理论计算机科学电子笔记270（2）（2011）59-77www.elsevier.com/locate/entcs拓扑量子逻辑与混合态AndreasDüoring1牛津大学计算实验室，沃尔夫森大楼，公园路，牛津OX1 3QD摘要Topos方法对物理理论的表述包括一种新形式的量子逻辑。 我们介绍这个topos量子逻辑，包括一些新的结果，并将其与标准量子逻辑进行比较，所有这些都着眼于概念问题。特别是，我们表明拓扑量子逻辑是分配的，多值的，上下文和直觉。它包含叠加而不是基于线性结构，具有内置的粗粒度形式，自动避免通常与不相容物理量的命题的结合相关的解释问题，并提供标准量子逻辑所缺乏的物质含义。重要的是，拓扑量子逻辑有一个明确的几何基础。纯态的表示和真值分配进行了讨论。它是简要地显示如何混合状态适合这种方法。保留字：拓扑方法，量子逻辑，叠加，蕴涵1引言在一个非常基本的层面上，物理学是关于这样的命题：人们想知道在系统的给定状态下，这些命题具有什么真值。真值如何随状态（在时间上）而变化也很有趣。在经典物理学中，这是没有问题的：存在一个状态空间，并且在任何给定的（纯）状态中(a) 所有物理量都有一个值，(b) 所有形式为“Aε Δ”的命题对于经典系统，命题由状态空间的子集表示。通常，我们只关注Borel子集，这里我们将遵循这个约定。经典系统的（纯）态是系统状态空间的一个点，2，命题的真值是真的，假的。的Borel子集1电子邮件：andreas. comlab.ox.ac.uk[2]我们避免使用“相空间”这个概念，这似乎是一个历史性的用词不当。1571-0661 © 2011 Elsevier B. V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。doi：10.1016/j.entcs.2011.01.02360A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59状态空间构成布尔σ-代数，经典物理系统的逻辑经典物理学是一种充满性质（a）和（b）的实在论理论。众所周知，量子理论没有这样的实在论表述：Kochen-Specker定理[29，9]表明，量子系统不存在类似于经典状态空间的状态空间。 希尔伯特空间不起这个作用。特别是，Kochen和Specker要求物理量在量子系统的（假设的）状态空间上表示为实值函数，然后证明这样的空间不存在。事实上，他们证明了一个更强有力的结果，即在非常自然的条件下，不可能同时给所有物理量赋值，因此也不可能给真响应赋值。对所有命题都是假的在标准量子逻辑中，可以追溯到Birkho和von Neumann的开创性论文[5]，像“Aε Δ”这样的命题是由希尔伯特空间上的投影算子（通过谱定理）表示的投影形成非分配格，这使得将格运算解释为逻辑运算非常可疑。量子逻辑缺乏适当的语义学。纯态是用Hilbert空间中的y个单位向量表示。设Eε[AεΔ]表示投影表示命题在给定状态下|因此，我们可以计算“Aε Δ”在状态下为真的概率|联系人：P（A εΔ;|ψ⟩):=⟨ψ|E[A εΔ]|[0，1].（1）解释是工具主义的：根据物理量的测量A，我们将发现结果以概率P（Aε Δ;|（掌声）。标准量子逻辑及其许多概括[8]有许多概念和解释问题。对我们来说，非分配性和对工具主义概念的根本依赖似乎是最严重的。在下文中，我们提出了一种新的量子逻辑形式，它克服了这些问题。这种新形式的量子逻辑起源于十多年前由Butter Field和Isham [23，24，25，26]提出的物理理论表述的拓扑方法。下文提供了进一步的参考资料第二节介绍了拓扑方法的基本结构。在第三节中，讨论了命题的表示和投影的daseinisation。第4节关注纯态以及它们如何为所有命题分配拓扑-内部真值第3节和第4节正在与克里斯·伊沙姆开展联合工作证明了一些新的小结果特别是，它表明拓扑量子逻辑有一些重点的topos计划的概念讨论。第5节概述了如何在拓扑方法中处理混合状态，以及这与逻辑方面的关系。第六节指出了相关的工作。第7节结束。2基本结构在本节中，我们将介绍量子理论的拓扑方法的一些基本结构。我们在这里只能给出一个草图和一些直观的想法A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59614JJ关于包括许多其他方面和结果的全面介绍，见[14，15，16，17]和[18]。