五值逻辑的理论计算机科学电子笔记354：建模非平凡概念的新视角

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记354（2020）157-170www.elsevier.com/locate/entcs三个新的真正的五值逻辑旨在建模非平凡概念Mauricio Osorio1Universidaddelas Am'eri cas-PueblaSta.CatarinaM'artir，Cholula，Puebla，M'exico克劳迪娅·塞佩达2Benem'eritaUniversidadAut'onomadePueblaPuebla，Puebla，M'exico摘要我们介绍了三个5值次协调逻辑，我们命名为FiveASP 1，FiveASP 2和FiveASP 3。 每个是真的和仿完全的。新的值被称为e，试图对不可扩展性的概念进行建模。如果一个下降e从任何这些逻辑得到一个众所周知的4值逻辑介绍了阿夫隆。另一方面，如果从这些逻辑中的任何一个中去掉我们提出了这些逻辑的一些性质关键词：论证语义，阶段论证语义，逻辑程序设计语义。1引言贝尔纳普声称，4值逻辑是计算机推理的合适框架[19]。Avron在[4，3，5，2]中支持这一论点。他表明，一个4值逻辑自然表达真，假，不一致或不确定的信息。这些概念中的每一个都由特定的逻辑值表示此外，在[4]中，他给出了一族4-值逻辑的可靠而完备的公理化另一方面，Priest在[26]中认为，四值逻辑很好地模拟了前面解释的四种可能性，但在佛教元物理学的背景下，例如[31]。这种逻辑被称为FDE，但这种逻辑不能满足众所周知的前件推理规则。如果去掉这个逻辑中的蕴涵连接词，它就对应于所研究1电子邮件：osoriomauri@gmail.com2电子邮件：czepedac@gmail.comhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2020.10.0121571-0661/© 2020作者。出版社：Elsevier B.V.这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。158M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157关于Avron然后Priest将FDE扩展为一个名为FDEe的5值逻辑，参见[27]。这种新的逻辑有一个新的值e，目的是表示不可约性的概念，但FDEe缺乏一个蕴涵连接符。一些作者声称，佛教典籍中阐述的许多论证都符合公认的推理规则，如前件推理、构造性困境和直言三段论（也称为假言三段论），以及其他推理规则，见[25，17]。有一个不满足肯定前件的蕴涵或去掉蕴涵连接词，可以被认为是FDEE的一种弱点，见[25]。然而，普瑞斯特通过非常详细地研究从《八里经》到《阿诸那经》的佛教典籍，并能够根据现代非经典逻辑来模拟他们的推理方式，做出了一项了不起的工作[26，27，28，29]。一个主要的问题是代表不可否认的概念第五个值，e，然后，是不可分割的价值。有一个复杂但众所周知的现象，经常出现在哲学家认为思想/语言是有限度的，并试图通过给出理由来证明这一观点，说明为什么有一些事情是人们不能思考/谈论的--在这个过程中，似乎证明了这一说法的谎言。在诗歌中，我们也发现了类似的情况：需要谈论极端的情况，但不知何故，我们不能谈论。目前，文学（诗歌，故事）和哲学中有很多与明显不合逻辑的概念有关的文字，例如悖论和不可解释的，我们现在列举一些例子两个真理的理论始于25世纪以前。它始于公元前六世纪的印度，乔达摩悉达多成为佛陀的“觉醒者”，因为他明白：两个真理的意义和所有知识对象的现实都是由两个真理组成的 根据《三昧经》，“两真”说是佛陀为教化印度哲学而创立的一种学说。阿诸那在他的《穆拉玛》中将这两个真理归功于佛陀如下：“佛陀所传授的佛法正是基于两个根据中观派哲学家的说法，两种真理的理论是佛陀哲学的核心对终极真理的认识告诉我们事物最终是如何的，从而使我们的思想超越概念和语言惯例的限制。另一个例子是[12]，作者指出：“我的论文将集中在伍尔夫通过废墟形象来解构和重构文学的方式上。伍尔夫在描写衰败的矛盾本质时，抓住了一个时代不可替代的品质，这个时代无情地流逝，却又被幸存的复苏所塑造更多的证据是奇怪的循环，这是一个自相矛盾的结构，从一个抽象层次到另一个抽象层次的转变，以某种方式产生了一个封闭的，永恒的循环。