控制教育进展：奈奎斯特准则的交互式CAD工具及稳定性分析

2013年8月28日至30日，国际自动控制联合会第10届IFAC研讨会控制教育进展。英国谢菲尔德一个教与学奈奎斯特准则拉蒙·科斯塔-卡斯特尔和路易斯·古兹曼·曼努埃尔·贝伦杰·塞巴斯蒂安·多尔米多·奥比昂加泰罗尼亚理工大学（UPC）（电子邮件：ramon. upc.edu）。阿尔梅里亚大学（UAL）（电子邮件：joguzman@ual.es）阿尔梅里亚大学（UAL）（电子邮件：beren@ual.es）哥伦比亚国立远程教育大学（UNED）（电子邮件：sdormido@dia.uned.es）翻译后摘要：在他1932年的开创性论文“再生理论”，哈利奈奎斯特提供了一套严格的可测量的条件，以确定反馈放大器的稳定性。奈奎斯特将反馈重新定义为一种频率相关的现象，并将稳定性定义为由不同频率组成的瞬态扰动。奈奎斯特稳定性判据不仅适用于反馈放大器，而且适用于所有反馈控制系统。奈奎斯特的贡献现在是自动控制课程的基本部分，已经以几种不同的方式推广到具有许多回路的复杂系统和非线性系统。本文介绍了一个交互式的CAD工具，其目的是教和学习奈奎斯特准则。该工具已开发使用Sysquake，一个类似Matlab的语言，具有快速执行和良好的设施，交互式图形，并作为一个独立的可执行文件，是很容易访问的学生和用户的反馈控制系统。关键词：奈奎斯特准则，控制教育，教育辅助工具，稳定性分析，交互式程序1. 介绍任何工程课程的目标都是向学生工程师传授知识和技能，使他们对行业有价值。就业市场需要对数学和理论基础工程概念有广泛理解的工程师，但也需要能够巧妙和方便地应用这些概念的工程师。第二种技能必须通过在各种测试条件下重复应用这些概念来学习在这样做的过程中，学生获得了对所研究问题多年来，工程概念教学的主要方法是课堂互动和家庭作业练习。这些方法在传达幕后的数学方面做得很好建立直觉的主要障碍是一个概念是学生无法想象正在学习的想法。许多概念具有复杂的视觉表征，无法通过正常的课堂体验进行充分的探索。由于这些原因，需要一组应用程序，为学生提供机会，以视觉和交互式探索课堂概念，而不使用笔和纸。近年来，在教育界普遍存在着日益增长的需求，有了这种工具，学生们就不局限于课文中所举的例子了。此外，为了通过这种方式，学生们提高了对这一主题的理解和直觉。这些类型的技术设备应作为教育内容的一部分我们通过开发一套交互式卡片来满足这些需求，这些卡片有助于学习基本自动控制课程的相关概念（Guzm'anS'anchezetal.，2012年）。电子贺卡给用户提供了一个完整的互动方式探索的概念动手操作的学习过程的完全控制。互动卡片对教师和学生都很有用。在第一种情况下，因为它们允许他们以视觉和直观的方式呈现概念，并作为基础理论的支持。在第二种情况下，因为它们有助于理解和独立学习基本的自动控制概念，并解决众多的例子和场景，这将测试他们的技能和能力。它们也可以成为评估这种学习的有用平台。在某种程度上，它遵循了R的思想 Bellman Bellman（1971）在学习中寻找理论和实践之间的良好权衡。在本文中，我们将介绍这些互动卡之一：奈奎斯特准则。交互式卡是用Sysquake编码的，Sysquake是一种类似Matlab的语言，具有快速执行和交互式图形的出色功能（Piguet，2004），特别是自动控制的教学，这些模块的开发，为学生提供了一个更完整的控制自己的学习过程。与理论© IFAC 55 10.3182/20130828-3-UK-2039.00049第十届IFAC ACE2013年8月28日至30日。英国谢菲56作为独立的可执行文件，不需要Sysquake软件，这些文件属于公共领域，可用于Windows、Mac和Linux操作系统。这种方法考虑到了与欧洲高等教育区生效相关的教学模式的变化，其中范式的变化涉及大学教师的方法挑战。这些挑战之一是在电子学习潜力很大的地方促进自主和协作学习。