在[10]和最近的[13，22]中给出了对topos方法的简要介绍我们假设一个量子系统是由它的可观测量的代数来描述的。为了简单起见，我们假设这个代数是B（H），是一个2维或更大维的可分希尔伯特空间H上所有有界算子的代数。 希尔伯特空间可以是无限维的。对于量子系统的每个物理量A，对 应 于 B （ H ） 中 的 一个 自伴算 符 A，反之亦然. B（H）是一个vonNeumann代数。我们强调，我们所有的结果推广到任意冯诺依曼代数，没有额外的e？32.1所述背景类别topos方法的一个中心思想是考虑语境性，正如Kochen-Specker定理所建议的那样。对我们来说，上下文是非交换von Neumann代数B（H）的交换子代数。 我们只考虑阿贝尔冯诺依曼子代数，因为我们希望在每个代数中有足够的投影使谱定理成立。此外，我们只考虑了H中包含恒等算子的交换子代数. V（H）表示B（H ）的有单位元的交换vonNeumann子代数的集合. V（H）是一个偏序集，把较小的代数包含在较大的代数中。 如果VJ，V∈ V（H）是使得VJ包含在V中的上下文，我们将包含记为iV′V：VJ→V. 因为每个偏序集都是一个范畴，我们称V（H）为上下文范畴。它的对象是B（H）的交换vonNeumann子代数，它的箭头是它们之间的包含每个上下文V∈ V（H）都提供了对量子系统的经典观点，因为在经典物理学中，所有的物理量分别是上下文中相应的当然，由单个上下文V提供的视角是局部的，因为量子系统具有不能全部包含在上下文中的非对易物理量。但是，通过同时考虑所有的背景，并进一步跟踪它们之间的关系，人们可以希望获得量子系统的完整图像2.2与量子系统相关的拓扑及其内部逻辑当然，仅仅考虑上下文范畴V（H）是不够的。相反，我们定义了V（H）上的结构以及这些结构之间的关系。具体地说，我们考虑了上下文范畴V（H）上的集值函子以及它们之间的自然变换.在这一点上，必须在协变函子和逆变函子之间做出选择。设V，VJ∈ V（H），使得Vj<$V.从代数V到更小的代数V的步骤是一个粗粒度的过程：由于V包含更少的自伴操作，3.位置和动量等物理量可以用无界算子描述，而冯·诺依曼代数只包含有界算子，这是没有问题的。一个无界算子可以被抽象为一个冯·诺依曼代数，只要它的所有谱投影都在这个代数中（见例如：[28]）。[4]范畴论的标准参考文献是[30]。62A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59V HV HV H由于比V更少的投影，人们可以从视角描述更少的物理学，V j的值比V。因此，将自伴算子和投影从V映射到VJ将使近似成为必要。如果我们考虑一个命题“Aε Δ”是一个由V中的自伴算子A ε表示的物理量A，则在V中存在一个表示该命题的投影P ε = E ε [ A ε Δ]。较小的交换子代数VJ可能不包含投影Pj。 这意味着，命题“A Ε Δ” 不能从VJ的角度来陈述。 投影Pε和相应的投影“A ε Δ”都必须通过使它们更粗糙来适应Vj。这就引出了此在化（daseinisation）的概念，我们将在下一节详细讨论另一方面，从VJ到V的步骤是微不足道的，因为VJ中的每个自伴算子和每个投影当然也包含在V中。在这个方向上，我们可以仅仅将较小的代数VJ嵌入到较大的代数中，而不使用V中可用的额外结构（更多的自伴算子，更多的投影，因此更多的命题）。这强烈建议在上下文范畴V（H）上使用contravariant函子：V（H）中的箭头是较小上下文VJ到较大上下文（如V）中的包含，因此如果我们想要合并粗粒度，我们的函子over（）必须op反转箭头的方向因此，考虑集合V（H），2015年10月15日，《中国日报》（）. 以自然转换为箭头，op如果有预层，则集合V（H）成为一个范畴。 这个类别有所有额外的结构可以做成地形图[5]拓扑理论是纯数学的一个高度发展的分支，我们参考文献以获得更多信息[20，31，27]。对我们来说，重要的方面是，topos是一个类别，其对象opsets '。 每个预层P∈集合V（H）可以看作是一种广义集合，并且每个预层之间的自然变换τ：P1→P2集合之间的函数。 预压层可以具有额外的结构，op一个群，一个拓扑空间，一个环等等，在拓扑集合V（H）的内部（自然变换可能会也可能不会保持这种额外的结构）。