作者[7]指出，这种悖论模式在博尔赫斯的短篇小说中普遍存在，我们能够更好地探讨博尔赫斯对文学创造时空悖论的独特力量的信念。在[7]中，作者还分析了博尔赫斯如何在不同叙事框架之间的不可能联系中创造出奇怪的循环，并展示了博尔赫斯如何创作出一个M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157159奇怪的建筑循环我们还可以发现，以前，东方思想家和西方神秘主义者都敏锐地意识到终极的不可预测性。海德格尔从不同的角度思考和论述了这一问题，如“非真理是真理的前提”。中国方面则发现孔子对这一问题高度敏感，并给出了自己的回应，[34]分析了海德格尔与分析哲学家在这一问题上的关系，比较探讨了海德格尔与孔子如何认识语言的局限性，以及这种认识如何帮助他们理解诗歌经验的思维作用。另一方面，众所周知，马丁·海德格尔（1889 - 1976）的作品与禅/禅宗佛教之间的联系-这是一个起源于6世纪左右中国的佛教流派。在[11]中，对这种联系的一个方面进行了探索，并对日本禅宗哲学家道元己玄（1200-1253）的作品进行了分析。海德格尔认为存在是不可否认的，道根认为终极实在是不可否认的。[ 16 ]中提出了更多的证据，其中提到：“不可解释的毕竟是超越语言的，那些有不可解释的经验的人可能会被他们的经验或情感的不可解释性所压倒，以至于他们辞职什么也不说”;“语言总是说得太多或太少...... 哦，别出声！“我想成为一名画家！”最后，我们可以看到，即使在基督教的背景下，圣经也提到了罗马书第8节中不可尽管人们对这个问题很感兴趣，但我们可以看到，很少有人试图用逻辑来形式化这些概念。牧师对这种现象很感兴趣。据他说，佛教哲学有解决这类问题的资源，而西方传统中则少得多。佛教逻辑学家认为有四种可能性：只有真，只有假，既真又假，最后既不真也不假。后来的发展增加了一种可能性：不可解释性3。当然，人们可能会怀疑这样的想法在逻辑上是否值得尊敬。Priest展示了如何使用当代非经典逻辑的一些工具来完成这一任务他的工作是无可挑剔的，但如前所述，我们认为谨慎地扩展FDEE逻辑与“蕴涵”连接，至少满足前件推理对于这项工作的性质是可取的考虑使用次协调逻辑[14]。此外，最近对这些逻辑的工作也考虑了一些有用的相对新的性质，即非线性性和仿完备性，见[8，18，24，22，5]。最近，对次协调逻辑的研究和它们在人工智能中的应用，特别是在人工智能中的应用，支持了反对不矛盾律的论点。次协调逻辑学接受不一致性，而不提出这样的问题：一旦一个矛盾被推导出来，那么任何命题都会随之而来，就像经典逻辑的情况一样。我们介绍了三个次协调（真正的和仿完全的）逻辑，它们是基于两个逻辑的组合构建的：FDEE（由牧师）和一个版本的四由于Avron，我们称之为BL。重点是要加上一个暗示[3]据作者所知，佛教典籍从来没有明确地谈到五种可能性，因为它们实际上提到了四种情况。然而，普瑞斯特表明，佛教叙事假定了这种不可否认的数字，见[26，27，28，29]。160M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157这是一种“以物易物”的境界。最后，我们想指出，添加一个“蕴涵”连接到非经典逻辑并不总是一个直接的Corcoran区分了“暗示”一词的12种用法没有什么可以阻止“暗示”以任何常规的方式解释，以传达任何实用的用法。我们可以给它起不同的名字，但由于我们期望它遵守推理的前件式规则，我们决定称之为在分组...2背景在本节中：我们从语义的角度定义逻辑，特别是通过多值系统;我们提出了一个逻辑BL的公理化形式系统，由Avron在[ 6 ]中提供;我们回顾了系统HBL，BL的形式公理化理论[4];最后，我们总结了[27]中的一些材料，我们需要借用这些材料来定义我们的贡献。2.1多值逻辑定义逻辑的一种方法是通过真值和解释。多值系统推广了使用真值表的思想，经典逻辑中公式的有效性。有人认为多值系统不应该被视为逻辑;另一方面，先驱者如L-ukaSiewicz认为这样的多值系统是经典框架的替代品。像其他作者一样，我们更愿意给予多值系统以怀疑它们作为逻辑的地位的好处。多值系统的核心是它的值域D，其中一些值是特殊的，并被标识为指定的。连接词（例如：、、→、<$）然后根据逻辑的特定定义被引入作为D上的算子。解释是一个函数I：L→D，它将原子映射到定义域中的元素。