不确定变量的最佳分布算法：基于序列统计建模和蒙特卡罗模拟的研究验证

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）358利用不确定变量Minho Joo，Jaehyeok Doh，Jongsoo Lee韩国延世大学机械工程学院，首尔120-749阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年6月16日收到2017年11月7日收到修订版，2017年在线发售2017年保留字：序列统计建模（SSM）统计面积度量（SAM）蒙特卡罗模拟（MCS）置信区间（CI）逆累积分布函数最大似然估计（MLE）Kolmogorov-Smirnov检验（K-S检验）A B S T R A C T本文提出了一种估计含不确定性数据的最佳分布的算法该算法结合了序列统计模型（SSM）和一种确定最小实验数据的方法。SSM是一种使用拟合优度（GoF）检验和可能性比较来选择数据最佳分布的方法。用于确定最小实验数据的方法确定估计最佳分布所需的最小数据。本文提出的SSM是用于在仅考虑参数分布时选择合适的数据分布的方法。因此，在本文中，SSM的改进，以选择正确的分布参数和非参数分布的同时。另外，现有的确定最小数据量的方法，当结果数据量不足时，需要根据实际试验数据进行补充，存在设计人员无法广泛识别所需数据的局限性。为了克服这一限制，SSM和随机抽样应用于该方法来确定最小数据，从而确保设计者知道所需的近似最小数据。为了验证所提出的算法的有效性，它被应用到一个现实世界的情况下，确定多个统计参数的螺栓紧固问题的研究。验证方法的顺序如下：首先，选择由所提出的算法和基于正态分布的估计的最佳分布的轴承表面和螺纹摩擦系数作为比较目标。其次，在两种分布的95%置信区间内对轴承表面和螺纹摩擦系数数据进行采样。第三，使用Monte-Carlo模拟和计算螺栓紧固力的公式来比较采样的摩擦系数数据的可靠性。在这项研究中，所提出的算法的有效性进行了验证。©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍有各种类型的输入变量用于解释机器系统，包括负载和尺寸。这些输 入 变 量 包 含 一 些 不 确 定 性 （ Hess 、 Bruchman 、 Asskkaf 、&Ayyub，2002年）。例如，通过相同的实验获得的数据理论上应该具有相同的值，但实际上，由于噪声因素引起的不确定性，实验的结果不同，并且数据分散。应用考虑不确定性的基于可靠性的优化设计，可以设计出具有设计者期望的可靠性水平的系统。对于可靠的系统设计，估计表征输入变量的最佳分布是极其重要的。如果分布选择不正确，可能会导致错误的结果由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：jleej@yonsei.ac.kr（J. Lee）。因为它没有正确地表示数据的属性。然而，在现实世界中，假设输入变量的分布具有正态（高斯）分布，并设计系统。大多数情况下，输入变量不遵循正态分布，如果简单地假设数据具有正态分布，则会导致很大的误差，因为只表示线性关系。因此，确定输入变量的最佳分布非常重要（Kang，Lim，&Noh，2016）。此外，为了估计对于输入变量，需要足够的数据来表示它们的统计特性;然而，随着实验数量的增加，时间和成本增加，这在现实世界中具有经济影响。因此，现实世界的应用需要足够的最低数据（Marcelo，Gareth，Pavel，2015）。本文提出了一种确定数据最佳分布的算法。所提出的算法包括序列统计建模（ SSM ） Kang 等 人 ， 2016; Noh ， Kang ， &Lim ， 2015; Kang&Noh，2015; Jung，Lim，&Noh，2015首先，https://doi.org/10.1016/j.jcde.2017.11.0072288-4300/©2017计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。