第二类：context（ ）是拓扑集V（H）的基范畴op，以及上下文V∈ V（H）也称为阶段。 每个预层P∈集合V（H）可以被看作作为集合的集合（PV）V∈V（H），每个上下文对应一个集合，以及函数P（iV′V）：PV→ PV′，只要VJ<$V。(If VJ= V，则函数P（i VV）是P V上的恒等式。topos中的子对象分类器Ω是泛化集合{0，1}的对象 真 值的（其中0被标识为假，1被标识为真）在拓扑集合中op设置和功能。 在拓扑集合V（H）中 ，子对象分类器Ω是预层V（H）上的筛。 对于每个V∈ V（H），集合ΩV V上的所有筛的分配。V上的筛子σ是V的下闭子代数的集合，即，若VJ∈σ且VJJ<$VJ，则VJJ∈σ。 V上的最大筛法就是下集↓V（H）中的V 如果VJ<$V，则函数Ω（i V′V）：ΩV →ΩV′ 发送一个筛子σ∈ΩV到筛子σ<$<$Vj∈ΩV′。5即，它具有有限极限和共极限、指数以及子对象分类器。opA. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）5963op拓扑集合V（H）的内在逻辑中的一个真值是子对象分类器Ω的全局元素γ=（γV） V∈V （ H ），即，对所有V∈ V（H），我们有γ V ∈ Ω V，且当Vj <$V时，γV<$<$VJ=γ V′。这种真值γ的直观解释就是，对于每个上下文，V∈V（H），我们有一个局部真值-值为真或假：如果V∈γV，对某些V∈V，那么在V处，我们有真，否则我们有假。γ是一个整体元素的事实保证这是V的选择之一。更进一步，我们有筛子的事实意味着如果在某个V∈V（H）我们有真，那么我们在所有VJ<$V都有真。在物理上，我们将上下文V∈ V（H）解释为所考虑的量子系统的经典观点。因此，一个真值γ是语境性的：它从每个视角V提供关于真或假的信息。很明显，对于每个上下文，都有一个真值γ1，它由最大筛子↓V这被解释为完全正确，即，从所有角度来看，V∈ V（H）都是真的由每个V的空筛组成的真值γ0被解释为全假。在γ0和γ1之间还有许多其他的真值。真值在包含下是偏序的。众所周知，它们形成了一个海廷代数，直觉主义命题逻辑的代数代表特别是，这意味着合取和析取的行为是分布式的。直觉主义逻辑演算和布尔逻辑演算的主要区别在于前者不需要排中律。如果H是一个顶元为1的Heyting代数，且a∈H且<$a是它的否定，则a ≤ 1。（二）在布尔代数中，等式成立。拓扑集V（H）提供的内部逻辑因此，它是分布式的、多层次的，有价值的，上下文和直观的。我们将把这种逻辑结构应用于量子理论.2.3光谱预层我们在经典物理学中使用布尔逻辑的事实与经典物理学是基于状态空间S的概念。关于系统的一个物理量A的命题状态空间。 该子集包含所有状态（即，状态空间的元素），其中命题为真。通常，人们不考虑状态空间的所有子集，而是将注意力限制在可测量的子集上。Borel子集B（S）构成一个σ-完全布尔代数。在经典物理学中，在任何给定的状态s∈ S中，每个命题都有一个真值。如果s位于表示命题的S的子集中，则命题为真，否则为假。Kochen-Specker定理[29]表明量子理论中没有类似的状态空间图像。 该定理通常被解释为意味着在量子理论中不存在非上下文真值赋值。topos方法将此作为动机和起点。对于每个上下文V∈ V（H），op64A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59存在一个类似于经典情形的状态空间图像：每个V是一个交换的C-代数，因此通过Gel在这里，Gel 'fand谱V，这是一个紧凑的Hausdor空间，采取的状态空间的作用的物理量所描述的自共轭算子在V。将一个自伴算子A∈V引入到V上的实值函数G（A∈）中，<$λ∈<$V：G（A<$）（λ）=λ（A<$. （三）im（G（A） ）=sp（A ）成立。 由于V是Neumann 代 数 上 的 一个v，所以Gel'fand谱是极端不连通的。其主要思想是从所有的局部状态空间V∈V（H）定义一个上下文范畴V（H）上的预层，通过给每个上下文V∈ V（H）分配它的Gel如果VJ<$V，则存在一个正则函数（iV′V）：λ−→ λ|V′。这定义了谱预层，它是经典系统的状态空间S它是在2.2节中讨论的意义上的广义集。