没有合适的资源?快使用搜索试试~ 我知道了~
ⓍAI Research Associate for Early Stage Scientific Discovery(早期科学发现的AI研究助理)Morad Behandish, John T. Maxwell III1,Johan de Kleer11帕洛阿尔托研究中心(PARC)3333 Coyote Hill Road,Palo Alto,California 94304(www.parc.com)摘要几十年来,人工智能(AI)在科学活动中的应用越来越多;然而,在科学过程中,它仍然远远不是一个有洞察力和值得信赖的合作者。大多数现有的人工智能方法要么过于简单,无法解决科学家面临的实际问题,要么过于专业化(甚至教条化),扼杀了变革性的发现或范式转变。我们提出了一个早期科学发现的人工智能研究助理,该研究助理基于(a)一种新颖的最小偏差本体论,用于基于物理学的建模,该建模是上下文感知的,可解释的,并且可在经典和相对论物理学中推广;(b)自动搜索可行和简约的假设,在高级别(通过域不可知结构)表示,具有内置的不变量,例如,由预先假定的时空拓扑隐含的守恒原理的假定形式;以及(c)将列举的假设自动编译成域特定的、可解释的、以及可训练/可测试的基于张量的计算图,以学习现象学关系,例如,本构或材料的法律,从稀疏(和可能的噪音)的数据集。介绍在过去的几十年中,数据驱动的人工智能方法已被广泛应用于提取非平凡的基于物理学的见解(科学发现)和预测复杂的动态行为(科学模拟)(Stevens et al.2020年)。尽管统计学习方法在分类、回归和预测任务中有效且高效,但它们几乎无法评估函数拟合的合理性,解释所观察到的相关性背后的原因,或提供足够强的保证来取代诸如微分方程(DE)之类的简约且可解释的科学表达式。混合方法,如为神经网络和损失函数构建通讯作者,电子邮件:moradbeh@parc.com。本文版权归作者所有。允许的使用知识共享许可署名4.0国际(CC BY 4.0)大多数机器学习(ML)框架中的内置本体论偏见阻止他们在科学过程的早期阶段跳出框框思考贡献我们提出了我们的框架与现有的基于规则的推理,统计学习和混合AI方法的区别在于:(1) 能够快速列举和测试不同的集合,从嵌入时空拓扑的几个基本假设出发,提出了数学上合理而又简洁的物理假设;(2) 不 可 协 商 的 数 学真 理 ( 例 如 , 守 恒 定 律 或 对称性),它们直接由时空的性质所暗示,以及现象学关系(例如,构成定律),其特征化无可争议地依赖于经验观察,使数据驱动方法的目标使用合理化(例如,ML或多项式回归);以及(3) 一种背景人工智能辅助的科学知识发现在GPU加速的深度学习(DL)兴起之前很久就已经是一个活跃的研究领域(Langley 1998)。随着计算能力和数据源变得越来越普遍,基于模型、数据驱动和混合的人工智能方法在各种科学活动中发挥着越来越重要的作用(Kitano2016;Raghu and Schmidt 2020)。与我们的科学假设生成和评估方法相关的工作主要是在人类如何处理科学发现之后进行的,包括基于顺序规则的符号回归(Schmidt和Lipson 2009; Udrescu和Tegmark 2020),通过深度神经网络自动编码器进行的潜在空间表示学习(Iten et al. 二○二○年;−--−−- -- -−- -−−Nautrup et al.2020)和分治、无监督学习、通过在损失函数中对描述长度进行归一化来简化以及通过聚类进行后验统一的战略组合(Wu和Tegmark2019)。虽然这些和其他努力已经显示出将人工智能提升为自主、创造性和有远见的合作者的巨大希望,可以为人类科学家提供一系列可行的选择,但它们的应用仍然局限于相当基本的例子。在更专业的领域方面,DL在湍流等不同科学领域的分类,回归和预测任务中取得了广泛的成功(Miyanawala和Jaiman2017; Wang et al. 2020),混沌粒子动力学(Breen et al.2020),分子化学和材料科学(Butler etal.2018)和蛋白质工程(Yang,Wu和Arnold2019)等。