Kaehler乘积流形中的全实子流形

Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，258埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章Kaehler乘积流形的全实子流形马吉德·阿里·乔杜里数学系，Jamia Millia Islamia，新德里110025，印度接收日期：2014年9月22日;修订日期：2014年12月28日;接受日期：2015年2月21日2015年5月23日在线发布摘要全实子流形在不同的环境流形中已被许多几何学家研究过。本文研究Kaehler乘积流形中的全实子流形.本文导出了计算第二基本形式平方的拉普拉斯算子的积分公式，并利用这些公式证明了拼挤定理。实际上，我们把Yano和Kon[1，2]的一些结果推广到了环境流形是Kaehlerian乘积流形的情形2000年数学科目分级： 53C15; 53C40版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍全实子流形的几何是一个有趣的领域，许多几何学家都在研究它。例如，Houh[3]，Yau[4]，Chen和Ogiue[5]研究了具有常全纯截面曲率的几乎Hermite流形或Kaehler流形中的全实子流形，得到了许多有趣的结果。此外，Yano和Kon[1，2]推广了[6另一方面，Kaehlerian乘积流形也受到几何学家的关注[10].本说明的目的是研究电子邮件地址：majid_alichoudhary@yahoo.co.in同行评审由埃及数学学会负责当周围流形是Kaehlerian乘积流形时，全实子流形的几何。2. 预赛设Mn是复维数n（实维数2n）的Kaehler流形，MP是复维数p（实维数2p）的Kaehler流形.我们分别用Jn和Jp表示Mn和Mp的几乎复结构现在，我们假设Mn和MP是具有常数全纯截面曲率c1和c2的复空间形式，并记为它们分别由Mn（c1）和Mp（c2）黎曼曲线-Mn（c1）的向量张量Rn由下式给出：R（ X，Y） Z=1c[g（ Y，Z）X-g（X，Z） Y]n41 n n1+4c1[gn（ Jn Y，Z） Jn X−gn（ Jn X，Z） Jn Y+2gn（ X，JnY） Jn Z]S1110-256X（15）00029-2 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.02.006制作和主办：Elsevier关键词Kaehlerian乘积流形;全实子流形;复空间形式Kaehler乘积流形259=p42pp=×=-== − ===-==+====++=+++===+K∈我∇∇IJ我12BB一α我αα∗α我162BCBBB2BCD而Mp（ c2）的黎曼曲率张量Rp由下式给出：R（ X，Y） Z=1c[g（ Y，Z）X-g（X，Z） Y] 1+4c2[g p（J p Y，Z）J p X−g p（J p X，Z）J p Y+2 g p（X，J p Y）J p Z]。考虑Kaehler乘积流形MMn（c1）Mp（c2）.设P和Q分别表示Mn（c1）和MP（c2）的切空间的投影算子然后，我们有P2P，Q2Q，PQQP.我们代入F P Q，可以证明F2I.因此，F几乎是M上的乘积结构。此外，我们定义M上的黎曼度量g，g（ X，Y）=gn（PX，PY）+gp（QX，QY）对于M的任何向量场X和Y。 它也遵循g（ FX，Y）g（ FY，X）。Let 我们对M的任意向量场X置JXJnPXJpQX。然后我们看到JnPJ，JpQJ，FJJF，J2I，g（ JX，JY）g（ X，Y），XJ0.因此，J是M上的Kaehlerian结构。Kaehlerian乘积流形M的黎曼曲率量R由[10]给出。• M是最小的，如果H0。• M是全脐的，如果M的第二基本形式满足B（ X， Y） g（ X， Y） H。• M是全测地的，如果M的第二基本形式都为零，即B=0。我们选择一当地菲尔德的正交帧E1，. . . ，en; en+1，. . . ，e n+p; e1n=Je1，. . . ，e nn = Je n; e（n+1）n =Je n+1，. . .，e（n+p）∈Je n+p，使得对M，e1，. . .，e n与M相切。