每个上下文V∈ V（H）由它的投影格P（V）决定（因为v在Neumann代数中是由它的投影生成的）. 命题Q∈P（V）表示从V的角度可以得到的命题“AεΔ”。由于V是阿贝尔冯诺依曼代数，投影格P（V）是分配格。而且P（V）是完备的和正交可补的。在P（V）和Cl（V）之间存在格同构，Clopen的格，即，封闭和开放的子集的凝胶α：P（V）−→Cl（V）（5）P<$−→SP<$：={λ∈<$V|λ（P_∞）=1}。局部地，在每个V∈ V（H）处，这给出了V中投影之间的对应关系和凝胶峰的子集3命题的表示3.1预测的去此化设S是一个给定的量子系统，任务是在topos方案中找到一个合适的命题代表。主要思想非常简单：谱预层是经典系统状态空间的模拟。由于在经典物理学中，命题对应于状态空间的Borel子集，因此我们构造了合适的子集，或者更确切地说，谱预层的子空间，它将作为命题的代表有一个简单的方法可以做到这一点：让设P∈=E∈[A εΔ]是P（H）中的相应射影。第一步，我们‘adapt’A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）5965⊇∈VV∈ V HV∈V（ H）：δo（ P{Q∈P（V ）|Q≥P <$}。（六）也就是说，我们通过V中大于或等于P的最小投影从B中近似P。 在逻辑命题6的层次上，我们从V的角度考察了“Aε Δ”所隐含的最长的逻辑命题。 在简单情况下，δo（Pε）V表示一个局部命题“A ε r "，其中rΔ。一般地，表示物理量A的自伴算符A不需要包含在V中，因此由yδo（P）V表示的命题具有“B”的形式其中B是一个物理量，使得相应的自共轭算子B ∈ V. 7在任何情况下，δo（P）V≥P。定义命题“Aε Δ”的代表的中心概念思想每个上下文V∈ V（H）提供了量子系统的经典视角，其特征在于V中投影算子的集合P（V）。V中的投影对应于关于V中物理量值的局部命题。如果我们出发的整体命题“AεΔ”是一个关于某个物理量A的命题，它由V中的一个自伴算子Aε表示，那么表示“AεΔ”的射影Pε也包含在V中，并且daseinization将把这个射影pik在P ε处（即， δo（P）V=P）。 如果A∈/V且P∈/V，则我们必须将P ∈A到C_n文本V。从V的角度出发，可以很自然地得出“AεΔ”所隐含的最强局部命题。在投影的层次上，这意味着必须取V中大于P的最小投影。 在这种情况下，δo（P）V>P。从P出发，我们得到一个投影的集合，对于每个文本V∈V（H），我们有一个投影的集合。然后，对每个V∈ V（H），我们利用同构（5）得到一族（Sδo（P）V）V∈ V（H）的封闭子集。直接了当地表明，对所有的VJ， V∈V（H），使得VJ<$V，它认为，Sδo（P）V|V′={λ|V′|λ∈Sδo（P<$）V}<$Sδo（P<$）V′（7）（见Thm。3.1在[15]中。事实上，这里显示了平等的成立，这比我们在这里需要的要多。） 这意味着族（Sδo（P<$）V）V∈ V（H）形成了谱预层的一个子对象--它只不过是一个子预层。本文用sδ（P_（？））表示，并讨论P_（？）当我们定义分段的子对象δ（P_∞）时，对于eachV∈V（H），子对象本身是一个全局对象，由所有子集组成δ（P）=Sδo（P）（8）对于V∈ V（H），函数δ（P<$）V−→δ（P<$）V′，λ<$−→λ|V′（9）bet tweenthem（forallVJV）. 换句话说，δ（P_n）是凝聚范畴V（H）上的一个预层，而不是一个单纯的集合. δ（P）的整体代表了[6]我们称那些命题为局部的（在V），它们通过谱定理由V中的投影算子表示我们要表示的命题对于每个上下文V（），全局命题变得粗粒度以给出一些局部命题。7我们注意到，即使Aε∈/V，我们仍然可以有一个Pε=Eε[A εΔ]∈V。66A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）598“AεΔ”（其中Pε是对应于投影“AεΔ”的投影）。 许多关于次天体的数学论证可以逐步进行，但次天体的整体性质在数学和物理解释中都很重要。如果一个子对象S的所有组成部分SV都是V的闭集，则称之为闭子对象。人们可以证明，clopen子代数形成一个完整的海廷代数子cl（）（见Thm。2.5在[15]中）。从此在化中获得的子主体都是封闭的。相对于所有的共轭亚基，使用共轭亚基具有一定的技术优势。