M. Joo等人 /计算设计与工程学报5（2018）358-367359以及用于确定最小实验次数的方法（Jung，Lim，&Noh，2016;Marcelo等人，2015）第二。现有的SSM具有局限性，因为它仅考虑参数分布，因此，它已被改进以考虑参数和非参数分布。此外，为了使用户能够近似总的足够的最小数据，已经使用SSM和随机抽样改进了用于确定最小实验次数的现有方法为了验证所提出的算法，在现实世界中使用的螺栓紧固的承载表面和螺纹摩擦系数的数据被应用。首先，使用SSM选择关于数据的分布以具有正态分布和最佳分布，并且使用逆累积分布函数（ICDF）计算两个然后，在两个分布的95%置信区间处对数据进行采样，并使用扭矩计算方程计算每个扭矩值。最后，所提出的算法的有效性进行了验证，通过比较计算的扭矩值和他们的安全范围使用蒙特卡罗模拟（MCS）杨，1977年。图1示出了所提出的算法的流程图，该算法用于选择关于数据的最佳分布，并从由改进的SSM组成的最佳分布验证有效性数据的可靠性，一种确定最小实验次数的方法2. 数据最佳分布的选择方法2.1. 现有的序列统计建模（Jung等人，2015; Kang&Noh，2015; Kang等人，2016; Noh等人，（2015年）现有的SSM是用于顺序地估计总体分布的参数估计方法（Noh等人，2015年）。它包括拟合优度（GoF）检验和模型选择.在算法序列中，首先应用GoF检验来检验给定数据与候选概率分布之间的绝对适应度，然后选择具有高适应度的候选概率分布。接下来，通过使用模型选择评估相对适合度，为GoF测试的结果之一选择最佳分布。估计了总体的最佳参数分布及其相应的参数。图2（Kang Noh，2015）显示了现有SSM的流程 图。现有的 SSM仅考虑 参数分布， 如Gamma，Log-logistic，Log-normal，Weibull和Normal分布。2.1.1. 拟合优度检验（Noh等人，（2015年）GoF检验是一种通过给定数据和估计的候选分布之间的统计假设检验来确定合适的候选分布的方法该检验通过将统计量与显著性水平0.05对应的值进行比较来确定候选概率分布是否被拒绝在这项研究中，Kolmogorov-Smirnov检验（K-S检验）Ditlevsen Madsen，1996被用作GoF检验的方法，并比较了各种候选分布模型的累积分布函数值和数据的经验累积分布函数值。这是一种验证方法，用于如何使用统计数据进行测试，以确定数据是否从候选函数中提取。如果统计量小于K-S检验的临界阈值0.05，则概率值大于显著性水平0.05，然后GoF检验选择满足此条件的候选分布模型。当量（1）用于 计算 统 计量 （ Ditlevsen& Madsen ， 1996; Noh 等 人， 2015年）。Fig. 1. 确定最佳分布的算法流程图。命名法DnF（x）Fnfkxi jh2008年12月检验统计量累积分布函数经验累积分布函数概率密度函数失效概率分布参数数失败次数Monte-Carlo可靠度的性能数扭矩扭矩系数紧固力dePlthlbDw天1天2天3红黄As公称直径误差比螺距螺纹摩擦系数支承面摩擦系数支承面当量直径齿根直径有效尺寸d1-H/6锥点屈服应力螺栓有效截面积.YfhKhx-xinhKnn360海里Joo等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）358-367图二. 现有序列统计建模流程图。Dn¼MaxjFnx-Fxj 1其中Fn（x）是输入变量的经验累积分布函数，F（x）是候选分布的累积分布函数。Dn是Fn（x）与F（x）之差绝对值最大的统计量。2.1.2. 模型选择（Noh等人，（2015年）模型选择是一个相对的SSM，它选择分布作为一个候选分布模型。利用核密度估计方法描述核分布。