大多数专业化的深度学习架构都是临时的,(由人类)使用窄行、特定领域和(通过构造)有偏见的知识和专业知识设计的,扼杀了创新和惊喜。此外,成功捕获数据中的非平凡模式的DL模型通常难以解释,即使在其训练空间内也缺乏保证,并且外推到训练外的场景很差(Mehta et al. 2019年)。为高维物理问题训练这样的模型需要大量的数据,这在许多实验科学中要么是不可用的,要么是太昂贵了。网络物理学家我们引入了一个AI工具,它可以连接多个抽象层次,使用领域不可知的表示方案,通过利用物理学中的常见结构不变量来我们的方法包括:(a) 定义一个相对公正的本体论,它植根于所有已知的经典和相对论物理学理论所共有的基本抽象(b) 构造受约束的搜索空间以枚举具有假定不变量的可行假设,例如,与预设的时空拓扑结构一致的内建守恒定律;(c) 为每个假设自动组装可解释的ML架构,以根据经验数据估计现象学关系的参数。(a)的核心是对植根于代数拓扑学和微分几何的物理控制方程的强大数学抽象(Frankel2011)。这种抽象导致了对物理测量和嵌入时空的基本性质之间关系的本体论承诺,但仅此而已,为创新和惊喜留下空间这种关系已经被证明是负责类比和跨物理学的共同结构(Tonti2013),在(b)中利用,以及基于类比推理的搜索算法。每个可行的假设都自动编译为可解释的“计算图”-基于张量的架构,类似于具有卷积层的神经网络,用于计算构造方程的微分/积分和(非)线性局部算子-对于给定的使用细胞同源性(Hatcher2001)和微分和离散形式的外部微积分(Bott和Tu1982;Hirani2003)中的成熟概念嵌入时空,这些概念在AI中未得到充分利用。物理学拓扑基础我们的人工智能框架的关键推动者是一个简单的类型系统,用于(a)物理变量,基于它们在时空中的测量方式;和(b)物理关系,基于它们的(拓扑与度量)性质,以及它们所包含的变量。继一些数学家、物理学家和电气工程师(Kron1963;Roth1955;Branin1966)对一般网络理论的突破性发现之后,Tonti在其开创性的终身工作(Tonti2013)中解释了经典物理学和相对论物理学之间的迷人类比,通过用细胞同源性的语言重新构建它们,从而产生了非正式的分类图。Tonti图可以形式化为有向图,其中强类型节点用于变量,边用于关系。变量类型为(d1,d2)形式,基于它们在d1和d2维亚流形折叠( d1和 d2细胞)的空间和时间。 例如,为了在(3+1)D时空中对热传递进行建模,温度被归类为(0,1)形式,因为它是在空间点(0个单元)和时间间隔(1个单元)内测量的,而热通量被归类为(2,1)形式,因为它是在空间表面(2个单元)和时间间隔(1个单元)内测量的。在经典微积分中,这两个变量都可以简化为标量场和向量场,在空间点和时间点进行探索,写下紧凑的逐点DE;然而,跟踪DE的拓扑和几何特征是更深入地理解已知物理理论如何工作的关键,并在此基础上建立人工智能辅助发现基于数学基础的新物理学。时空胞元(或嵌入流形)进一步被分为主元或次元,分别被赋予内向或外向,这取决于变量在假设的时空方向反转中如何改变符号(Mattiussi2000)。这些细胞通过拓扑对偶性联系在一起(图1(a))。例如,位于主空间中的内向曲线(1个单元,σ1),温度变化是测量的,是双重的外部-位于次级空间中的定向表面(2单元,σ2Tonti图上变量之间的关系是基于它们相关的变量对以及关系本身的性质来分类的:拓扑关系通过关联关系将时空形式映射到空间或时间中的一个更高维度的形式,并且负责通过入射单元在时空中传播信息。度量关系局部映射形式定义的双细胞到另一个现象学性质的基础上,空间长度和时间持续时间,并负责的信息的局部失真。··图1:物理学的拓扑感知表示(Tonti2013):(a)与不同维度的空间和时间细胞相关的变量产生了初级形式和次级形式(也称为伪形式);(b)导致时空形式的32种可能类型,以及物理学基本理论的基础结构。图二:Tonti图是在不同背景下生成控制方程的方法,由连续、离散或半离散设置以及基于变量测量方式的变量拓扑嵌入定义。