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--使用深度神经网络Arijit Sehanobish,*1Hector H. Corzo,*2Onur Kara,3David vanDijk11耶鲁大学内科(心脏病学)和计算机科学arijit.sehanobish,david.vandijk@www.example.comyale.edu2化学计算与理论加州大学默塞德hhcorzo@gmail.com3后见之明技术解决方案okara83@gmail.com摘要在最近的文献中,将神经网络(NN)应用于广泛的研究问题的尝试特别是,使用深度神经网络来理解复杂的物理和化学现象已经开辟了一个新的科学领域,其中机器学习(ML)的分析工具与自然科学的计算概念相结合。来自ML的这种统一的报告已经提供了证据,证明NN可以学习经典的哈密顿力学。神经网络在经典物理学中的应用及其结果激发了以下问题:神经网络能否通过客观手段赋予归纳偏差,以提供对量子现象的见解 在这项工作中,这个问题是通过调查可能的近似重建的哈密顿量的量子系统在一个无监督的方式,通过只使用有限的信息从系统的概率分布。1引言在机器学习(ML)领域,神经网络(NN)是从数据中学习和概括信息的最常用和非常有效的模型之一。这些数据解释 能力促使NN在自然语言处理(Torfi et al.2020)、图像分类(Kolesnikov et al. 2019)、视频字幕 ( Sun et al. 2019 ) 和 再 激 励 学 习 ( Du andNarasimhan 2019; Higgins et al. 2016)中得到广泛使用;此外,最近的研究显示了NN在符号推理和数学问题解决中的能力(Lample and Charton 2019)。在自然科学的情况下,将ML应用于物理学并不新鲜,已经报道了几项工作(Toth et al.2019; Grey- danus,Dzamba,and Yosinski 2019; Cranmer et al.2020; Tong 等 人2020),其中不同的作者将ML与Hamilton另一方面,在材料科学中,ML已被证明是新材料计算预测的重要解释工具(Schleder et al.*同等贡献版权所有© 2021,本文由作者所有。根据知识共享许可协议署名4.0国际(CC BY 4.0)允许使用2019年)。ML的不同应用所报告的令人鼓舞的结果促使使用NN作为强大的工具来深入了解控制复杂自然经典现象行为的物理定律。与经典物理学不同,在量子物理学中,物体具有粒子和波的特性(波粒对偶),其轨迹的概念不再被定义,它们的位置和动量也不能被同时测量 ( Sakurai 和 Commins1995;Robinett1997;Feynman 、 Leighton 和 Sands 1965; Robinett 和 Robi-nett 2006)。由于这种波粒二象性,量子力学系统的状态完全由它的波函数来描述,而波函数通常是通过求解薛定谔方程来获得的(Sakurai and Commins 1995;Robi- nett 1997; Feynman,Leighton,and Sands 1965;Robinett and Robinett 2006)。然而,在许多情况下,不仅求解这个方程是困难的,而且其正确的表述需要关于势能算子的形式的知识,这通常可能不是完全已知的。 相反,薛定谔方程的逆形式(Nakat-suji2002; Chadan andSabatier 2012; Zakhariev and Suzko 2012; Jensen andWasserman 2018)通过将量子力学系统的描述重新表述为逆问题的解(Aster,Borchers,and Thurber 2018;Groetsch and Groetsch 1993; Vogel 2002),提供了一种描述量子现象的替代方法。 逆问题是量子力学系统研究的核心,因为关于物质的电子结构的许多已知内容已经通过 逆 问 题 的 解 在 数 学 上 表 征 ( Beals 和 Greiner 2009;Zakhariev 和 Suzko 2012; Jensen 和 Wasserman 2018;Vogel 2002)。