核密度估计（KDE）Jung等人，2016年; Wand& Jones，1994年估计随机变量的概率密度函数，如核分布。核密度估计的原理就像一个基本的数据平滑问题，其中基于有限的数据样本对总体进行推断。当量（4）是如下的核密度估计^1X1X. x-xi1/11/1bition功能。模型选择的类型包括最大似然估计（MLE）和赤池信息准则（AIC）。MLE将负对数函数值定义为统计值。因此，最佳分布模型具有最小的MLE值。AIC是一种考虑MLE候选分布模型中参数数量的方法。等式下面的（2）和（3）用于计算MLE和AIC（Jung等人，2015年; Kahalan，UGent，&Bozbura，2012年; Kang& Noh，2015年; Kang等人，2016; Lee Song，2012;Noh等人，2015; Soong，2014）。由于准确性，现有的SSM使用AIC方法作为模型选择。AIC仅适用于参数分布，因为非参数分布没有参数。其中x是给定数据，xi是采样数据，n是采样次数，K（X）是核函数。h是带宽，它是核函数的参数。它根据数据的直方图确定核分布的峰度。模型选择应用MLE来比较参数分布和非参数分布。通过这种方式，改进的SSM识别数据趋势的最佳分布，并且拓宽了最佳分布选项的选择。图3示出了改进的SSM的流程图，图4（a）和（b）示出了现有SSM和改进的SSM的结果。当使用现有的SSM（图4（a）），但当应用改进的SSM时，结果MLE：-Incubatorn1/1fkxijh！ð2Þ通过选择核分布作为关于数据的最佳分布（图4（b））是适当的。现有SSM和改进SSM的区别在于核分布是否在候选分布中。现有的SSM不能考虑非AIC： 2k-1mL，3mL其中L是似然值，fk（xi|h）是核函数，n是数据的数量。k是候选分布参数的数量。2.1.3. 序列统计建模的局限性及其改进现有的SSM在通过仅将参数分布与数据进行比较来选择分布方面具有局限性特别是，当选择与数据趋势完全不同的分布时，即使数据不遵循参数分布，这也会产生错误因此，有必要改进现有的特别保障机制。为此，在现有SSM中添加了非参数类型的核分布，以考虑参数和非参数分布由于它只考虑参数分布作为候选分布，并采用AIC方法进行模型选择，因此，它与核分布一样，具有很好的性能。而改进的SSM可以考虑参数和非参数分布，使用MLE作为模型选择。2.2. 确定最低数据在本研究中，确定了数据的充分性，以估计数据分布的适用性。因此，使用统计面积度量方法确定给定数据的充足性，并且当给定数据不足时，通过额外的实验额外获得数据并将其添加到给定数据中。通过计算数据和候选分布之间的信息丢失，具有最小的Hð4ÞM. Joo等人 /计算设计与工程学报5（2018）358-367361图三. 改进的序列统计建模流程图。概率密度图8765432101818.0518.118.1518.218.2518.318.3518.418.4518.5数据(a) 正态分布概率密度图87654321018 18.0518.118.1518.218.2518.318.3518.418.45十八点五数据(b) 核分布见图4。分布图和直方图。2.2.1. 统计面积度量（Marcelo等人，（2015年）使用统计面积度量，使得分布的变化率在该理论中，当分布的变化率第一次小于阈值时，数据样本的数量N被确定为估计最佳分布所需的最小数据。首先，给定数据的数目被定义为N，并且使用核分布估计来估计N、N-1和N-2个数据样本的概率分布。接下来，比较N、N-1和N-2个数据样本的估计概率分布的面积。当N、N-1和N-2数据的估计分布区域首次重叠超过90%时，数据样本N被定义为估计最佳分布所需的最小数据。如果N、N-1和N-2数据的概率区域的重叠率小于90%，则通过实际实验逐个增加数据，直到重叠率第一次达到90%以上。该方法是现有的统计面积度量，并且该方法的流程图在图5中示出（Jung等人，2016年）。2.2.2. 