我们把谱预层的闭量子的Heyting代数Subcl（ε）看作是Topos公式中表示（命题）量子逻辑的代数Subcl（ε）是经典系统的状态空间S的Borel子集的布尔σ-代数在下文中，我们讨论了一般的daseinisation和topos量子逻辑的主要性质。3.2Daseinisation的性质及其物理解释以下映射称为投影的daseinisation：δ：P（H）−→Subcl（H）（10）P<$−→δ（P）。我们可以很直接地证明此在化具有以下特性：(1) 如果P<<$Q<$，则nδ（P<$）<δ（Q<$），即，此在化是秩序保持的;(2) 映射δ：P（H）→Subcl（H）是单射的，即两个不等价的命题对应于两个不同的子代数;(3) δ（θ0）=0，即经验对象，δ（θ1）=0。 平凡假命题用空的子对象表示，平凡真命题用全对象表示。此外，我们将证明，(4) 对所有的P<$，Q<$∈P（H），有δ（P<$$><$Q<$）=δ（P<$）<$δ（Q<$），即此在化保持命题的析取（Or）;(5) 对所有的P_n，Q_n∈P（H），证明了δ（P_n <$Q_n）≤δ（P_n）<$δ（Q_n），即此在化不保持命题的合取（And）;(6) 一般地说，对于射影R ∈ P（H），δ（P_∞）<$δ（Q_∞）不具有δ（R_∞）的形式，而且类实化不是满射的.Daseinisation可以被看作是普通的Birkho-von-Neumann量子逻辑[ 5 ]和命题量子逻辑的topos形式之间的 后者更确切地说是一个海廷代数。[8]众所周知，从命题到投影的映射是多对一的。如果两个命题对应于同一个投影，则它们是等价的A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）5967O性质（1-3）显然是物理上可感知的在更详细地讨论性质（4op光谱预层的子层，拓扑集合V（H）中的对象，具有强的几何方面。谱预层是自然地包含量子系统的物理量代数B（H）的所有交换子代数V∈ V（H）的此外，局部状态空间通过规范限制函数<$（i V′V）：<$V→λV′，λ›→λ|V′，对于所有VJ，V∈ V（H）使得Vj<$V.op谱预层可以看作拓扑集V（H）中的拓扑空间、它与函子拓扑集V（H）中的交换C-代数B（H）的内Gel'fand谱密切相关关于光谱预层和B（H）光谱之间关系的细节可以在[12]中找到。我们的量子态空间的这种强几何和拓扑特征与希尔伯特空间作为一个态空间的通常解释非常不同把这些投影作为命题的代表。特别地，谱预层和它的分支都不是线性空间，V∈ V（H）为了证明性质（4），我们首先观察到，对于每个V∈ V（H），映射V：P（H）−→P（V）（11）P<$−→ {Q<$∈P（V）|Q≥P}是维持秩序的 设P∈ P（H），Q∈P（H），则δo（P∈）V≤δo（P∈Q）V和δo（Q∈）V≤δo（P∈Q）V，so δo（P∈）V <$δo（Q∈）V≤δo（P∈Q）V. 对比分析表明，δo（P）Vδo（Q）V≥P和δo（P）Vδo（Q）V≥Q，so δo（P）Vδo（Q）V≥PQ。但由于δo（P）V <$δo（Q）V∈P（V），且δo（PQ）V是V中大于或等于PQ的最小投影，故也有δo（P）V<$δo（Q）V≥δo（PQ）V。 由于子块的连接是分阶段定义的，因此性质（4）如下。很容易看出，性质（4），连接的保持，实际上可以推广到任意连接，δ（Pi）=δ（Pi）。（十二）i∈Ii∈I投影的连接与标准量子逻辑中的叠加有关。 的下面的论证来自标准量子逻辑：设“Aε Δ”和“Bε Γ”是两个投影，分别用投影Pε r p表示。 Q. 一个ny单位向量，Hilbert空间的子空间P_H表示一个纯态，在该纯态中，“AεΔ”为真（即，P_（10）的期望值在这种情况下，1）。同样地，Q ∈ H中的每一个单位向量都是满足“B ε r”为真的状态。无线性叠加。这两个投影的并投影P<$$>Q<$H是P<$H和Q<$H所生成的线性子空间的闭包的投影。 通常，存在单位向量，即， 闭子空间（P<$$>Q<$$>）H中既不在P<$H中也不在Q<$H中的纯态。因此，一个状态使由PεΔ r Q ε r表示的命题“A ε Δ or B ε r”δ68A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59在状态A中，“Aε Δ”和“Bε r”都不这类态可写为P_H和Q_H中矢量的线性组合，并可视为叠加态。