对于M 的 这个标架 场，设ω1，. . . ，ωn;ωn+1，. . . ，ωn+p;ω1π，. . . ，ωn<$; ω（n+1）<$，. . . ，ω（n+p）n是对偶标架的场.除非另有说明，我们使用的惯例是， 的 指数 是 分别为A、B、C、D1、. . .，n p，1 μ m，. . . ，（np）n;i，j，k，l，t，s1，. . . ，n;a，b，c，dn1，. . . ，np，1 μ m，. . . ，（np）n;α，β，γn1，. . . ，np;λ，μ，ν，n1，. . . ，np，（n1）n，. . . ，（np）n ，当一个下标在任何项中出现两次，上标，应当理解，该指数在其范围上求和。然后M的结构方程由下式给出：R（ X，Y，Z，W）=1（c+c）[g（ Y，Z） g（ X，W）−g（ X，Z） g（ Y，W）dωA= −ωAωB，ωA+ωB=0，16ωi+ωj=0，ωi=ωi，ωi=ωj，+g（ JY， Z） g（ JX， W） −g（ JX， Z） g（ JY， W）j i jjj i+2g（ X， JY） g（ JZ， W）+ 2g（ FY， Z） g（ F X， W）ωα+ωβ=0，ωα=ωαε，ωαε=ωβε，（2.5）— g（ F X， Z） g（ FY， W）+ g（ FJY， Z） g（ F JX， W）β α β β∗β α— g（ F JX， Z） g（ F JY， W）+2g（ F X， JY） g（ F JZ， W）]ωi+ωα=0，ωi=ωi，ωi=ωα，1+（c）-c）[g（ FY， Z） g（ X， W）−g（ FX， Z） g（ Y， W）dωA= −ωAωC+φA，φA=1KAωCωD（2.6）+g（ Y， Z） g（ F X， W）−g（ X， Z） g（ FY， W）+g（ F JY， Z） g（ JX， W） −g（ F JX， Z） g（ JY， W）+g（ JY， Z） g（ F JX， W） −g（ JX， Z） g（ FJY， W）+2g（ F X， JY） g（ JZ， W）+2g（ X， JY） g（ JF Z， W）]（2.1）对于M上的任何向量场X， Y和Z。一个n维的Rie-将这些形式限制为M，我们有ωa=0，（2.7）dωi= −ωi <$ωk，（2.8）等距浸入Kaehler流形的mannian流形D我i k ii1i k l乘积流形M称为M的全实子流形，如果JTx（ M）<$Tx（ M），其中Tx（ M）表示ωj= −ωk <$ωj+▲j，▲j=2Rjklω<$ω（2.9）在x M处与M在这里，我们已经确定了Tx（ M）它的图像在浸入的不同程度下，我们的计算是局部的。若X∈Tx（M），则JX是正规的由于0=dωa= −ωa <$ωi，通过Cartan引理，ωa=haωj，ha=ha（2.10）向量为M。设g是M的度量张量场，g是伊季报伊济M上的诱导度量张量场我们用（resp）表示。）关于g（resp.）的协变微分算子。g）。然后高斯和温加滕公式由下式给出：我们看到g（ Aa ei， ej）=ha。高斯方程由下式给出：Ri=K+。（haha−haha）（2.11）XY=jkljklikJL一ILJKXN= −AN X+DX N（2.3）对于任意切向量场X， Y和法向量场N并且我们在dωa= −ωa <$ωc +▲a，▲a=1Raωk<$ωl（2.12）其中D是协变微分算子，b c b bb2bkl1260M.A. Choudhary一ijkIJBKLBKL伊勒ILik关于在法丛中诱导的线性联络A和B都被称为M的第二基本形式，并且满足而Ricci方程由下式给出：Ra=K+。（hahb−hahb）（2.13）我g（ B（ X， Y）， N）=g（ AN X， Y）.（2.4）法丛中的法向量场N称为平行的，如果对M上的任意切向量场X，D× N=0。的由式（2.5）和式（2.10），我们得到hi=hj=hk（2.14）平均曲率向量H被定义为H=（1/n） TrB，其中伊克日报TrB=.iB（ei，ei）表示正交矩阵{ei}。我们是一对我们定义协变导数ha通过设置haKaehler乘积流形261+22.一a B一BaaL=艾克尔ijkl jk我ilkJIJLK（）1612一1612B一IIKK1612B一纪IJIJIJIJKKIJBKIIJB国际新闻社jk ij伊季IJB. hh =.HH1 .一、1 .一、16a16吨1 .一、16吨原名aLaLb一备注。