现有确定最小数据量现有的确定最小数据量的方法有一定的局限性，如在数据稀缺的情况下，需要通过实际实验将数据逐一相加。此外，用户无法知道数据的近似稀缺性。为了改进这一方法，本研究使用了SSM和随机抽样。首先，使用改进的SSM估计给定数据的最佳分布，并且在给定数据的最佳分布处采样N、N-1和N-2个数据样本。接下来，使用核密度估计来估计N、N-1和N-2个数据样本的分布（Jung等人，2016年; Wand& Jones，1994年），并比较N、N-1和N-2个数据样本的分布面积，增加数据样本N的数量，直到重叠率第一次同时达到90%以上。当第一次重叠率大于90%时，N被定义为所需的最小数据。在这种改进的方法中，使用了N、N-1和N-2数据分布区域的200次重复值的平均值作为N、N-1和N-2的分布区域，以减少随机抽样带来的误差。当使用200个重复值的平均值时，面积值的重叠分布结果显示最多三位小数没有变化。改进的方法允许估计所需的近似值数据正常数据内核密度密度NNNPf2个dp6BFy S362海里Joo等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）358-367并且基于采样的N个数据与故障数据样本的数目Nf之间的比率来估计故障概率。使用Eq. （5），并使用等式（1）计算可靠性。（6）Doh，Lee，Ahn，Kim，Kim，2016.Pf¼NfR1-Pf1-Nfð5Þð6Þ其中Pf是失效概率，Nf是失效次数，N是Monte-Carlo模拟的性能次数。R代表可靠性。为了评估这种可靠性和误差，扭矩计算方程被用作计算Monte-Carlo模拟的函数。螺栓紧固的扭矩作为摩擦系数的函数来计算。在最佳分布的95%置信区间内产生轴承表面的随机变量和螺纹摩擦系数数据，作为扭矩计算方程的输入数据如果将这些随机变量用作扭矩计算方程中的输入数据，则计算出的扭矩具有概率分布。如果计算出的扭矩在实际实验测得的扭矩最小值和最大值之间，则摩擦系数数据的有效区间（95%置信区间）具有可靠性，可作为计算螺栓紧固力的输入数据图7示出了Monte-Carlo模拟的流程图，以及（7）表1显示了扭矩计算公式中使用的固定常数T¼K ×F ×d×7mm图五. 现有统计面积度量比较方法的流程图。K1/2双螺杆挤出机d2秒plDW8数据使用随机抽样的方法，而不必通过实际实验添加数据。 图图6示出了本发明的实施例的流程图。RA我是一个很好的律师。ffiffiffiPffiþffiffiffi3ffiffi:ffi6ffi3ffiffilffiffibffiffidffiffi2ffiΣffiffiffið9Þ用于确定最小数据的改进方法在这里，IAPop，N是给定数据和采样N数据之间的分布面积，IAN，N-1是采样N和N-1数据之间的分布面积，IAN，N-2是采样N和N-2数据之间的分布面积最后，IAC（0.90，90%）是分布面积的阈值3. 计算95%置信区间，评估可靠性和误差3.1. 95%置信区间如果用SSM和一种确定最小数据的方法选择数据的最佳分布，则计算95%置信区间，以获得算法中考虑不确定性的有效数据。在本研究中，逆累积密度函数（ICDF）用于计算95%置信区间，并且是概率分布面积的x值;此外，如果x值的任一侧上有2.5%的例外，则最小和最大x值在95%置信区间内。3.2. 可靠性和误差评估在这项研究中，蒙特卡洛模拟（MCS）杨，1977年被用来评估使用所提出的算法计算的输入变量的有效区间的可靠性。这通过虚拟测试的模拟来创建极限状态函数，：d2在扭矩计算公式中，T为扭矩，K为扭矩系数，F为紧固力，d为螺栓公称直径。扭矩系数中，P为螺栓螺距，lth为螺纹摩擦系数，摩擦系数，d2为有效螺栓直径，lb为承载面摩擦系数，Dw为支承面当量直径。在紧固力方程中，ry为屈服应力，As为螺栓的有效截面积，d3由d1-H/6计算。d1为螺栓根部直径，H为螺栓锥尖高度。为了提高Monte-Carlo模拟结果的可靠性，进行了误差评估。