这种新的互动学习体验在自动控制课程中的作用是双重的：提供了一种新的方法来生成类材料，允许通过交互式应用程序引入控制系统工程提供了一个新的机会，创新的情况下，学生可以分析，设计和修改控制工程系统使用交互式工具。更改属性并立即看到更改的效果的想法对于分析和设计都非常强大。动态变化提供了静态图中不可用的附加信息。有很多有趣的问题在为自动控制领域开发与所使用的特定图形表示相关的交互式工具时，它可以直接看到参数对图形的影响，但不那么明显的图形对象应该如何操作。有一些自然的方法可以修改极点-零点图，例如通过添加极点和零点以及拖动它们。可以通过拖动渐近线的交点来操纵波特图。然而，如何改变奈奎斯特图并不明显本文的组织如下：第二部分涉及互动的作用，在教学和学习自动控制的概念。奈奎斯特准则的基本原理和现有CAD工具的缺点，以解释与奈奎斯特准则有关的基本概念，将在第3节中介绍新的交互式工具的功能，教和学习奈奎斯特准则的摘要介绍在第4节中，与一系列的说明性例子描述在第5节。最后，第6节介绍了工作的主要结论。2. 自动控制自动控制的思想、概念和方法确实具有丰富的视觉内容，可以直观地、几何地表现出来。这些视觉内容可用于呈现任务和处理概念和方法，并可用于解决问题。在控制工程中，这些量包括：时间和频率响应，复平面上的极点和零点，Bode，Nyquist和Nichols图，相平面等。理解这些关系是实现基本概念的良好学习的关键之一，它使学生能 够 准 确 地 进 行 控 制 系 统 设 计 （ Dormido Ben-como，2004）。计算资源和新编程环境的可用性现在允许出现了新一代的自动控制交互式学习程序。这些工具基于允许直接图形操作的对象。在这些操作期间，对象被立即更新，使得对象之间的关系被持续地保持。传统上，系统的设计是按照迭代过程进行的问题的规范通常不用于计算系统参数的值，因为没有直接将它们联系起来的显式这就是将两个迭代分为两个阶段的原因。第一个，通常称为综合，包括计算系统的未知参数，以一组设计变量（与规格有关）为基础在第二阶段，称为分析，系统的性能进行评估和比较的规格。如果它们不一致，则修改设计变量并执行新的迭代。但是，可以将两个阶段合并为一个阶段，并且由此产生的参数修改会立即产生效果。通过这种方式，设计过程变得真正动态，学生们可以感知到他们所操纵的元素的性能标准的变化梯度这种互动能力使我们能够更容易地确定可以实现的妥协。对于那些开始在这个领域学习的人来说，一些概念最初很难掌握，因为它们的属性在两个不同的域中表达：时域和频域。建立时间、过冲和饱和风险等瞬态行为通常在时域中进行分析;而稳定性、噪声抑制和鲁棒性等概念在频域中更容易表达。与它们相关的基本机制和其他现象，如采样和非线性元素的影响，仅举几例，可以使用这些交互式工具以非常有效的方式进行说明，因为它是本文所包含的应用程序的情况。自2001年以来，我们开始使用Sysquake开发我们的第一个交互式应用程序，结果鼓励我们继续探索新的交互形式，并提出不同领域和控制技术的应用程序。这项工作的很大一部分可以从www.example.com免费获得http://aer.ual.es/ilm/。从这些考虑，并利用这些年来作为起点的互动工具的发展所获得的经验，我们决定开始一个项目，写一个新的文本的灵感来自欧洲高等教育空间的想法。我们为自己设定的目标是，它可以作为一个工具，解释自动控制入门课程的基本概念，并促进新的学习。这一一般性目标是在我们从一开始就认为至关重要的一系列前提下实现的：(1) 简单。这些工具应该简单而有重点我们要传达的具体概念，而不是过多地超载内容因此，简单的优点是一个优先目标。(2) 一致性。这些工具在视觉方面必须具有一致的结构，将它们确定为属于同一系列。组件在不同工具中的可重用性使其更易于使用和学习。··第十届IFAC ACE2013年8月28日至30日。英国谢菲57−−−−(3) 自给自足。每个工具都可以作为一个独立的学习单元，提供学习所需的一切。许多工程课程只有自动控制的入门课程，通常在一个学期内完成。