在共边界算子方面的守恒定律直接来自于空间(或时空)的假设性质,而本构关系必须从数据中学习(例如,通过回归/ML)。−- -−→→→→- -≤ ≤→−代数关系是到位的,即,将给定形式映射到同一类型的另一形式,并可用于捕获初始/边界条件、外部源/汇项或不同图上同一类型变量之间的交叉物理耦合这些关系如图所示1分别作为垂直箭头、水平(或水平对角)箭头和循环(1个对这些关系的符号或数值运算的解释取决于它们所操作的时空的胞腔分解的选择。例如,使用具有无穷小胞元的连续时空,变量被视为微分形式,其上的拓扑算子被解释为外导数(Bott andTu1982)。在初等微积分中,这些算子在空间上产生梯度、旋度和散度,在时间上产生偏导数,这些形式代表标量场和向量场另一方面,在离散(或半离散)设置中,相同的图可以用于产生积分(或积分-微分)方程,该积分(或积分-微分)方程捕获相同的基本守恒和本构现实,其中变量被视为共链,也称为离散形式(或混合形式,例如,空间离散,时间离散,反之亦然),拓扑算子成为共边界算子,这是细胞同源性的基础(Hatcher2001)。例如,使用空间中的半离散化,其中积分量与0,1,2相关联和3个 细胞对交错三维非结构化网格,同时保持时间连续,uum,热方程的半离散形式作为一个普通DE(ODE)系统(图2(a))。在时间离散化时,可以获得可以通过基于张量的ML求解或估计参数的代数方程。重要的是要注意,空间中的3D网格和1D时间步进并不是提供组合拓扑来解释离散设置中的Tonti图的唯一方法。另一个例子是集中参数网络的有向图表示,例如Modelica中的系统模型或Spice中的电路。在这种情况下,变量与节点、边和网格相关联(即,原始圈)和关联关系。导致空间发散的同一拓扑算子(由三维网格中体积入射面上的通量之和离散化)也导致相互作用的行星上的力的叠加、电路中连接处的电流之和以及运动链上的扭矩的叠加(图2(b、c、d))。常微分方程和偏微分方程以及它们在完全或半离散化时的积分或积分-微分形式都可以用相同的(抽象)算子来捕获,并且Tonti图用作组合它们以生成治理方程的配方图3显示了经典物理学和相对论物理学基础理论的差异在于:(a)拓扑和度量背景;(b)相关变量及其尺寸/单位;以及(c)现象学关系科学过程的本体论我们提出了一种新的表示,称为数据科学只用于帮助后者。• 我们将与遗传相关的三个抽象层次概念化:抽象(符号)I-网→离散(细胞)I-网→数值(基于张量)I-网。在每一个层次上,一个I-net实例是由用户定义的假设的时空拓扑结构,语义的物理量,和结构的限制,允许的图表的基础上类比推理和域特定的见解(如果可用)。每一个I-网实例都区分拓扑算子和度量算子;然而,它有额外的自由度(超越Tonti图),后者允许变量之间的唯象关系,这些变量可能不是彼此对偶的。后者的动机是观察到一些现有的中间立场理论使用唯象关系来捕捉拓扑和度量方面的组合。我们将单个D空间上的抽象(符号)I-网定义为通过唯象链接相互连接的初级和/或次级共链复合体的有限集合,如图所示4(a). 每个上链复形是一个(符号)d的序列 相关形式(符号)从d型到(d+1)型的余边界算子(0 dD)。D的解释 (d+1)映射依赖于嵌入维数D;例如,如果D = 1,则输入的唯一选项是d=0,导致简单偏导数(0 1),而对于D=3,我们可以使d=0,1,2导致梯度(01)、curl(1(2),以及发散(2(3)分别操作。这些序列可以表示不同的(机械、电、热等)物理学领域。虽然,对于大多数已知的物理学,每个域的理论表现为一对串联的(主和次)序列,由水平(或水平对角)本构关系连接,导致Tonti图,我们在寻找新理论时不做任何这样的限制。因此,交叉序列链接可以代表单物理本构关系和多物理耦合相互作用。另一方面,守恒律由拓扑算子的输出和外部源/汇之间的平衡表示,后者由回路表示。通常更方便的是定义产品空间(例如,分离的3D空间和1D时间,而不是4D时空),其中守恒定律被陈述为与外部源/汇平衡的引入拓扑关系的总和。