因此,薛定谔方程反演的数值算法是进一步发展近似量子力学方法的重要预测工具,如散射近似模 型 ( Zakhariev 和 Suzko 2012 ) 、 密 度 泛 函 理 论(DFT)(Jensen和Wasserman 2018)等。在这项工作中,不是手工制作逆薛定谔方程的数值解( Aster , Borchers 和 Thurber2018;Jensen 和Wasserman 2018; Vogel 2002; Beals和Greiner 2009)来定义势函数并描述量子现象,而是设计了一种称为量子势神经网络(QPNN)的神经网络,直接从可观测量中学习势函数||√||||||....+Uθ(→x)|ψ|−2m2 m |ψ|θ2、(五)在无人监督的情况下。这一建议QPNN学习-在量子力学中,找到H∞的问题,基于薛定谔方程逆解的基本形式,因此,所提出的QPNN打开了生成更简单和简洁的函数的可能性,这些函数可以用于构建有效的哈密顿算子,用于仅使用关于系统的一小部分已知信息来描述各种量子系统。 由于这些有效的哈密顿量可以推广到获得其他可观的,QPNN可以提供独特的见解复杂的量子现象只有少量的信息是可用的。2理论量子粒子的数学描述通常采用空间坐标→x和时间坐标t的复变函数的形式,称为wvn(→x,t)是一个完备的x值概率振幅,其平方模(n(→ x,t)2)对应于在g i ven → x和t处找到波函数所描述的粒子的概率。一个物理观测值的类内测量值how eve r不是直接由n(→ x,t)给出的,而是由作用在n(→x,t)上的表示期望测量的算子的期望值给出的. 在大多数情况下,波函数是作为含时薛定谔方程的直接解得到的ik(→x,t)=H(→x,t),(1)阿勒特其中k是Planck常数,H ∞是系统的Hamilton算符,它是作用在无限维L2函数空间上的厄米特算符. 因此,H不需要是紧的,也可以没有任何特征值。当H∞与Hn(→x)=En(→x),(2)其中n表示系统的量子态。在许多情况下,包含在与时间无关的w a v e函数中的物理信息对于表征给定现象的方法可以简化为计算包含所有支配物理描述符的潜在算子。2.2预测潜力在量子力学中描述系统的常用方法是通过获得系统的波函数作为薛定谔方程的解。 这些wave函数强烈依赖于哈密顿量,特别是用于描述系统的势的定义。然而,人们也可以通过逆问题的解来描述量子现象,即通过找到包含产生所观察结果的所有重要物理约束的有效势或函数。像这样的逆问题在量子力学和电子结构中很常见,例如,DFT领域(Jensen 和Wasserman 2018; Parr 和Yang 1995;Burke,Werschnik和Gross 2005)的核心就是这种类型的逆问题。 如前所述,除了一些简单的模型外,很难得到完整的薛定谔方程的解,因此也很难得到w a v e函数。另一方面,概率密度ε(→x)2可以从经验上推断出几个数量系统。因此,一个近似的wave函数,可以定义为有效势的构造。3量子势神经网络在本节中,描述了用于计算各种量子系统的有效势的拟议NN和损失函数。 本节分为两部分:(i)时间无关系统和(ii)时间相关系统3.1Time–independent为了获得有效势,在无监督的情况下学习一个新的参数函数Uθ该参数函数对应于量子系统的有效势,并且通过实现符合(2),研究中的系统特性2.1哈密尔顿算子.. .k2π→x|ψ|你... 2哈密顿算符H在许多方面都是基本的,量子理论的模拟该运算符表示为动力学算子(T)与势函数算子(V)之和其中D是作用在多变量函数−k2 X→X|ψ|+U(→x)和||·||是弗罗布-对于量子系统中的所有粒子H=T+V。(三)一般地,包 含在H_∞ 中 的动能算符仅依赖于波函数关于其空间坐标的二阶导数。然而,势能算符取决于施加到系统上的物理环境,并且随系统而变化因此,等式3可以表示为:nius norm.由于这种损失函数的定义,对于时间无关的系统,能量守恒是有效的要求由于U θ函数由微分方程给出,因此添加了初始条件以确保学习到唯一函数。用于不同量子系统的初始条件基于每个系统的固有性质,关于其中 一 些 条 件 的 更 多 信 息 和 解 释 可 以 在 文 献 中 找 到(Romanowski 2007)。