这些入门课程包含了大量的新概念供学生吸收，因此他们通常很难获得这门学科的透彻知识。这也给教师带来了挑战。本书的一个目的是通过一套对教师和学生都有用的互动材料来促进持续的学习和提高学生的个人工作这本书没有介绍这些概念，而是专注于如何介绍它们。一旦相关的想法已经确定，如何显示和制定他们以下的学习通过实例的方法进行了研究。3. 奈奎斯特准则3.1 主要概念奈奎斯特稳定性判据是由美国的瑞典裔电气工程师哈里·奈奎斯特在1932年在贝尔电话实验室发现的。因为它只考虑开环系统的奈奎斯特图，所以它可以在不显式计算闭环或开环系统的极点和零点的情况下应用（尽管必须知道每种类型的右半平面奇点的数量）。因此，它可以应用于由非有理函数定义的系统，如时滞系统。与Bode图相比，它可以处理具有右半平面奇点的传递函数。此外，对于具有多输入和多输出的更复杂系统，Skogestad和Postlethwaite（2005）有一个自然的概括。它是基于复杂的分析结果称为柯西的论点原则。注意，系统传递函数是一个复函数。通过将Cauchys的幅角原理应用于开环系统传递函数，我们将得到闭环系统传递函数的稳定性信息，并得到Nyquist稳定性判据（Nyquist，1932）。奈奎斯特稳定性的重要性在于，它也可以用来确定系统稳定性的相对程度，通过产生所谓的相位和增益稳定裕度。这些稳定裕度是频域控制器设计技术所需要的。对于SISO反馈系统，闭环传递函数由下式给出：G（s）M（s）=1+H（s）G（s）其中G（s）表示系统，H（s）是反馈元件。由于系统极点被确定为其传递函数变为无穷大时的那些值，因此通过求解以下方程获得闭环系统极点：1+H（s）G（s）= 1+L（s）=F（s）=0其实际上表示系统特征方程，其零点是传递函数的闭环极点。此外，很容易看出，M（s）是F（s）的零点。同时，F（s）的极点是开环控制系统极点，因为它们是由L（s）的极点贡献的，这可以被认为是开环控制系统传递函数- 当反馈回路在某一点打开时获得。通过对复变函数应用柯西变元原理，得到了奈奎斯特稳定性检验F（s）。我们首先构造奈奎斯特轮廓，一个包含复平面右半部分的轮廓：• 沿jω轴向上的路径，从（0，−j∞）到（0，+j∞）。• 半径为r→ ∞的半圆弧，从（0，+j∞）开始，顺时针行进到（0，−j∞）。通过函数F（s）映射的奈奎斯特轮廓产生复平面中的F（s）的曲线图根据论证原理，原点的顺时针包围圈数必须是右半复平面中F（s）的零点数减去右半复平面中F（s相反，如果通过开环传递函数L（s）映射轮廓，则结果是L（s）的奈奎斯特图通过计算1 + j0的围线的包围数，我们找到了F（s）的右半复平面中的极点和零点的回想一下F（s）的零点是闭环系统的极点，并且注意到F（s）的极点与L（s）的极点相同，我们现在陈述奈奎斯特判据：给定一个奈奎斯特轮廓Γ s，设P是L（s）被Γ s包围的极点个数，Z是F（s）被Γ s包围的零点个数. 或者，更重要的是，Z是右半平面中闭环系统的极点数量。L（s）平面中的合成轮廓线ΓL（s）将 点 （ 1 ， j 0 ） 包 围 （clock-wi se）N次，使得N=Z P。如果系统最初是开环不稳定的，则需要反馈来稳定系统。右半平面（RHP）极点代表这种不稳定性。对于系统的闭环稳定性，在s平面右半边的闭环根的数目必须为零。因此，关于（1，j 0）的逆时针环的数目必须等于RHP中的开环极点的数目。开环频率响应对临界点的任何顺时针包围（当从低频到高频判断时）将表明，如果环路是闭合的，则反馈控制系统将不稳定（使用RHP零点来抵消RHP极点并不消除不稳定性，而是确保系统即使在存在反馈的情况下也将保持不稳定，因为在存在反馈的情况下闭环根在开环极点和零点之间行进事实上，RHP零点可以使不稳定极点不可观测，因此不能通过反馈稳定。）3.2 虚轴上述考虑是在假设开环传递函数L（s）在虚轴上没有任何极点（即形式为（0，+jω）的极点）的情况下进行的。这是由幅角原理的要求所导致的，即轮廓不能通过第十届IFAC ACE2013年8月28日至30日。