisiA@nisiA：2：1曲面M的单位法向量由下式给出：NH3：3H2O/NH3：3H2O/NH3：3H2Obisi0-sisi0bisi哪里我不是 are表示 到 切线 曲线 a;b我们将E3中的曲面M表示为：Xsixksi;k1; 2; 3设N是曲面M上的标准单位法向量场定义为NXs1×Xs2 ，其中，Xk×s ×Xsk奎斯岛然后是1号和2号SI分别这导致第二基本形式的系数hij，其中. n]cosech01 20j2½t1t2n2]cosech表面M的基本形式分别定义为：通过det. 小时小时I ¼Xgijds i ds j;gij ¼和伊日12Ji; j; ii; j其中，j分别表示曲线a、b的曲率。II ¼Xhds ds;h ¼：102：2000i;j如果第二基本形式II是非退化的，那么它可以被认为是一个（伪）黎曼度量。使用经典符号，我们通过[11]定义第二高斯曲率KII。0的情况。-h11;22hh22;11h11;1 h-h11;2.. 0小时11;2h2 2;1. 12222从Eqs。由公式3.1和公式3.4可知，M的高斯曲率函数和平均曲率函数由下式给出：Kjit1t2njcosec4h;3： 6i; j; i1B.12;122 212; 1. ..C和h22;22H12h22h22;12H12h22.H1/2j1/2t1t2ni]cosech; 103：70其中，h<$determinh<$;h，h@2hij12：30分别ij ij;l@ul国际货币基金组织@ul@um4. E 3中的平移L/W-曲面由于Brioschi用Brioschi公式中的第二基本形式分量hij分别代替第一基本形式分量g ij来定义M的HII。因此，第二平均曲率HII由[12]给出：在这一节中，我们研究了E3中的平移L/W-曲面，它满足集合K;KII;H;HII中元素之间的非平凡关系，其中（K;H）和（KII，HII）是高斯-第一和第二基本函数的ian和平均曲率HII ¼H-1D。Inpjkj;2：4形式，分别。遵循关于集合{K，KII，H，HIIg，感兴趣的-其中D是关于第二基本面的拉普拉斯算子。M的谈话形式，表示为：提出了一个几何问题对翻译进行分类，E3中的面满足以下条件：1D¼-@pjhjhij @;.hi jj。时间：2019 - 01-1200：00：00u=l;m=0;m =4：1pjhj@ui@ujij和3.E3中平移曲面的内蕴几何当一条空间曲线在另一条空间曲线上平移时，所得到的曲面可以被认为是平移曲面的最一般外观。因此，该曲面可以参数化为两条空间曲线之和。通常，平移曲面的类仅限于那些可以参数化为两条平面曲线之和的曲面。因此，它可以通过补丁参数化[13]：M：Xuzhousabs; s2 I;3：1Σ中国日报; 2003年3月4日IJ我JIJsisj表示这些的三重标量积KII¼ H2H12;2H11H12..我2fgalbmc;4：2其中l;mK;H;KI I;HII;l-m和 a ; b ; c - 0 ; 0 ;0 。 因 此 ， 我 们 可 以 将 雅 可 比 矩 阵 和 线 性 方 程（ 4 . 1 ） 和 （ 4 . 2 ） 写 为 ：1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000K2018年12月24日，第二届世界卫生组织（WHO）第二次世界卫生大会（WHO）第二次世界1-2 - 3- 4- 5- 6- 7-8 - 10-i1 2i其中si是曲线a;b的弧长的参数分别KII和.ΣDSI.Σ半]半]1FFeFeeFF半]X.Σ[iisi½t1t2bi][ji½t1t2ni]cosech;2019年12月22;KeII¼ 1。SI我1我23三维欧氏空间中的平移L/W-曲面E3515aK bH c;4：8aKbKII¼ c;4：9aHbKII¼ c;4：10aHbHII¼ c;4：11aHII bKII¼ c;2004：12分别对K和H关于s求微分，可以得到：渐开线与给定曲线的主法线平行。