为了适应这样的表示,我们在D1−空间的乘积上定义抽象(符号)I-网···−图3:Tonti图捕捉了负责经典和相对论物理学类比的共同结构,并在遵循某些规则的拓扑关系和唯象关系之间进行了明确区分。图4:I-nets是Tonti图的推广,用于有限维空间的有限拓扑积,并放宽了可行唯象链接的规则,以适应中间理论。和一个D2空间作为多序列的共链,连接的现象学链接,如前所述。可以形成22= 4种可能的具有不同方向组合的多序列,其中两种导致所谓的机械和场论(Tonti2013),如图所示1对于(3+1)维时空,在图4(b)中,对于抽象拓扑空间的高维对,也是如此。这种结构被推广到产品的两个以上的空间在一个简单的组合方式。基于拓扑上下文,共边界算子的语义由两个变量的维数明确地确定(即,(共链)它们相关。然而,现象学的链接需要指定一个参数化的可能非线性,到位,和纯粹的度量关系,他们表示,使用未知的参数,必须从数据中学习。一旦一个或多个假设在抽象(符号)I-net的语言中被指定为具有未知的现象学参数(例如,在较早的热传递例子中的热导率),可以优化参数以拟合数据,并且回归误差可以用于评估假设的适合性。寻找可行的假设在定义了在复杂性方面是部分有序的可行假设的组合表示之后下一步是以“简单优先”的方式生成并测试假设。搜索空间由有向非循环图(DAG)定义,其节点(即,‘states’)边缘(即,状态转换)表示通过增加父状态的复杂性来生成新的I-网结构每个动作可以是以下动作之一或组合:(a)通过将拓扑算子应用于现有变量,在现有的共链复合体中定义新的符号变量;(b)在潜在的共链复合体中定义新的变量;以及(c)添加规定形式和未知参数的现象学链接,连接现有变量。搜索由损失函数指导,损失函数由这些I-网结构表示的假设解释给定数据集的程度决定。该算法还可以配备有用户指定的启发式规则,以修剪搜索空间或优先考虑由于与现有理论的结构类比而被认为“更可能”的路径搜索算法的输入包括最小上下文信息,例如假设的底层拓扑、预设数量的物理域和测量变量的类型,例如,时空关联、张量秩和形状以及维度/单位。搜索从“根”),其仅包含除了先验断言的那些之外没有初始边缘的+/2˜˜˜ ˜˜-你好˜→ ˜˜L(τ011、关闭循环并产生该0形式的符号变量,在主1D时间中仅可被简化一次,以获得角速度。搜索DAG(图)5(b))。DAG扩展为H-081212f1∈F1f2∈F2∗˜ ˜图5:一维时间中钟摆动力学的搜索空间。完整的假设(黄色节点)对应于I-网结构,它提出了新的非平凡方程来测试数据,而不完整的假设(白色节点)有图6:图5的假设H-04和H-08由软件枚举和可视化,并针对数据进行评估(分割0.7-0.3用于训练/测试)。能量(一阶)和扭矩(二阶)形式的控制方程被发现没有人为干预。前者是相当出乎意料的,因为它的I-网结构并不符合Tonti图。后者由于采用有限差分离散,误差较大。初始/边界条件或源项的循环(如果适用)。时空类型与物理语义假设H-01产生一个新的变量,类型为1−伪形式T(τ1)=f1(θ(<$τ1)),其中π−算子因为这些变量是由实验者提供的。例如,考虑一个单摆(图。5(a))。我们只有一维时间,导致了一个由相互连接的时刻τ 0,τ 0= τ0+ τ/2和时间间隔τ 1=(τ 0,τ 0+ τ),τ 1=(τ1,τ1+ τ)组成的拓扑空间,数据可以与之相关联。因此,我们给出了一个时间序列数据-取τ1的对偶:(τ0,τ0+τ)=τ0τ。然而,直到这个新的变量通过另一条路径达到关闭一个循环并提出一个非平凡的方程,我们才有一个完整的假设来验证数据。毛皮-在搜索DAG的下面,H-08定义了一个新的变量,类型为0伪形式L(τ0)=f2(ω(τ0)),其中. 跨境业务角位θ(τ0)。初始I-net实例是一个−∗τ˜0 =(τ0−τ/2,τ0+τ/2))T(τ)=δ[L](τ)一个交换图(图。5(c))导致:作为1−形式的位置性:θ (τ0)→ω(τ1)=δ[θ](τ1)在根处添加新的现象学链接,无论是在两个前变量之间,或在现有变量和新添加的潜在共链序列之间(图1)。5(c))。在这个例子中,假设编号为H-00(根)到H-15,列举了在一维时间内由最多一个潜在的共链复合物形成的所有可能的I-网结构用户可以指定al-出租m可以考虑的潜在变量的最大数量,以保持搜索易处理。