然后，I的应用被扩展到任意公式，首先将原子映射到D中的值，然后根据逻辑的连接词评估结果表达式。一个公式被称为重言式，如果对于每一种可能的解释，公式的计算结果都是一个指定的值。给定一组公式Γ和一个公式α，记作Γ|= α意味着任何对Γ的所有公式进行建模的解释也对α进行建模。多值逻辑最简单的例子是经典逻辑，其中：D={0，1}， 1 是唯一的指定值，连接词通过通常的基本真值表定义。从现在开始，我们把所有的多值系统称为多值逻辑。不是所有的多值逻辑都必须有前面提到的四个连接词，事实上，经典逻辑可以用其中两个连接词''，'（原始连接词）来定义，另外两个（非原始）可以用''，'来定义。 如果一个逻辑具有蕴涵联结词，那么它最好保持重言式，在这个意义上，如果α，α→β是重言式，那么β也是重言式。这种限制加强了肯定前件在逻辑上的有效性M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157161对象0、1、2、3和4是本文所研究的逻辑语义的一部分，只是为了方便而选择的，它们不对应于自然数。逻辑满足爆炸原理（EFQ），如果α，<$α| = β。如果一个逻辑拒绝爆炸原理，它就是次协调的逻辑满足以下原则：非矛盾（PNC），如果|=<$（α <$<$α）。一个逻辑如果拒绝不矛盾原则，它就是真的逻辑满足排中律，如果|= α<$α。一个逻辑是仿完全的，如果它拒绝排中律。2.1.1逻辑BL这个逻辑是一个四值逻辑，其真值在域D={ 0， 1， 2， 3}中，其中2和3是指定值[4]。通常，连接词“”和“”分别对应最大下限（Glb）和最小上限（Lub）。连接词→和<$的定义是：如果α未指定，则α→ β = 3， 如果α被指定;<$（0）= 3，<$（3）=0，<$（α）=α，如果α= 1或α= 2。逻辑BL由偏序0 1，0 2，1 3，2 3导出。<<<<注意如果我们只考虑值0、1和3，我们得到KleeneKleene和PAC逻辑[6]由3-真值定义，并已详细研究的子逻辑BL.为. Avron在[4]中提到，BL是交错的4，因此满足1<$2 = 0和1< $2 = 3。2.2HBL系统让我们考虑HBL，一个由原始逻辑联结词：<$，→，和构成的BL [ 4 ]的形式公理理论。我们还考虑一个根据原始连接词定义的逻辑连接词α参与β：=（α→β）（β→α）通常构造合式公式，公理模式是：I1α→（β→α）I2（α→（β→γ））→（（α→β）→（α→γ））I3（（α→β）→α）→αC1（α<$β）→αC2（α<$β）→βC3α→（β→（α<$β））D1α→（α<$β）D2β→（α<$β）D3（α→γ）→（（β→γ）→（αβ→γ））N1<$（αβ）参与者αβ <$βN2βN3α参与αN4<$（α→β）参与απ <$β4这意味着，对于≤t和≤k，每一个都是单调的[4]162M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157作为唯一的推理规则：肯定前件α α→ββ逻辑BL-1在这一公理化方面是可靠的和完备的Γ|=Xα意味着αc可以从Γ中的模在nlogicX中被更新。定理2.1[4][可靠性和完备性]Γ <$BL<$α当且仅当Γ |= BLα。2.3一级蕴涵系统本小节是对[27]中一些材料的总结，我们需要借用这些材料来定义我们的逻辑。一阶蕴涵（First Degree Entailment，FDE）是一个由Priest定义的逻辑系统，可以以多种方式建立，但其中之一是作为一个四值逻辑，其值为t（仅为真），f（仅为假），b（两者）和n（两者都不）。否定将t映射到f，反之亦然，n映射到自身，b映射到自身。合取是Glb，析取是Lub。 指定值的集合D是{b，t}真理的四个角和FDE逻辑看起来像是正确的匹配。从现在开始，我们将使用分别对应于f，n，b，t的四个值0，1，2，3;这是为了使符号在前面介绍的逻辑方面统一FDE可以通过以下健全和完整的规则系统来表征，其中双线表示双向规则，而下划线表示排除假设5：甲乙丙A组B组A组B组A（B）一个... C B . ......你好。CC（A）<$A<$B（A）<$A<$BAA现在我们转向FDEE，这是一个包含不可否认性概念的5值逻辑。根据Priest的说法，从技术上讲，显而易见的想法是添加一个新的值（在[27]中显示为e），4，到我们现有的四个{0， 1， 2， 3}，表示这个新的状态。由于4是要求的状态，因此它们或其否定都不应被接受，因此显然不应被指定。