态可以通过线性组合叠加的事实是量子理论的一个基本事实。显然，叠加与希尔伯特空间是线性空间这一事实在这个论证中，人们使用了标准量子逻辑的一个被认为是有问题的特征：闭子空间或投影在内涵意义上代表物理性质，同时是其扩展，即使命题为真的状态的集合。这种延伸坍缩被Foulis和Randall称为标准量子逻辑的“标准结构似乎决定了一种伸展性坍塌。事实上，希尔伯特空间的闭子空间同时表示内涵意义上的物理性质及其扩展（肯定验证所讨论的性质的状态正如在经典的集合论语义学中所发生的那样，在内涵意义上没有物理性质的数学表示 Foulis和Randall把这种外延坍缩称为标准量子逻辑方法的”形而上学灾难”。在我们的topos方法中，我们还没有调用状态，我们的量子状态对象也不是线性空间。然而，我们有一个值得注意的事实，即此在化将此在化是一个并半格态射。有趣的是，Subcl（n）中的二元连接是由集合论并集按分量定义的：设S1，S2是两个闭子集，则<$V∈ V（H）：（S1<$S2）V= S1;V<$S2;V.（十三）与希尔伯特空间的情形不同，线性子空间的线性跨度不起任何作用。在标准量子理论中，连接下的投影行为与希尔伯特空间的叠加和线性特征密切相关，通过daseinisation映射到格上，其中连接由集合论的并集给出（在每个分量中）。尽管光谱预层不是线性空间，但daseinisation因此保留了标准量子逻辑的一个中心方面，即与叠加有关的部分我们进一步指出，我们避免了Foulis和Randall批评的形而上学灾难。Clopen subobjectives表示命题，但它们不是使命题为真的状态的集合。连接和粗粒化。性质（5）表明投影的合取不被保持。是构造了一个简单例子：设P∈P（H）是一个射影，设V∈V（H）是一个不存在于P_n中的常数。 nδo（P）V>P且δo（1 −P）V>1−P，s o δo（P）Vδo（1 −P）V>0，当然P（1 −P）=0。 由于子代数的交是分阶段定义的，因此性质（5）如下。这清楚A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）5969奥里什这也意味着性质（6）。反例表明，合取的保持性并不仅仅因为投影的不可交换性而失效，而这通常被解释为投影所表示的命题的表达不相容性。相反，在反例中，由于粗粒度化，合取的保持没有给出Dalla Chiara和Giuntini [8]总结了对标准量子逻辑形式主义的另一种常见批评：“The从物理学的角度来看，这似乎意味着一些违反直觉的后果。设两个关于两个强不相容量的实验命题，如“x方向的自旋向上”，“y方向的自旋向下”. 在这种情况下，量子物理学家的直觉似乎暗示了以下的语义要求：我们的命题的合取没有确定的意义;因为它们不能同时被实验检验。因此，格命题结构似乎太强了。在topos方法中，就像在标准量子逻辑中一样，任何两个命题的合取都被定义了，但有一个有趣的概念扭曲：构建的在 上下文和粗粒化中，注意到存在如上文所述的强烈不相容的命题的事实。设P是表示命题“x方向的自旋是向上的”的射影形式为表示然后P Q不相互转换，因此它们不包含在任何上下文中V∈V（H）.如果我们考虑一个条件V，使得P∈V，则Q∈V，因此δ（Q）V> Q。从这样的上下文V的角度来看，命题“y方向上的自旋是向下的”变得粗粒度，潜在地变成由概念y操作符1表示的平凡真实的命题。类似地，如果一个文本V包含Q，则nδo（P）V>P，并且因此从这样的上下文的角度来看，“x方向上的自旋是向上的”的命题变得粗粒度。没有一个单一的语境允许表达语境中不相容命题之间的连接。但是，由于表示命题的（封闭）子对象是全局对象，所以在topos方案中讨论不相容命题的合取仍然有意义。当讨论状态以及它们如何为命题赋予真值时，我们将看到，存在在任何状态下都不完全为真的非平凡命题。这是可能的，因为topos方法为我们提供了谱前层的所有闭合子层的集合作为命题的代表 其中有许多对于射影P不具有δ（P）的形式。 相反，在标准量子逻辑中，每个非平凡命题对应于希尔伯特空间的非平凡闭子空间，因此总是存在使命题为真的状态。70A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59VPV实质性影响。