并不是每一个引入新变量或新关系的东西都能对物理学做出重要的陈述比如说,E(θ;f,f)=f(θ)−δ[f(δ[θ])]=0,(1)其中f1、f2选自受限函数空间F1、F2以避免过拟合(例如,由域感知基函数的线性组合参数化),并且它们的参数必须从数据中确定,以最小化在整个数据收集期间的残余误差EH-08例如,损失函数可以被定义为均方误差(MSE),以均匀地惩罚违规,时间序列周期:损失H-08=minmin-H-08(θ;f1,f2)1,(2)˜˜˜→−−积分,即,误差平方和E2--(θ;f1,f2)随时间的变化其中,π·πτπ1是计算为时间内的L2−范数H-08相同的ODE上的差异解释的I-网。为简化后的常微分方程是以下方程的线性组合:区间τ1,其中(1)被评估。 在这个例子中,结果表明最佳拟合是通过f1(θ)=c1sinθ实现的,f2(ω)=c2ω其中c2/c1=−g/r。潜在变量可计算的非线性(微分/代数)项从数据中,我们可以应用符号回归来估计数据的系数;例如,我们尝试了LASSO-L(τ0)和L(τ0)是一个熟悉的概念,PDE-FIND中的正则化最小二乘回归(Rudy等人,2017),其中涉及导数的每个项都是eval-和力矩,虽然软,WARE不需要知道关于它们的任何事情来生成和测试关于它们的存在以及与角位置和速度的相关性的假设场景因此,人类科学家对所发现的关系的可解释性并不需要使AI联想到这种解释,从而实现意外的发现。一般来说,搜索DAG中的每个状态都可以被分类为完整或不完整的假设。前者是具有“悬挂”分支的I-网结构,这些分支除了它们的父态之外每次通过添加足够的新变量和/或关系将这样的分支变成一个或多个闭合循环时,假设可以针对数据评估的新约束当向I-网结构添加新的悬挂分支时,搜索算法通过向公共结构的每个违反分配惩罚因子(例如,连接非对偶单元的对角现象学链接完整假设的损失可以计算为I-网络结构的惩罚之和和以及每个独立约束的残差之和,通过收敛路径实现,乘以使用指定的惩罚和误差的相对权重。我们使用A* al-出租m来搜索假设空间。由于我们无法计算不完整假设的误差,所以我们只能在它们的惩罚增加足够大时修剪它们,即使它根本没有误差也会失败。生成符号表达式我们在Python中实现的一个实用功能是,当在无穷小单元格的微分集合中解释共边界算子时,它能够自动将I-net实例转换为SymPy中的0+);例如,等式(1)可以写成非线性常微分方程:用有限差分法或多项式近似法计算,其结果如图所示。第六章这种方法至少有两个问题:首先,如果DE具有嵌套非线性函数的项,则需要更复杂的回归或非线性不能表示为非线性项的线性组合,因为每个项中嵌入我们通过直接将I-net结构映射到PyTorch中的计算图来解决这个问题,完全跳过对符号DE的差分解释。其次,符号偏微分方程的数值近似是一件棘手的事情,因为离散形式(在3D空间中)在这样的近似之后可能不遵守I-网离散化误差与建模误差和数据中的噪声很难分离。I-net的关键优势之一是其类型系统中丰富的地理信息,这是物理兼容和模拟离散化方案的基础( Koren et al.2014; Palha 等 人 2014 年 ;Lipnikov ,Manzini和Shashkov2014年),确保守恒定律完全满足离散水平,无论空间网格或时间步长分辨率如何。这种信息在转换为符号DE时丢失。当处理噪声数据时,保留该信息甚至通过有限差分或多项式拟合)可以充分放大噪声。好消息是,我们可以直接以积分形式解释相同的I-net实例,以生成空间和/或时间上更大区域的方程,使计算对噪声更具弹性。例如,在热方程中,单个3单元上的热通量离散发散由3个单元集合上的通量积分代替并与内部环境的体积积分相等收藏中的能量内表面通量的抵消(高斯发散定理的离散形式E(θ;f,f)=f(θ)−φf。