因此，我们仍然具有相同的指定值。普利斯特提出了以下主要问题：连接词对4的反应4和1都是在某种意义上都不为真的事物的值也不是假的，但是如果两者要表示不同的，5从牧师主页下载的论文[27]有一个它说的是：<$（AB）而不是：<$（AB）。<$A<$B<$A<$BM. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157163替代品.最简单的建议是将4取为这样的值，只要任何输入的值为4，输出也是：4-in/4-out。以这种方式修改FDE所产生的逻辑显然是FDE的一个子逻辑，它是一个适当的子逻辑。检查FDE的所有规则是否都是指定保留的并不困难，但析取引入规则除外，正如一个明显的反模型所示，它不是指定但是，将其替换为规则：中文（简体）A/CN.9/2004/L.16中文（简体）A（A） 中文（简体）（A、B、C）其中，A和B是包含出现在A中的原子的任何句子B分别。例如，对于规则A（A）C，如果A是原子a，则A（A）是aACaab C a Cb那么这个规则的一些可能的实例是：a或者是一个C2C。 把这些叫做规则，并将此系统称为FDE。在以下方面，FDE认证是健全和完整的语义学3我们的五值逻辑经典逻辑是遵循排中律（或排中律）的逻辑，排中律指出，对于任何命题，要么该命题为真（t），要么其否定为真。在这种情况下，我们说原命题为假（f）。法律也被称为排除第三人的法律（或原则），在拉丁语principium tertii exclusi中。这个定律的另一个拉丁名称是tertium non datur：一个三值逻辑是任何几个多值逻辑系统，其中有三个真值表示真，假和一些不确定的第三个值。我们可以说这个新的第三个值既不是假的也不是真的（n）。三值逻辑的概念结构及其基本思想最早是由扬·L-ukasiewicz和C. I. 刘易斯.我们可以进一步推进范式，并接受我们可以给出真命题和假命题。我们可以用一个四值（b）来表示这个事实。数学中的一个主要例子来自集合论。 从罗素悖论可知，康托和弗雷格的朴素集合论的一阶公理化在经典逻辑中是不一致的。更确切地说，如果潜在的逻辑是经典的，一些“奇特”的集合会导致琐碎。其中最流行的是所谓的罗素集，R={x|x/∈x}，对于by，排除中间一的l aw立即得到"“，这是一个明显的矛盾。为了处理这样一个矛盾的集合，一个可能的想法是把罗素仅仅看作是理所当然的，即看作是一个属于和不属于它自己的集合[20]。有趣的是，非良基集（也称为超集），对于数学基础来说不再是不可或缺的，随后在建模循环现象中找到了有用的应用，特别是在计算机科学中[1]。超越这四个价值观（一种最终边界）就是接受不可否认的价值观。164M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157命题，因此接受五个逻辑值。 这是一个特别的自然-当我们面对矛盾时，我们已经面临了一个真正的局面。正如罗素在《逻辑哲学论》英译本的导言中所写的那样[33]。因此，与语言的表达性这个概念有关的一切按照维特根斯坦先生的说法，这种不可表达的东西包含了逻辑和哲学的全部。... 尽管维特根斯坦先生提出了非常有力的论据来支持他的立场，但这并不是他在接受维特根斯坦的立场时犹豫不决的导致犹豫的是这样一个事实，维特根斯坦先生毕竟设法说了很多不能说的话，从而向持怀疑态度的读者暗示，通过语言的等级制度，或者通过其他出口，可能会有一些漏洞。我们并不主张赞成或反对维特根斯坦在《逻辑哲学论》中的观点。事实上，许多著名的哲学、文学和/或宗教书籍都关心这个自相矛盾的概念[32，12，7，34，11，10，30，16]。这五个概念值得挑战现代逻辑。神甫已经做了。然而，他离开了“含义”连接出他的方法。我们提出了一些可能的替代方案，包括这样的连接在他提出的逻辑我们提出了三个逻辑，构建的基础上组合的两个逻辑：FDEE（由牧师）和BL的。这三个逻辑的核心是基于以下假设。我们有5个值：{0， 1， 2， 3， 4}。FDEE也使用{0， 1， 2， 3， 4}。指定值为{2， 3}，作为FDEe。 {0， 1， 2， 3}定义一个格，其中01，02，13，<<<23岁。<连接词是Lub，而是Glb。由于4被解释为不可解的，则X op 4 = 4 op X = 4，其中X∈ {0，1，2，3，4}。关于否定（<$），我们有<$0 = 3，<$3 = 0，<$1 = 1，<$2 = 2，<$4 = 4。