所以，我们有[14]：ht1;t2i<$0;t1< $ n2：14：16秒因此，使用式（3.6）和式（3.7），可以看到det hij0，因此我们有推论1. M的高斯曲率函数消失I. e13;团结联盟ðKÞj.jisi-j2j_ifhjj.2j2j_ifh-jijji-sifh9=K¼0我而第二高斯曲率函数是indef-2014年4月13日式中：·d; f1h hh cos h cosec2h; f2hhcos h cosec2h; f3 hcoshcosec2h。因此，可以看出雅可比方程（4.3）是有效的为半t1t2bi]和ji;si其特征在于圆形螺旋曲线。因此，我们有以下内容定理1. 对于具有非零常数曲率和挠率的圆形螺旋曲线a和b，平移曲面M是E 3中的W曲面（见图2）。①的人。定理2. 平移曲面M是E3中的W-曲面，如果三重标量积t1t2bi和t1t2ni数值上等于其边由这些矢量确定的平行六面体的体积。其次，为了方便和简化计算，我们使用了渐开线和平移曲面的Bertrand曲线的一些几何概念作为特例。 在渐开线为b的情况下，we用Mf，s表示曲面。在基本量上用符号~表示。推论2. 的平均和第二平均曲率函数Mf由下式给出：HII¼H¼2j1½n1n2t2]：04：17根据上述结果，并考虑到雅可比方程。（4.4），（4.5）和（4.7）我们有推论3. 平移曲面M是一个光滑曲面，曲线b的曲率j2为零。推论4. 在E3中没有W平移曲面。使用雅可比方程（4.3）和（4.6），我们发现它们完全消失。所以我们得到推论5. 平移曲面M是E3中的W曲面。根据线性Eqs. （4.9），（4.10）和（4.12）我们有推论 6. 在E3 中没 有LW 平移 曲面 。 基于 线性方程 组，（4.8）和（4.11），可以看出，H/2常数因此，对于恒定平均曲率（cmc）的平移表面M，我们有j1¼constant1/2n1n2t2] 1/4常数同样，在a和b是Bertrand曲线的情况下，我们取符号4.1. b的渐开线当一条曲线b的切线是另一条曲线a的法线时，后者称为前者的渐开线。因此，切线图1圆形螺旋线的平移W曲面a和b.它给出了以下结果：定理3. 对于具有非零常曲率的圆曲线a，（cmc）的平移曲面M是E3中的LW曲面.定理4. （cmc）的平移曲面M是E3中的LW-曲面，如果三重标量积n1n2t2在数值上等于平行六面体的体积，其边由下式确定：这些载体。4.2. a和b是伯特兰曲线圣维南提出和贝特朗解决的问题，找到曲线的主要法线也是princi- pal法线的另一条曲线。一对曲线a和b具有共同的主法线，被称为共轭或关联伯特兰曲线。两条曲线的切线也以恒定的角度倾斜所以，我们有[14]：n1<$N2;ht1;t2i <$A常数- 0 ;. ti;nj =0;i- j：2019 -04-20 01：00：00因此，利用（2.3）、（2.4）、（3.6）和（3.7），我们有K. Σ¼.108j我Dln. .¼43j_i-2jij€i. .≈SI-我小行星516阿卜杜拉推论7.M的高斯和第二高斯曲率函数由下式给出：K=1，2，3，4，5，6，7，8，10，推论8。M的平均和第二平均曲率函数由下式给出：HH;H1/4小时-1天。在休息室。我知道了。.你好！; 2014年4月22日II2其中，图2直线a和a的.r别这样快！一乘一。2i;j;iJΣΣ Σ圆曲线湾关于s_i，对_i、H_i、H_i进行微分II.Kj_ijjcosec2h;SIHHsi;9>.HΣ1/4。H2001年。9j_322. -10jj_jωω sech=IIsisi8J4ijijiΣ我我我>si33j_2jjj€jJ½t1t2bi]cosech;i>;2014-04-23图3圆曲线a和b的平移W曲面。从前面得到的结果，我们发现，雅可比矩阵方程（4.3）可分解为下列条件½t1t2bi]<$0;½t1t2ni]<$0;24：24j2j_jsi<$0;jij_ij_j<$0;i这意味第1节;第1节第0段;第2节第2段;第4节第2段第6段因此，我们有以下内容推论9。