θstec(t)(三)∂H-08121阿勒特2是基于细胞同源性的解释积分可以使用高阶积分计算因此,生成的假设可以使用任何数量的现有ML或符号回归框架进行评估,这些框架对ODE/PDE输入进行标准化例如,使用非正交基函数1,x,x2,sinx,cosx为了跨越两个函数空间F1,F2,我们可以替换为两个象征性功能:f(θ):=c1+c1θ+c1θ2+c1sinθ+c1cosθ,(4)方案,例如,使用多项式插值,过滤噪音。关于将抽象(符号)I-net结构直接和自动映射到离散(细胞)和数值(基于张量)I-net实例(例如,PyTorch中的计算图),学习尺度感知的现象学关系,以及物理兼容的离散化和去10 1 2 3 3噪声将在全文中介绍。f2(θstec):=c2+c2θstec+c2θstec2+c2sinθstec+c2cosθstec, (5)0 1 2 3 3(3)在SymPy中得到一个符号二阶(非)线性常微分方程。接下来,该软件执行代数简化以识别假设的等价类,尽管这些假设来自不同的I-网结构,但仍导致真实世界的科学发现图7和图8说明了我们的人工智能方法在DARPA人工智能研究助理(AIRA)课程中对AFRL∼图7:搜索DAG和一些可行的假设,以解释金属部件中的超声波场图8:AI助理发现波动方程的(积分形式)以及必须定义异质材料属性(在这种情况下,声速)的适当长度/时间尺度。支持CyPhy开发的项目。输入是通过超声成像获得的噪声数据,在具有非均匀性质的几种材料样品的表面上的(2+1)D时空中测量。图7说明了搜索DAG以及可行假设的I-网图8显示了这些假设的排名,根据他们的残差时,对数据进行测试。每个假设都可以用微分、积分或积分微分形式来解释。结果表明,积分形式适用于宽空间和具有高阶多项式欠拟合(在每个坐标中高达三次)的时间邻域(沿每个轴的25个网格元素),导致(非局部)现象学关系的长度/时间尺度感知定义以及物理兼容(即,模拟的)离散化和去噪比严格的局部数值方案(例如有限差分离散化)更好。结论统计学习方法,尽管在它们被仔细设计的狭窄范围内具有准确性和有效性,但不足以独立地获得对它们所应用的科学问题的深刻理解。人类科学家继续根据特定领域的洞察力、经验和专业知识来处理科学过程中以知识为中心的大部分我们的早期科学假设生成和测试的新方法展示了一条通往科学发现的上下文感知,可推广和可解释的AI的道路。我们的人工智能助理(CyPhy)区分了不可谈判的数学真理,暗示了测量和预设的时空拓扑之间的关系,以及受经验学习支配的现象学现实数据驱动回归的目标是后者,使从稀疏和嘈杂的数据中提取控制方程,同时提供对数学基础的深入了解。确认本材料是基于国防高级研究计划局(DARPA)根据第2004/2005号协议支持的工作。HR00111990029。引用Bott , R.; 和 Tu , L. W. 1982. 代 数 拓 扑 中 的 微 分 形 式 。Springer Science Business Media.Branin,F. H. 1966.网络类比与向量演算的代数拓扑基础。在广义网络研讨会上,453-491。纽约布鲁克林理工学院Breen,P. G.;福利角N.的; Boekholt,T.;和Zwart,S. P. 2020.牛顿与机器:使用深度神经网络解决混沌三体皇家天文学会月刊494(2):2465Butler,K.T.; 戴维斯,D.W的; Cartwright,H.;Isayev,O.;还有沃尔什A. 2018. 分子与材料科学的机器学习。Nature559(7715):547-555. doi:10.1038/s41586-018-0337-2。克兰默,M. D.的;徐,R.; Battaglia,P.;和Ho,S. 2019.用图形网络学习符号物理。arXiv预印本arXiv:1909.05862。Daw,A.;托马斯河,巴西-地问:凯里角C.的; 读吧,J。S.的;Appling,A.P的; Karpatne,A. 2020.用于量化湖温建模不确定性的神经网络在2020年SIAM国际数据挖掘会议论文集,532工业与应用数学学会(SIAM)Frankel,T.2011年。物理学的几何学:介绍。剑桥大学出版社.Hatcher,A. 2001. 代数拓扑学康奈尔大学。Hirani,A.N. 2003年。离散外部微积分。