蕴涵是由Avron定义的子域{0，1，2，3}，即：X→Y = 3，当X不指定，X1= 4，Y4。 当指定X时，X→Y=Y，Y= 4。的接下来的两个表达式是4→X和4→X，对于{ 0， 1， 2， 3， 4}中的X。表1给出了连接词、、→和<$的真值表。注意，定义在子域{0， 1， 2， 3}中的子逻辑正好对应于BL逻辑。此外，域{0，1， 2， 3， 4}中的子逻辑，但消除了蕴涵连接符，完全对应于FDEE。3.1FiveASP 1这个逻辑试图保持非常接近FDEE，我们将这个逻辑命名为FiveASP 1。连接词→根据表2中给出的真值表定义。定理3.1FiveASP_1是一个次协调的、真的、次完全的逻辑。证据[草图]直接使用真值表。例如，要证明它是仿完备的，对每个原子，只要对val（X）= 1的公式求值就足够了X.QM. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157165∨001 2 3 4012341 1 1 2 342 2 2 2 3 43 3 3 3 3 44 4 4 4 4 4∧001 2 3 4000041 0 1 1 142 0 1 2 243 0 1 2 344 4 4 4 44x<$x0 31 12 23 04 4→001 2 3 43333？13333？20123？30123？四个？ ？ ？ ？表1连接词、、→和<$的真值表。→五ASP101234033334133334201234301234444444表2逻辑FiveASP 1中连接词→的FDEE不允许重复。FiveASP 1在这方面忠实于FDEE，因此我们有以下结果。定理3.2 FiveASP 1不允许重言式。证据[草图]评估任何公式中的每个原子与4，那么最终评估是4没有指定。Q定理3.3五个ASP满足：(i) 肯定前件式和希波推理式。(ii) FDEE的所有推理规则证据[示意图]（情况1）它们是用真值表通过矛盾证明的。(case 2）它们是通过构造来证明的，因为这三个逻辑表现为逻辑FDEe166M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157→FiveASP201234033334133334201234301234444443表3逻辑FiveASP 2中连接词→的关于连接词“”、“”和“”，逻辑满足这样的推理规则。Q3.2FiveASP 2这个逻辑在某种程度上是逻辑FiveASP 1和FiveASP 3之间的“中间道路 (to我们将这个逻辑命名为FiveASP 2。它只将FiveASP 1中的4→4 = 4更改为FiveASP 2中的4→4= 3，以便允许一些基本的重言式。 连接词→根据表3中给出的真值表定义。回想一下，不可解释的概念在某种程度上是自相矛盾的，我们不能谈论不可解释的东西，但实际上我们这样做是为了传达一个给定的主要信息（至少部分）。在这里，我们有：如果X是不可分的，并且是真的，并且只有X→Y是真的，那么（我们的逻辑声称）Y是不可分的。定理3.4 FiveASP 2是一个次协调的、真的、次完全的逻辑。证据 [草图]直接使用真值表。Q我们可以观察到FiveASP 2满足一些众所周知的重言式，如X→X以及德摩根定律因此，我们有以下定理。定理3.5 FiveASP 2允许一些重言式。证据[sketch] FiveASP 2接受这个定理前面的短语中提到的重言式，并且它们被直接证明Q定理3.6FiveASP 2满足：(i) 肯定前件式和希波推理式。(ii) FDEE的所有推理规则证据[示意图]（情况1）它们是用真值表通过矛盾证明的。(case 2）它们是通过构造来证明的，因为这三个逻辑在连接词、和<$方面表现为逻辑FDEE，并且逻辑满足这样的推理规则。Q3.3FiveASP 3这种逻辑是一种语用学的逻辑，连接词我们将此逻辑命名为FiveASP 3。我们不允许有M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157167→FiveASP301234033333133333201231301231433333表4逻辑FiveASP 3中连接词→的两个值X，Y，使得X→Y= 4，因此FiveASP 3是相对于FiveASP 1逻辑的另一个极端情况。注意，这个逻辑获得了许多众所周知的重言式。这个逻辑符合重言式I1-I3、C1-C3、D3、N1-N4（见2.2节）。