对于直线a和具有非零常曲率的圆曲线b，平移曲面M是E3中的W曲面（见图2）。推论10。 平移曲面M是E 3中的W-曲面，如果向量m t1; t 2; b in和m t1; t 2; n in共面。类似地，从雅可比方程（4.6），我们得到相同的推论9，除了2019-04-22 00：00：00因此，我们有以下内容推论11. 对于具有非零常曲率的圆曲线a和b，平移曲面M是E 3中的W-曲面。（见图3）。根据JacobianEqs. （4.4），（4.5）和（4.7），我们可以发现它们是相同地消失的。所以我们得到定理5. 平移曲面M是E 3中的W-曲面。 最后，我们想阐明在a和b是Bertrand曲线的情况下的线性关系式（4.2）。我们得到了与雅可比关系式（4.1）中的结果几乎相似的收敛结果。可能值得注意的是，线性关系式（4.8），（4.10），（4.11）和J3我t1 t2njcosech：1但线性关系式（4.9）只 给出了相同的推论11。因此，我们给出以下定理定理6. 平移曲面M是E3中的LW-曲面。备注。从前面的结果可以看出，在一般情况下，所得到的平移W-曲面由空间曲线生成。但在特殊情况下，输出平移L/W-曲面由平面曲线生成，求解由Weingarten条件产生的微分方程。确认我非常感谢我的教授Nassar H博士的帮助。埃及艾斯尤特大学数学系主任Abdel All对本文进行了认真的修改，并提出了一些重要的意见，同时感谢编者和审稿人对本文提出的意见和建议。引用[1] L. Pletenac，基于其属性的表面建模，里耶卡大学土木工程学院，http：//www.example.comwww.gradri.hr/~pletenac/Translation_surfaces.pdf.1-52>。[2] F. Dillen，W.Minkowski中的Kuhnel，Ruled Weingarten曲面3号空格，马努斯克。数学 98（1999）307-320。[3] W. Kuhnel，直纹W曲面，拱形。数学 62（1994）475-480。[4] J.S. Ro，A.W. Yoon，Tubes of Weingarten types in aEuclidean3-space，J. Chu。22（2009）359-366。[5] D.E. Blair，Th. Koufogi，直纹曲面与消失的第二高斯曲率，Mh。113（1992）177-181。[6] R.A. Abdel-Baky，H.N. Abd-Ellah，Minkowski 3-空间ffi 3中的直纹W-曲面，Arch. 数学 04 The Famous（2008）（4.12），给出同样的定理4和推论10，251-263。三维欧氏空间中的平移L/W-曲面E3517[7] 日Koufogi，T. Hasanis，球面的一个特征性质，Proc. Am.Math.Soc.44（1977）303-305.[8] W. Kuhnel，在第二基本形式的内部曲率，在：Proc.第三届几何学大会，塞萨洛尼基，1991年，pp.248-253.[9] W.张文，张文生，张文生，等.[10] M.P.do.张文，曲线与曲面的微分几何，北京，新泽西州，1976年[11] F. Dillen，W.张文龙，张文龙，等离子体三维空间中的直纹曲面，等离子体工程学报，2005（1）： 10-21.[12] Y. Ho Kim，D.王永，闵可夫斯基三维空间中直纹曲面的分类，《几何物理学杂志》，49（2004）89-100。[13] F. Dillen，W.戈曼斯岛Woestyne，Weingarten类型在3-空间中的平移表面，HUB Research Paper，2008，pp.1- 12号。[14] C.E. 李文，《三阶微分几何》，北京：中国人民大学出版社，1999年。
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