每个Heyting代数H都有一个蕴涵，由下式给出<$x，y∈H：（x<$y）={z∈H|z<$x ≤ y}。（十四）应用于我们的海廷代数Subcl（ε），其元素表示关于所考虑的量子系统的命题，这变成<$S1，S2∈ Sub cl（<$）：（S1<$S2）={S∈ Subcl（<$）|S<$S1 ≤ S2}。（十五）使用众所周知的形式用于预层拓扑中的Heyting蕴涵（参见例如，[31]，p56），对于所有V∈ V（H），这可以具体地计算为：（S1<$S2）V={λ∈<$V|Vj |V′∈S1;V′则λ|V′∈S2;V′}. （16）注意这个表达式在V处不是局部的，因为局部定义不能给出一个子对象。因此，拓扑量子逻辑具有实质性的含义。与标准量子逻辑相比，这是另一个改进，因为标准量子逻辑缺乏适当的蕴涵。特别是，佐佐木钩没有提供一个物质的含义，这是众所周知的。拓扑量子逻辑中的否定。否定是按照海廷蕴涵给出的：<$S：=（S<$0），（17）其中0是Heyting代数Subcl（n）中的最小元素，即空子对象。对于所有V∈ V（H），这可以具体地计算为：<$SV：={λ∈<$V|Vj |V′∈/SV′}。（十八）4纯态和真值赋值4.1真值对象和伪态设H是一个单位向量。像往常一样，用它确定的向量状态来w=B（H）−→C（19）A<$−→w（A）=|A. |好吧矢量态是B（H）上的纯态，即，B（H）上的状态空间（范数为1的正线性泛函）的端点。在topos方法中，不能简单地选取谱预层的一个（全局）元素作为状态的代表，因为谱预层根本没有全局元素。正如Butter Field和Isham所观察到的，这完全等价于Kochen-Specker定理[23，24，25，26]。相反，我们定义了V（H）上的一个预层T，它集合了在状态T中所有完全为真的命题。对于每个V∈ V（H），令T={S∈Cl（）|P≥P}。（二A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）5971十）72A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59VV这里，SP =α（P）是对应于P的V的闭合子集，定义如下：（5），P是n到Hilbert空间的一维子空间的投影由李定。因此，分量T包含了所有那些的VV（a）代表可以从V的角度提出的局部命题及（b）在美国属真实。如果VJ≠V，则存在一个函数ψψ ψT（iV′V）：TV−→TV′（21）SP<$$> −→Sδo（P<$）V′。（二十二）这样，T就变成了一个预层。它被称为关联到对象的真值对象。T ∈ V（H）的一个整体元S由一个闭闭子集SV∈Cl（H）组成，对于每个V∈ V（H），使得SV|V′= SV′。这样一个全局元素S显然是一个闭子对象。物理解释是，那些是T的整体元素的子代数S（以及那些大于T的整体元素的子代数S）表示在状态T中完全为真的命题。真值对象的全局元素的集合ΓT很容易看出这个偏序集包含在过滤器ΓT<$={S∈Subc l（ε）|S≥δ（P<0.05）}。（ 二十三）因此，闭子对象δ（P）是一个特殊的规则，它是表示一个全真命题的最小子对象。如果一个经典系统处于一个纯态s∈ S，则表示一个命题在状态s中为真的最小子集是{s}。因此，子对象δ（P∈N）是经典系统的状态空间S的单元素子集{s}的集合。w：=δ（P）（24）被称为与网络相关的伪状态。4.2真值赋值如前所述，在经典物理学中，命题的真值赋值是直接的。 给定系统的一个状态s∈ S是真的，如果s包含在状态空间S的Borel子集S中， 命题，否则为假。在topos方案中，我们有一个完全类似的情形：设S是表示由基本命题“AεΔ"的合取、析取和/或否定所构造的命题的谱预层的闭子对象简单地证明，对于每个V∈ V（H），v（wS）V={VJV|中国（25）是V的筛子 此外，如果VJ≠V，则v（wS）V′=v（wS）V↓VJ，A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）5973op（26）所以v（wS）=（v（wS）V）V∈V（H）是子对象分类器集合V（H）的Ω，即，命题“Aε Δ”的拓扑内真值74A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59⊆VV（S12（S12州政府 更多详情，请参见[18]。 