若增加摩擦系数随机变量的数目，则Monte-Carlo模拟的误差会减小。当量（10）使用为了计算误差比e（%），Young，1977; Doh等人， 2016年。置信水平：95%置信水平：9 5%置信水平：1004. 利用实际实验数据对算法进行了验证4.1. 螺栓紧固摩擦系数在这项研究中，在现实世界中使用的螺栓紧固的实际摩擦系数来验证所提出的算法。将摩擦系数分解为支承面摩擦系数和螺纹摩擦系数。轴承表面摩擦系数为日M. Joo等人 /计算设计与工程学报5（2018）358-367363见图6。 改进的统计面积度量比较法流程图。见图7。 Monte-Carlo模拟在螺栓头部和支承面之间产生摩擦系数，在螺栓和螺母之间产生螺纹摩擦系数，如图8所示。用于测量摩擦系数的螺栓、轴承表面和螺母如表2所示。使用轴向力测试仪（Schatz，德国）测量轴承表面、螺纹摩擦系数数据和扭矩值，如图所示。9.第九条。28个数据样本的轴承表面，螺纹摩擦364海里Joo等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）358-367表1扭矩计算公式中的恒定值。直径（mm）P（mm）d1（毫米）d2（毫米）101.258.6479.188d3（毫米）直径w（mm）ry（MPa）As（mm2）8.46645.3694061.199见图8。轴承表面和螺纹摩擦系数。表2螺栓紧固组合件表面处理情况螺栓螺母支承表面镀黑锌镀黑锌普通钢板系数和扭矩使用轴向力测试仪用螺栓、支承表面和螺母的紧固组合测量，如表2所示。 图 8、螺母固定，螺母与下部无摩擦（绿色）。现在，只有螺栓转动，螺栓头和轴承表面之间以及螺栓螺钉和螺母之间产生摩擦。在图9中，我们从紧固力测量部分和扭矩测量部分。然后，lb和lth可以被计算-从Eqs。（9）和（8）。4.2. 摩擦系数数据最佳分布的估计利用SSM确定了28个轴承表面和螺纹摩擦系数数据样本表3显示了承载表面和胎面摩擦系数的最佳分布。应用GoF检验和模型选择来选择核分布作为轴承表面和螺纹摩擦系数数据的最佳分布。对于K-S检验，核分布的p值大于0.05，核分布的MLE值是候选分布中最小的。4.3. 充分数据使用改进的方法确定所需的最少数据，验证了用于估计最佳分布的28个摩擦系数的充分性。如表4所示，N（108和77）是轴承表面和螺纹摩擦系数估计最佳分布的必要数据，大于给定值28。这表明28个数据样本不足以估计最佳分布，因此，使用通过实际实验获得的60个数据样本加上给定的28个数据样本，获得了88个支承表面和螺纹摩擦系数的数据样本。然后，以88个数据样本为输入，用改进的方法确定最小数据。如表5所示，得出的结论表明，88个数据样本足以估计最佳分布，因为N（86和72）小于88。4.4. 添加摩擦系数数据利用改进的SSM确定了轴承表面和螺纹摩擦系数数据的88个数据样本的最佳分布。如表6所示，选择核分布作为轴承表面和螺纹摩擦系数数据的最佳分布。图10（a）和（b）显示了轴承表面和螺纹摩擦系数数据的88个数据样本的核分布的直方图和概率密度函数图。该图显示，概率密度函数图非常符合直方图。图11（a）和（b）显示了轴承表面和螺纹摩擦系数数据的88个数据样本的正态分布的直方图和概率密度函数图。4.5. 用蒙特卡罗模拟法如表7（a）所示，使用逆累积分布函数计算核分布（88个数据样本的最佳分布）的95%置信区间。此外，正常值的95%置信区间螺栓紧固力测量部件坚果在这部分图8扭矩测量部分支承表面见图9。 螺栓紧固轴力装置。M. Joo等人 /计算设计与工程学报5（2018）358-367365表3给出了螺栓紧固摩擦系数的序列统计建模结果。