博士毕业论文,加州理工学院。Iten,R.;Metger,T.;Wilming,H.;德尔里奥湖;和Renner,R.2020年。用神经网络发现物理概念。物理评论快报124(1):010508。Kitano,H.2016年。人工智能赢得诺贝尔奖及其他:创造科学发现的引擎AI Magazine37(1):39Koren,B.;Abgrall,R.;Bochev,P.;弗兰克,J。E.的; Perot,B.2014年。物理相容数值方法。Journal of Computa- tionalPhysics257(Part B):1039Kron,G.一九六三年Diakoptics:The Piecewise Solution ofLarge-Scale Systems,Volume 2. 麦克唐纳Langley,P. 1998年。计算机辅助科学知识发现。发现科学国际会议,25-39。斯普林格。Lipnikov,K.;Manzini,G.;和Shashkov,M.2014年。拟有限差分法计算物理学杂志257:1163马蒂乌西角2000.物理场问题的有限体积法、有限元法和有限差分法. 成像和电子物理学进展113:1Mehta , P.;Bukov , M.;Wang , C.H. 的 ; Day , A.G. 的 R.;Richardson,C.;费希尔角K.的; 和Schwab,D.J. 2019年。高偏差,低方差介绍机器学习的物理学家。物理报告810:1Miyanawala,T. P的;和Jaiman,R. K. 2017. Navier-Stokes方程的有效深度学习技术:应用于非定常尾流动力学。arXiv预印本ISSN 0264- 6021。doi:10.1016/j.eswa.2008.08.077。Nautrup,H. P的; Metger,T.; Iten,R.; Jerbi,S.;特伦克瓦尔德湖M.; Wilming,H.; Briegel,H. J.道:和Renner,R. 2020.神经网络中物理系统的操作有意义的表示。arXiv预印本arXiv:2001.00593。Palha , A.;Rebelo , P.P 的 ; Hiemstra , R.;Kreeft , J.; 和Gerritsma,M. 2014年。单、对偶网格上物理相容的离散化技术计算物理学杂志257:1394Raghu,M.;和Schmidt,E. 2020.深度学习在科学发现中的应用arXiv预印本arXiv:2003.11755。Raissi,M.; Perdikaris,P.; Karniadakis,G. E. 2019.物理信息神经网络:用于解决涉及非线性偏微分方程的正逆问题的深度学习框架计算物理学杂志378:686- 707。Roth,J. P. 1955年。代数拓扑在数值分析中的应用--关于网络问题解的存在性。美国国家科学院院刊41(7):518-521。Rudy,S. H.的; Brunton,S. L.的; Proctor,J. L.;和Kutz,J.N.2017.偏微分方程的数据驱动发现。Science Advances3(4):e1602614.Sanchez-Gonzalez , A.; Godwin , J.; Pfaff , T.; Ying , R.;Leskovec,J.;和Battaglia,P. W. 2020.学习用图形网络模拟复杂物理。arXiv预印本arXiv:2002.09405.Schmidt,M.;和Lipson,H. 2009.从实验数据中提取自由形式的自然规律。Science324(5923):81Seo,S.;和Liu,Y. 2019.微分物理信息图网络。arXiv预印本arXiv:1902.02950。Stevens , R.; Taylor , V.; Nichols , J.; Maccabe , A. B. 人 ;Yelick,K.;和Brown,D. 2020. AI for Science.技术报告,阿贡国家实验室(ANL)。Tonti,E.2013年。经典物理学和相对论物理学的数学结构.