英国谢菲58−→−−−- -K−J（s-p）nj=1（s-zj）j=1nQQKFig. 1.工具中分析的闭环工具图二、Nyquist工具：无奇点系统（G（s））。映射函数的任何极点最常见的情况是积分系统（极点在零）。能够为了分析极点在虚轴上的系统，可以修改奈奎斯特轮廓以避免通过点（0，+jω）。 其中一种方法是构造一个半径为r的半圆弧0围绕（0，+jω），它从（0，+j（ω r））开始，逆时针运动到（0，+j（ω+r））。这样的修正意味着相量L（s）沿着半径为l π的无限长的圆弧运动，其中l是虚轴上极点的重数。3.3 总结如果开环传递函数L（s）的零点/极点的重数为l，则奈奎斯特图在ω = 0处具有不连续性。在进一步的分析中，应该假设相量沿着无限半径的圆弧顺时针行进l次。应用此规则后，应忽略零/极点，即如果没有其他不稳定极点，则开环传递函数L（s）应视为稳定。如果开环传递函数L（s）是稳定的，则闭环系统对于点1 + j 0的任何增强都是不稳定的。如果开环传递函数L（s）是不稳定的，则在复平面的右半部分，L（s）的每个极点都有一个逆时针方向的激励1 +j0多余包围圈的个数（大于N+P）正好是闭环系统不稳定极点的个数然而，如果图恰好通过点1 +j 0，那么甚至决定系统的边际稳定性也变得困难，并且从图中可以得出的唯一结论是在jω轴上存在零点。4. 工具说明本节介绍所开发工具的功能，其中重点介绍了前图三. MATLAB奈奎斯特图：无奇点系统（G（s））。见图4。奈奎斯特工具：二阶系统，一个积分器（G1（s））。图五. MATLAB奈奎斯特图：具有一个积分器的二阶系统（G1（s））.可见部分。该工具可以通过与作者联系免费获得，并且可以在Windows，Mac和Linux操作系统中使用，而无需Sysquake许可证。必须牢记的一个考虑是，该工具尽管如此，·····第十届IFAC ACE2013年8月28日至30日。英国谢菲59QnQ−n控制器，K，一般对象kj=1j=1（s-zj），和一个酉（s-pj）见图6。奈奎斯特工具：双积分系统（G2（s））.反馈链应用程序的左部分包含开环系统的描述，右部分包含奈奎斯特图和闭环阶跃响应。在左上角，K和k的值可以通过滑块或沙箱来固定在这些滑块下方 ， 绘 制 了 开 环 传 递 函 数 ， 并 显 示 了 表 达 式Z=N+P。该表达式可视化了应用奈奎斯特准则的结果。最后，在左下角部分包括一个零极点编辑器，这个编辑器是完全交互式的，可以用来定义工厂的极点和零点。在极点和零点上画出奈奎斯特轮廓。该轮廓在极点/零点配置下自动自适应。5. 一些示例在本节中，分析了几个示例，以说明工具的功能。作为第一个示例，图2显示了系统的工具输出：G（s）= 2。251.（0. 73 s +1）（0. 81 s +1）（0.9s + 1）（s+1）见图7。MATLAB奈奎斯特图：双积分系统（G2（s））.这个例子在虚轴上不包含极点，因此不存在奇点，奈奎斯特轮廓（Γs）对应于较简单的一个。奈奎斯特图可以直接通过计算G（s）除以Γs得到，即计算频率响应。由于开环系统是稳定的，并且奈奎斯特图不包围1 +j 0点，因此闭环是稳定的，如在阶跃响应图中可以看到的。图3显示了使用MAT- LAB奈奎斯特命令时获得的图形。可以看出，结果与使用所提出的工具获得的结果非常相似。通常，没有奇点的系统可以用大多数流行的工具画得很好，因此学生很容易理解这些结果。图4、6和8显示了工厂的工具输出G（s）=1，G（s）=1 一个G（s）=（− 0. 5 s+1）（0. 5s +1），1s（s+1） 2s23s3（s+1）见图8。奈奎斯特工具：四阶系统与三个积分器（G3（s））.本申请的特征和优点如下所示。我们诚挚地邀请读者使用该工具并亲自体验其互动功能。所描述的工具使用包含在专利申请中的工具的结构（G uzm′anS′an chezetal.，2012 年）。这种结构可以在图2、4、6、8、9和11中看到，这些图显示了应用程序的一些屏幕截图。