最后,考虑初始条件后的损失函数为:ˆk2∂2ˆk22 ˆH=−2m→x2+V(→x,t)<$−2m→x+V(→x,t)。(四)L(θ)=LTISE(θ)+(Uθ(→x)−y)2(6)LTISE(θ)=D| |..2mx→x2ψ-U θ .(七)2图1:我们框架的图形表示 输入坐标(左)被输入到我们的模型QPNN(下)中,该模型通过约束网络以遵守薛定谔方程来训练。其中→x是函数域中的某个点,y是该点处真实电位的期望地面真值。这里的主要观察是,使用(而不是)来求解势会导致正确的势,除了可能在改变符号的许多点之外然而,这不会对训练所提出的模型造成任何困难。3.2Time–dependent对于2系统。该模型使用Adam优化器训练了500个epoch(Kingma和Ba 2017)。4相关工作使用深度学习来理解物理现象一直是一个活跃的发展领域。特别是,有相当多的文献中,作者赋予神经网络经典 的 哈 密 顿 力 学 ( Toth 等 人 , 2019; Greydanus ,Dzamba和Yosinski 2019; Tong等人,2019)。2020;Iten 等 人 2020; Bon- desan and Lamacraft 2019;Zhong , Dey , and Chakraborty 2019; Chmiela etal.2017);能量守恒和时间上的不可逆性是这种网络的关键特征。... i+k2 2..值得一提的是,在薛定谔方程的含时解中,复数可能更常见;然而,对于当前的研究,所考虑系统的概率密度是用厄米哈密顿量描述的,因此只考虑实数,以避免处理复数。对于本报告中呈现的时间相关结果,QPNN使用全波函数而不仅仅是概率密度进行训练。 在将来的工作中,将详细地探索和讨论含时系统的密度-势结果。3.3模型架构对于NN的构造,使用具有32、128和128的隐藏大小的4层前馈网络,在第二层和第三层之间具有剩余连接。剩余层有助于更快的训练,稳定的梯度,并导致平滑的损失景观(Li et al. 2017年)。模型的输入是时间无关系统的→x空间坐标和时间相关系统的(→x,t)。对于网络训练,从每个部分的定义域中随机选择3000个坐标能源(Zhong,Dey和Chakraborty 2020)。在计算中-在量子力学中,已经实现了深度神经网络处理的数据中预测所需的属性(Goh,Hodas和Vishnu 2017)。最近,引入了两种估计量子系统密度矩阵的方法,量子最大 似 然 法 ( QML ) 和 量 子 变 分 推 理 ( QVI ) 方 法(Cranmer、Golkar和Pappadopulo 2019)。对于这些方法,作者使用了基于流的方法(Toth et al. 2019; JimenezRezaland Mohamed 2015)来增加其密度矩阵变分族的表达能力。然而,这些方法的适用性,已被验证的谐波和非谐波量子振荡器模型。深度学习在量子力学中的应用仍处于早期阶段(Torfi et al. 2020; Raissi,Perdikaris,andKarniadakis 2017a , b , 2019; Jasinski et al. 2020;Carleoetal.2019;Amabilino 等 人 2019;UnkeandMarkus2019;Schmitz,Godtliebsen,andChristiansen 2019; Schmidt et al. 2017; Hibat-Allah et al.2020; Nakajima,Tanaka,and Hashimoto 2020; Pu,Li , and Chen 2020; Mills , Spanner , and Tamblyn2017; Manzhos 2020)。