K-S检验3.2523e-5 9.3637e-4 9.1443e-5 5.1751e-5 1.1758e-5 0.4273电话：+86-755 - 8888888传真：+86-755 - 88888888最终选择表4关于给定数据的最少试验次数的确定结果给定数据最少实验IAPop，NIAN，N-1IAN，N-2IAC承载面：28N-1：1070.99130.98820.89920.9000N：1080.99120.98810.90120.9000浏览次数：28N-1：760.99000.98720.89720.9000N：770.99070.98740.90620.9000表5关于数据相加最少试验次数的确定结果给定数据最少实验IAPop，NIAN，N-1IAN，N-2IAC承载面：88N-1：850.99130.98830.89800.9000人数：86人0.99140.98810.90660.9000浏览次数：88N-1：710.98900.98540.89510.9000人数：72人0.98970.98700.90650.9000表6螺栓紧固摩擦系数88数据的序列统计建模结果。K-S检验2.2865e-5 0.0763 1.3235e-4 7.0937e-7 6.2275e-7 0.9457电话：+86-21 - 8888888传真：+86-21 - 88888888最终选择螺纹选择× × × × ×sK-S检验9.2584e-7 1.9352e-4 5.2759e-6 1.6630e-6 1.2636e-7 0.3951粤ICP备11044775号-1最终选择如表7（b）所示，计算用于与最佳分布进行使用Monte-Carlo模拟对内核和正态分布的95%置信区间进行可靠性验证，如表8所示。首先，使用随机抽样产生1000- 400，000个具有95%置信区间的核和正态分布的数据样本，并且扭矩使用这1000- 40，0000个数据样本作为等式（1）中的输入变量。（6）计算。如果计算的扭矩在安全扭矩值区间内，分布的95%置信区间具有可靠性。此外，如果数据样本的数量增加，则Monte-Carlo模拟的误差率应该降低。如表8（a）所示，在SSM中选择的核分布的95%置信区间的%为100%，失效概率为0%，误差比达到无穷大。另一方面，正态分布的95%置信区间的可靠性为95%，失效概率为5%，误差比为1.5这表明，使用SSM的最佳分布的95%置信区间采样的数据的可靠性高于通过假定的正态分布采样的数据的可靠性。失败的概率正态分布的失效概率高于最佳分布的失效概率。在此基础上，利用该算法可以确定最佳的数据分布，并利用可靠性高的摩擦系数计算最佳螺栓紧固力。5. 结论在这项研究中，提出了一种算法来确定输入变量的有效区间，包括机器系统设计中的不确定性。对算法中的SSM和最小数据量的确定方法进行了改进.为了验证所提出的算法，轴承表面和螺纹之间产生的螺栓（黑色镀锌），螺母（黑色镀锌）和轴承表面（普通钢板）的摩擦系数数据被使用。使用该算法，最好的分布的摩擦系数估计使用六个候选分布模型。SSM选择核分布作为轴承表面和螺纹摩擦系数数据的最佳分布。在K-S检验和模型选择中，核分布的p值仅大于备选销售伽马对数成长对数正Weibull正常内核支承表面选择×××××SK-S检验MLE最终选择8.5089e-5-135.1941–0.0429-152.0217–4.0034e-4-140.9289–8.6295e-6-117.9293–4.2927e-6-122.3821–0.9363-188.4604S线程选择×××××S备选销售伽马对数成长对数正Weibull正常内核轴承表面选择×S×××S数据内核数据内核密度-366海里Joo等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）358-367概率密度图60概率密度图6050504040303020201010000.050.10.15数据0.2 0.25 0.300.05 0.1 0.15 0.2 0.25数据(a) 支承表面(a) 支承表面概率密度图25概率密度图25202015151010550-0.05 00.050.10.15 0.2 0.25 0.3 0.35数据0-0.05 00.050.10.15数据0.20.250.30.350.4(b) 线程见图10。 