科学 、 工 程 与 技 术 建 模 与 仿 真 。 比 尔 克 阿 乌 塞 河 ISBN9781461474210。Udrescu , S. M.; 和 Tegmark , M. 2020. AI Feynman : APhysics-Inspired Method for Symbolic Regression. 科学进展6(16):eaay2631。王,R.;Kashinath,K.;Mustafa,M.;Albert,A.;和Yu,R.2020年 。 Towards Physics-Informed Deep Learning for TurbulentFlow Prediction.第26届ACM SIGKDD国际知识发现数据挖掘,1457魏,Z.;和Chen,X. 2019.物理启发卷积神经网络求解全波逆散射问题。IEEE Transactions on Functions and Propagation67(9):6138- 6148.吴 , T.; 和 Tegmark , M. 2019. Toward an AI Physicist forUnsupervised Learning.arXiv预印本arXiv:1810.10525。Yang,K. K.的;吴志;和Arnold,F. H. 2019.机器学习引导的蛋白质工程定向进化。Nature Methods16(8):687-694. doi:10.1038/s41592-019-0496-6。
下载后可阅读完整内容,剩余1页未读,立即下载
![application/pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://profile-avatar.csdnimg.cn/default.jpg!1)
cpongm
- 粉丝: 4
- 资源: 2万+
上传资源 快速赚钱
我的内容管理 收起
我的资源 快来上传第一个资源
我的收益
登录查看自己的收益我的积分 登录查看自己的积分
我的C币 登录后查看C币余额
我的收藏
我的下载
下载帮助
![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/voice.245cc511.png)
会员权益专享
最新资源
- 电力电子与电力传动专业《电子技术基础》期末考试试题
- 电力电子技术期末考试题:电力客户与服务管理专业
- 电力系统自动化《电力电子技术》期末考卷习题精选
- 电力系统自动化专业《电力电子技术》期末考试试题
- 电子信息专业《电子技术》期末考试试题解析
- 电子与信息技术专业《电子技术》期末考试试题概览
- 电子信息工程《电子技术》期末考卷习题集
- 电子信息工程专业《电子技术》期末考试试题解析
- 电子信息工程《电工与电子技术》期末考试试题解析
- 电子信息工程专业《电子技术基础》期末考试计算题解析
- 电子技术期末考试题试卷(试卷B)——电子技术应用专业
- 电子科技专业《电力电子技术》期末考试填空题精选
- 2020-21秋《电力电子技术》电机电器智能化期末试题解析
- 电气工程及其自动化专业《电子技术》期末考试题(卷六)
- 电气工程专业《电子技术基础》期末考试试题解析
- 电气自动化专业《电子技术》期末考试试题解析
资源上传下载、课程学习等过程中有任何疑问或建议,欢迎提出宝贵意见哦~我们会及时处理!
点击此处反馈
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035711.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035711.png)
![](https://img-home.csdnimg.cn/images/20220527035111.png)
安全验证
文档复制为VIP权益,开通VIP直接复制
![](https://csdnimg.cn/release/wenkucmsfe/public/img/green-success.6a4acb44.png)