大多数深度学习量子力学框架都是这样介绍的,LTDSE(θ)=Re阿勒特最近有报道将这些结果扩展到阻尼摆的情况在系统中,√−||||···表1:QPNN的定量分析系统RMSE介于True和Learned电位(QPNN)RMSE介于True和Learned电位(使用RK4)RMSE介于True和Learned能源(QPNN)RMSE介于True和Learned能源(RK4)谐振子1× 10−2± 5× 10−39× 10−3± 4× 10−41× 10−2± 2× 10−35× 10−2± 7× 10−3波希1× 10−4± 6× 10−52× 10−4± 3× 10−58× 10−4± 6× 10−57× 10−3± 8× 10−4H2分子2× 10−3± 4× 10−43× 10−3± 2× 10−49× 10−3± 7× 10−44× 10−3± 2× 10−4孤子3× 10−2± 4× 10−3---迄今为止的研究主要集中在求解薛定谔方程或预测特定观测量的趋势,如系统的能量。关于逆问题,Raissi等人介绍了 虽然这项工作中报告的结果令人印象深刻,但就逆问题解决方案而言,Raissi等人报告的深度学习框架仅关注用于预测经典系统中压力分布的偏微分方程的求解。另一方面,在量子力学中,当已知给定量子系统的有效势时,可以推断出可观测量;因此,预测有效势函数的密度-势反演问题的解决方案(Jensen和Wasserman 2018)在理解量子现象中发挥着重要作用,特别是从密度泛函理论的角度解析分子的电子结构。 在这方面,Nagai及其同事提出了神经网络Kohn-Sham交换相关势(Nagaietal.2018),它提出了一种监督训练方案,该方案使用来自定义良好的势和概率密度的信息来训练NN。然而,据我们所知,还没有报道的工作使用深度学习来解决密度到电势的逆问题,以完全无监督的方式从观察中系统地5实验在四个不同的量子系统上验证了所提出的量子势神经网络的性能,其中一个系统描述了量子波的时间演化,而其他三个系统是时间无关系统的例子。在与时间无关的体系中,与时间无关的薛定谔方程只有在谐振子和PT势下才能得到精确的解析解,而对于H2分子,只能得到近似解. 关于这些系统的解、物理含义和解释的细节可以在任何一本 关 于 量 子 力 学 的 标 准 书 籍 中 找 到 ( Sakurai andCommins 1995; Robinett 1997; Pronchik and Williams2003)。最后,QPNN学习的势能被用来计算每个系统的总能量。所有报告的实验的定量结果汇总于表1中。 为了比较通过NN技术获得的结果(以微分方程的解的形式)与通过良好建立的AP获得的结果,在该方法中,使用在标准Python语言中实现的公知的和标准的Runge-Kutta四阶(或RK 4)积分器数值地求解微分方程RK4算法提供了求解各种微分方程的方法,通常被认为是对新计算技术进行基准测试的强大工具(Landau、Paez和Bordeianu 2015)。QPNN方法和RK4数值积分器获得的值的精度差异通过它们的均方根误差(RMSE)值来量化。该代码可在https://github.com/arijitthegame/Quantum-Hamiltonians上获得。5.1Density–to–Potential在密度-势实验中,通过求解与时间无关的薛定谔方程,得到了量子谐振子和PT势的精确波函数. 这些wave-函数后来被用来定义每个系统的概率分布<$(→ x)2。 在氢分子的情况下,概率密度是根据单电子1 s轨道函数定义的,该轨道函数在Born-Oppenheimer近似中描绘了氢分子的近似电子密度。这些概率密度被用来为每个量子系统定义一个近似的概率幅度函数,|ψ|=(→x)2. 每个系统的有效势函数是通过训练QPNN获得的,训练的信息是由随机选择的坐标提供的,这些坐标被评估到近似的概率幅上,并被评估到损失函数量子谐振子(QHO):一维QHO的运动在QPNN框架中,为了预测QHO势,坐标变量→x,w从[5,5]中随机采样,并用作模型的输入。在与时间无关的薛定谔方程的解析解QHO的不同状态的分析波函数定义了用于训练QPNN的概率密度。 在这种情况下,施加的初始条件是这样一个事实,即在参考坐标的零点处,系统中的所有能量都是动能,因此在该点处的势能为零,即V(0)= 0。图2示出了所使用的概率密度,2e、−λ−E.µ学习的势能和QPNN计算的能量图2:谐波振荡器系统。(A)Pöschl-Teler势:PT势是一类特殊的非调和势,一维薛定谔方程可以用特殊的函数来求解. 该势可用于模拟具有面外弯曲振动的振动分子势(Senn 1986; Jia,Zhang,and Peng 2017)和双原子势的可其中λ= 2且μ= 1。