我们认为这种逻辑在应用于艺术（文学）的人工智能中可能有用。连接词→根据表4中给出的真值表定义。定理3.7 FiveASP 3是一个次协调的、真的、次完全的逻辑。证据 [草图]直接使用真值表。Q我们可以观察到FiveASP 3满足许多著名的重言式，如X→X和德摩根定律，其中一些是正逻辑的标准两个蕴涵规则。因此，我们有以下定理。定理3.8 FiveASP 3允许一些重言式。证据FiveASP3接受这个定理前面的短语中提到的重言式，并且它们被直接证明。Q定理3.9FiveASP 3满足：(i) 肯定前件式和希波推理式。(ii) FDEE的所有推理规则证据[示意图]（情况1）它们是用真值表通过矛盾证明的。(case 2）它们是通过构造来证明的，因为这三个逻辑在连接词、和<$方面表现为逻辑FDEE，并且逻辑满足这样的推理规则。Q4一个针对FiveASP 3的在这一节中，我们研究希尔伯特系统，旨在公理化我们的FiveASP 3逻辑的想法。被称为HFive3的系统具有以下5个常量符号：ze，on，tw，特尔岛此外，我们有一个一元连接符号（<$）和两个二元原始函数符号（，→）。我们有两个定义的二元连接词168M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）157（参与），以标准形式定义，即：α<$β：=<$（<$α<$$>β）αParticipateβ：=（α→β）<$（β→α）我们有以下公理。从2.2节中给出的逻辑HBL中，我们借用公理甚至公理：I1-I3，C1-C3，D3，N1-N4。此外，我们添加了以下一组新公理。（βParticipi <$β）（α→β）<$（α→β）（（α→α）→β）<$（α→α）（（α<$β）<$γ）→（β<$γ）（α<$（β<$γ））→（β<$α）<$（α<$β）→<$（β<$α）<$zeParticitrzeParticitr<$onParticion<$tw参与Z介子→α α →tw介子我们还有两个Meta公理：M1）α→（β+→（α<$β））其中β+是包含公式β中出现的所有参数的任何公式。M2）α→γ<$α其中γ是仅使用{ze，tr，on，tw}中的常数符号构造的任何公式。我们唯一的推理规则是肯定前件式：α，α→β<$β显然HFive 3满足演绎定理。定理4.1 FiveASP 3相对于HFive 3是合理的。定理4.2证明3α →（α <$β）是错误的。 证明βHF有3α →（β <$α）是假的我们说逻辑L是HFive3的一个适当的扩展（因此它包括HFive3的所有公理和推理规则），如果公式i（α→α）不能在L中证明（回忆一下i是逻辑HFive3的一个常数断言：唯一的5值逻辑，对于HFive3的任何合适的扩展L直到具有正好两个指定值的同构是合理的，是FiveASP 3。这里我们必须注意到，当置换常数的作用时，clasp6提供了12个同构逻辑6https://potassco.org/clasp/M. 奥索里奥角Zepeda/理论计算机科学电子笔记354（2020）1571695结论结合FDEe和BLe引入了三个5值逻辑。这三个逻辑满足以下性质：它们是次协调的、真的和次完全的逻辑。它们满足肯定前件式和假言三段论以及FDEE的所有推理规则。需要做更多的研究来理解这些逻辑，并找到它们各自的进一步数学性质。我们还相信，我们的逻辑或它们的一些扩展可以用来表示/理解复杂的诗歌，其中考虑不一致，不确定和/或不可解释的信念。考虑通过定义我们的三个逻辑中的每一个的可能性版本来扩展这些逻辑也很有趣，见[15，23]。通过这种方式，我们可以（也许）获得一些概念的可表达性的新维度引用[1] 萨姆森·艾布拉姆斯基库克对非良基集合的无限次旅行。伦敦帝国理工学院计算机系，1988年。[2] 奥弗·阿里里和阿农·阿夫隆。逻辑双格和不一致数据。在Proceedings of the Ninth Annual Symposium onLogic in Computer Science（LICS[3] 奥弗·阿里里和阿农·阿夫隆。分层知识库的四值诊断。 《计算机科学逻辑》，第10届国际研讨会，CSL[4] 奥弗·阿里里和阿农·阿夫隆。逻辑双格推理。Journal of Logic，Language and Information，5（1）：25[5] 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