在不失一般性的情况下，该系统的工具已被设计用于分析图中所示形式的闭环系统1. 这代表了一个控制系统，所有这些工厂都有积分器。因此，奈奎斯特轮廓将围绕原点。这种包围在奈奎斯特图中的无限上产生半圆，半圆的数量取决于积分器的多重性，这可以在图4，6和8中观察到。由于这些圆是在无穷远处绘制的，因此工具中显示的奈奎斯特图不是精确的图，它是实际曲线与示意曲线的组合。图4和图8中的奈奎斯特图由三条曲线组成，一条精确曲线（红色），无穷大曲线（蓝色）和近似连接曲线（绿色），它们将精确曲线与无穷大曲线联系起来。因此，图6显示了奈奎斯特图的示意图，因为它更好地说明了曲线结构。图5显示了工厂G1（s），它对应于图中的精确曲线（红色）4.虽然这张图可以很容易地解释专家的眼睛，它可以 把 麻 烦 的 学 生 。 图 7 显 示 了 工 厂 G2 （ s ） 的MATLAB奈奎斯特图;尽管第十届IFAC ACE2013年8月28日至30日。英国谢菲60−±见图9。奈奎斯特工具：具有谐振元件的三阶系统（G4（s））;闭环稳定情况。见图10。MATLAB奈奎斯特图：三阶系统与谐振元件（G4（s））;闭环稳定的情况。见图11。奈奎斯特工具：具有谐振元件的三阶系统（G5（s））;闭环不稳定情况。输出正确，难以分析。所提出的工具的输出包含的结构来自奈奎斯特准则和其更简单的学生使用。图9和图11显示了工厂的工具输出在工具的左边部分，这些奇点在奈奎斯特图中的无穷远处产生半圆，这可以在工具的右边部分看到。在第一种情况下，闭环系统将是稳定的（奈奎斯特图不包围1+j 0），如闭环阶跃响应所示，而在第二种情况下，系统将是闭环不稳定的（奈奎斯特图包围−1 +j 0）。图10显示了被控对象G4（s）的MATLAB奈奎斯特图即使是专家也很难分析这一情节因此，它不方便与学生在基础控制课程中使用。6. 结论奈奎斯特判据是经典控制中最常用的工具之一。这项工作描述了一个交互式的工具，它绘制了奈奎 斯 特 图 在 一 个 简 单 和 可 视 化 的 方 式 。 与MATLAB等其他工具不同的是，当存在奇点时，奈奎斯特图是示意性地绘制的，将精确曲线与近似曲线相结合。这种类型的绘图更接近于传统教材中出现的图表，并且对于处理奈奎斯特准则的学生来说易于理解。尽管该工具在大多数常见情况下的表示方面有了很大的改进，但条件稳定系统仍然存在一些问题。为了解决这一点，作者正在努力引入一种尺度变形，以便这些情况可以很容易地可视化和分析。确认这项工作得到了以下项目的部分资助：DPI 2012 -31303、DPI 2010 -15110、DPI 2010-21589-C 05 -04和DPI 2011 -27818-C 02 -01（由西班牙经济和竞争力部和ERDF基金资助）。引用贝尔曼河 （1971年）。控制过程数学理论导论：第二卷。中国科学出版社.Dormido Bencomo，S. （2004年）。 控制学习：现在和未来。Annual Reviews in Control 28 （2004 ）115136，28，115136.Guzm'anS'anchez ， J.L. ，CostaCastell'o 河 ，BerenkirsSoria，M.，和Dormido Bencomo，S.（2012年 ） 。 控 制 自 动 启 动 。听 着 。 ISBN ：9788483227503。Nyquist，H.（1932年）。再生理论贝尔系统技术杂志，11，126147。Piguet，Y.（2004年）。 Sysquake 3用户手册 CalergaSarl，洛桑，瑞士.斯科格斯塔德湾和Postlethwaite，I.（2005年）。多变量反馈控制：分析与设计。威利，第二个edition版本 ISBN：978-0470011683。G（s）=2s2 + 2s+1且G（s）=1，4（s+1）（s2+ 1）5（s+1）（s2+ 1这两个设备对应于在s=j中包含奇异性的系统。这些奇点在奈奎斯特轮廓中产生两个包围，