根据密度,初始1(x)=|新省|塞赫河(九)图3显示了用于训练系统的概率密度为系统计算的学习势能和能量。图3:波希-特勒系统. (A)Wav氢分子:H2分子是第一个多-对于PT势,用于定义近似概率振幅函数的具有近似概率密度的考虑了为了训练量子概率神经网络,计算了具有平衡键的H2从头算电子密度,λ和潜在深度V0(Herna'ndezdelaPena2018),长度(xr)为1.346A,总能量为-0.958470046928A.U. 是通过使用一个快速和系统的自我近似的,Pµ (tanhx)=−µ22 ,V0=−λ(λ+1),2λ=1,2,···。µ=1,2,···,λ(八)一致场方法(Helgaker,Jorgensen和Olsen 2014)。该密度是使用每个H原子的三个高斯素函数计算的,其中→x坐标关于这类势的几个合适的边界项和初始条件的详细信息已 在 文 献 中 制 定 和 回 顾 ( Agboola2010;Herna'ndezdelaPendella2018)。这个实验的输入是空间坐标,纵坐标−→x从[3,3]中随机采样。对于这个实验-由勒让德函数定义的在[3,3]中定义的内坐标被选为参考内坐标。系统的初始条件按照与(Rafi et al. 1995);具体地说,V(xre)= 0的事实。图4示出了用于训练QPNN的概率密度以及学习的势和使用该势计算的能量∈| || |−图4:H2分子系统:(A)密度,(B)真实电位,(C,D)经验电位,(E)计算能量.5.2一个时间依赖系统的探索为了研究QPNN在时间依赖系统中的行为,计算了孤子模型的有效势。孤立子代表传播的孤立波,当在参考系中观察时,其形状或大小没有任何时间演变,随着波的群速度移动(Wazwaz 2009)。这种类型的孤波在玻色-爱因斯坦凝聚理论中特别重要 孤子是模型方程的一类特殊解,包括Korteweg de-Vries (KdV )方 程和 非线 性薛 定谔(NLS)方程。在本实验中,时间独立系统对于所有的系统,但harmoninc振荡器,RMSE值的学习电位的大小与RK4方法获得的。在能量的情况下,当与精确能量进行比较时,QPNN和RK4方法的RMSE值对于除PT电位之外的所有系统都是相同的幅度,其中QPNN的RMSE比RK4方法低一个数量级在为每个系统计算的能量值方面,当参考精确能量(蓝线)时,可以观察到使用RK4方法和QPNN计算的能量的类似趋势如果RK4方法被认为是计算有效势函数的更稳健和数学上更,则这种趋势可以解释为QPNN可靠性的指标在孤立子模型的情况∂ψ ∂2 ψ尽管使用RK4的解决方案不可行,i t+x2+U(x,t)= 0.(十)因此,对于该系统,用于在系统的性质,真实电位和学习电位之间的RMSE值的大小表明QPNN由等式7给出,其中,U= 2sech(2(x2t))ei(x+t),并且U(x,t)是2 sech(2(x2t))ei(x+ t)。对于该实验,QPNN输入的坐标被定义在→xi →t[0,1]上。图5显示了QPNN为该系统获得的电势图5:左:孤子真实势,右:孤子习得势.6讨论表1报告了本工作中研究的不同模型的RMSE值在与时间无关的模型的情况下time–independent7结论本文 提出了一 种学习不 同量子 系统有效 势函数的QPNN。这种新的神经网络能够以完全无监督的方式学习各种系统的有效势函数。不同的研究系统得到的结果表明,QPNN具有与RK4积分器相当的精度。用这种新的QPNN学习的势可以用来计算系统的能量等可观测量本文提出的QPNN方法为计算更复杂的N体系统的势能提供了基础在今后的工作中,我们将研究由全组态相互作用密度和波函数引起的更复杂的多电子系统的势的计算。QPNN的使用也扩展到使用全波函数的时间相关系统。在时间相关的情况下这种情况下的波函数不可能是实值函数。在今后的工作中,将通过结合相位信息来分析密度-势问题,以创建合适的代理波函数。引用Agboola,D. 2010 年。D维修正的Pöschl-Teller势的解中国物理快报27(4):040301.Amabilino,S.;布拉托姆湖一、Bennie,S.J.道:沃彻A. 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