88个数据的最佳分布图和数据直方图。阈值，即，0.05，核分布的MLE值是候选分布中最小的为了检查用于估计最佳分布的给定28个数据样本的充分性结果表明，给定的28个轴承表面和螺纹摩擦系数数据样本不足以估计最佳分布，因此，通过实际试验，在给定的28个数据样本中增加了60个新的数据样本。然后，使用支承表面和螺纹摩擦系数数据的所有88个数据样本重复确定最小数据的方法结果，估计轴承表面和螺纹数据的最佳数据分布所需的最小数据样本数N分别为86和72，因此，88个数据样本足以估计最佳分布。使用所有88个数据样本重复SSM，并且88个数据样本的轴承表面和螺纹摩擦系数的最佳分布具有核分布。在此基础上，选择了正态分布与核分布进行比较88个数据样本的关节面和螺纹摩擦系数的95%置信区间分别为0.0872此外，本发明还提供了一种方法，（a）螺纹图十一岁88个数据的轴承表面的假设正态分布图和数据直方图表795%置信区间。(a) 使用所提出的算法承载面0.0872螺纹0.0652-0.3166(b) 假设的正态分布承载面0.0586螺纹-0.0105至0.2991正态分布的88个数据样本的轴承表面和螺纹摩擦系数的95%置信区间分别为0.0586-0.1683和0.0105 - 0.2991。为了评估该95%置信区间（所有88个数据样本分布的有效区间），应用了Monte-Carlo模拟。 结果，核分布的95%置信区间的可靠性为100%，失效概率为0%，误差比达到无穷大。另一方面，核分布的95%置信区间的可靠性约为95%，失效概率为5%，错误率为28- 1.5%。这意味着如果数据数据正常密度数据正常密度密度M. Joo等人 /计算设计与工程学报5（2018）358-367367表8Monte-Carlo模拟结果。选择适当，则机械系统设计中的输入变量具有可靠性，如果不小心将数据的分布选择为正态分布，则系统设计结果将产生很大的误差。通过该研究，验证了该算法的有效性，确定了该算法能够获得有效区间、足够的数据量和表达数据统计特性的最佳分布。这种估计的分布和足够的数据可以用作材料特性数据，其可以可靠地用于机器系统设计中。在接下来的研究中，将验证所提出的算法的有效性，并将该算法应用于在除了螺栓紧固之外的各种应用中。利益冲突作者声明不存在利益冲突致谢这项工作得到了韩国能源技术评估和规划研究所（KETEP）和韩国贸易工业能源部引用Ditlevsen，O.，马德森，H。O. （1996年）。结构可靠性方法（第1版）p. 384）。John Wiley Sons.Doh，J. H、李，J。美国，安氏，H.美国，Kim，S.W.，Kim，S.H. （2016年）。考虑聚合物材料退化特性的汽车零部件可靠性设计。Transaction of the Korean Society ofAutomotive Engineers，24（5），596 -604（in Korean，English abstract）.Hess，P.，Bruchman，D.，阿斯克卡夫岛&阿尤布湾M.（2002年）的报告。不受材料强度、几何形状和载荷变量的影响。 海军工程师杂志，114（2），139-166。Jung，J.H.，Lim，O. K.，&诺河，澳-地J.（2015年）。利用核密度估计确定合理抽样数的方法。在KSME 2015年秋季年会的会议记录中; 2015年11月11日至13日;韩国济州岛（pp. 1648-1650）。Jung，J.H.，Lim，O. K.，&诺河，澳-地J.（2016年）。用面积度量确定实验次数的方法比较。 在KSME 2016年春季年会的会议记录中; 2016年4月7日至9日;韩国济州岛（pp.第5-6段）。Kahlovan，C.，UGent，E. K.，&Bozbura，F. 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