真值v（w≠S）可以解释为“伪状态w在多大程度上存在于子对象S中？”这个问题的答案与经典情况不同，其中点s位于子集中或不在子集中（这决定了topos集中的布尔真值），我们有op由我们的拓扑集合V（H）给出的逻辑中的真值。对真值v（wS）的最简单描述是一个更全局的描述：v（wS）是所有V∈ V（H）的集合，使得伪状态包含在子对象的分量SV中，表示提议通过构造，如果V包含在这个集合中，则所有VJ<$V一个上下文V包含在集合中当且仅当V处的局部命题在状态V中为真，这是一种情况当且仅当命题P的期望值为真=α−1（SV），在状态ε为1时。同样清楚的是，可以表示全真命题的最小子命题是形式为w=δ（P）的命题。 还有更小的非平凡子对象，例如由合取δ（P1）δ（P2）给出的那些。代表命题“x方向自旋向上，y方向自旋向上，“下”就是这种形式。没有一个国家能使这个命题完全正确。在这个意义上，量子逻辑的拓扑形式以一种非平凡的方式处理不相容命题的合取，这与伯克霍-冯·诺依曼量子逻辑不同。我们猜想，这一功能将导致一个逻辑制定的不确定性关系。每个纯状态变量确定一个真值赋值v：Subcl（）−→ΓΩ（27）S−→ v（wS）。由于谱预层的闭量子群Subcl（ω）和真值ΓΩ都构成了一个海廷代数，人们可能会想，vΩ是否是海廷代数的同态。设S1，S2是两个闭闭子代数.对于所有V∈ V（H），v（S1第2章）V={VJV|PS）V≥P所以我们得到={VJV|P<$S1;V<$P<$S2;V≥P<$S}={VJV|P<$S1;V≥P<$$>}<${VJ<$V|PS2;V≥P}=v（S1）Vv（S2）V，<$S1，S2∈Subcl（S）：v <$（S1<$S2）= v <$（S1）<$v <$（S2）.（28）真值赋值因此保持合取。另一方面，对于所有V∈ V（H），v（S1第2章）V={VJV|PS）V≥P={VJV|P<$S1;V<$P<$S2;V≥P<$S}{Vj|P<$S1;V≥P<$$>}<${VJ<$V|PS2;V≥P}A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）5975=v（S1）Vv（S2）V，76A. Döring/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（2）（2011）59所以<$S1，S2 ∈ Subcl（S）：v <$（S1 <$S2）≥ v <$（S1）<$v <$（S2）.（二十九）一个真值赋值v不需要保持析取。一般来说，两个命题的析取的真值大于命题的真值的析取显然，这与叠加有关虽然我们已经使用了一个公式的真值分配采用投影，人们也可以制定一切只是使用封闭子集的凝胶这表明量子逻辑的拓扑形式保留了标准量子逻辑中与叠加有关的部分，但不需要线性结构。5混合态在这一小部分中，我们将概述如何在拓扑方法中处理混合状态，以及它们与逻辑方面的关系5.1作为谱预层上的测度的状态设ρ是所考虑的量子系统的任意状态。ρ是B（H）上范数为1的正线性泛函这与经典的情况非常不同，在经典的情况下，任意状态是系统状态空间S上的概率测度μ有趣的是，topos方法允许表示任意状态用谱预层上的概率测度研究量子系统的ρ，如[11]所示。我们参考这篇文章来证明本节中的结果。与ρ相关联的测度μ ρ是映射μρ：Subcl（π）−→Γ[0，1]≥（30）S=（SV）V∈ V（H）<$−→μρ（S）=（ρ（P<$SV））V∈ V（H）.余域Γ[0，1]≥表示从V（H）到单位区间[0，1]的反调函数，即，若g∈Γ[0，1]≥且Vj<$V，则1≥g（VJ）≥g（V）≥0.（这些函数可以被理解为某个预层的全局元素，因此有了这个符号。对于每一个闭合子对象，这样的函数由测度μp分配。很容易看出μp（H）= 1V（H），函数始终为1。测度的抽象定义如下：映射μ：Subcl（π）−→Γ[0， 1]≥（31）S=（SV）V∈V（H）<$−→μ（S）=（μ（SV））V∈V（H）（32）称之为一个测度上的闭子代数，如果满足以下两个条件：• μ（Ω）= 1V（H）;A. Döring/Electronic Notes in Theor
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