我 们 可以定义一个框架e1，。. . ，e n∈ JT x（M）和帧e n+1，. . . ，e n+P，e（n+1）n，. . . ，e（n+p）∈ Nx（M）. 因此如果hijkω =dhij − hil ω j − hlj ωi + hij ωb。（2.15）法丛中的f-结构是平行的，则我们有ha的Laplacian矩阵定义为：ha=.H aA λ= 0， i. 例如，h λ=0。（2.23）（2.16）伊季艾克K3. 积分公式我们把H ωl=dh a −haωl−haωl−haωl+hbωa。形式（ωi）定义了M的黎曼联络ijk B J和形式（ωa）。如果黎曼流形M是常数，curvaturbarek，则我们有设M是复维数np的Kaehler乘积流形M（ c）的常全纯截面曲率c的实维数n的全实子流形。我们证明我jkl =k（δikδ jl− δilδjk）。（2.17）下面的引理供以后使用。我们称这样的流形为实空间形式，并将其表示为：M k.设M是Kaehlerian乘积流形M的全实n维子流形.我们用T_x（ M）表示M在x∈M处的切空间，用T_x（ M）表示M在x∈ M处的切空间。引理3.1. 设M是Kaehlerian乘积流形M（c）= M1n（c1）×M2p（c2）的全实子流形. 然后，我们有a a a 一ij ij ij ijKKI Ja， i， j a， i， j， kM在x∈M的正规空间。然后我们看到JTx（ M）<$1 .一、+（c+c）[{n+9+ 15（TrF J）2+ 6（TrF）2}TrA2一Tx（ M）= JTx（ M）Nx（ M）-（3+（TrF）+（TrF J））（ TrAa）]其中Nx（M）是JTx（ M）的正交补，Tx（ M）若N∈Nx（M），则得到JN∈Nx（M）.如果N是向量，+（c1−c2）[（n+1）（TrF） TrA2− 2（TrF）（ TrAa）2]一在正规丛T（ M）中的T场，我们把JN=PN+f N（2.18）+（c1+c2）[（4（TrF）2− 2）TrA2−（ 1+（TrF）2）（TrAt）2]不其中PN和fN是JN的切向和法向部分。则P是法丛上的切丛值1-形式，f是法丛的自同态输入N=+（c1−c2）[2（TrF）（ TrA2）− 2（TrF）（ TrAt）2]不1 .一、+（c−c）（Tr JF）g（Je，e）hahb7 .第一 次会议。-（c−c）（ TrJF） g（ Je， e） hb ha（2.19）其中X是M的切向量场，N是法丛中的向量场 当量（2.19）暗示f3+f=0。因此，f是常秩的，如果f不为零，则它在正规丛中定义了一个f-结构[11]。由式（2.18），+{Tr（ Aa Ab−Ab Aa）2−[Tr（ Aa Ab）]2−TrAb Tr（ Aa Ab Aa）}甲乙丙（3.1）这里我们写了At= At。证据通过简单的计算，我们有[12]。.h aha=.（h a h a−K H H+4 K H H−K哈哈哈−JAN X+f DXN=B（ X， PN）+DX（ f N）（2.20）从中（D Xf）N = −B（X，PN）− JA NX.（2.21）我们说，如果对任意切向量场X，法丛中的f-结构是平行的。引理2.1. 设M是Kaehlerian乘积流形M的全实n维子流形。如果法丛中的f-结构是平行的，那么我们有RTx（ M）我们可以通过以下方式分解Tx（ M）[18]在[19]中，我们发现：Pf N= 0，f2N= −N−JPN，PJX= −X，f JX= 0使用a，i，ja，i，j， kKBKIJ IJ262M.A. Choudhary一ba baB=×kikLJ IJijkLKIJa， b，i， j，k， likJK日伊克ILJLJLIL国际新闻社国际新闻社智基KJ会A N= 0f或N∈ Nx（M）.（2.22）证据 如果N∈Nx（M），则我们有PN=0。以其为誓，+2 Kh a h a+2 K l h a h a）- .（h a h b−h h）（h h −h h）+h a h a hb h b− h a h a h b h b。然后根据上面的等式，使用（2.1）我们得到我们的断言。Q现在，我们使用引理2.1和等式2。(3.1)以获得以下结果。引理3.2. 设M是Kaehlerian乘积流形M（c）的全实子流形M1n（c1）M2p（c2）。如果法丛中的f-结构是平行的，那么我们有假设（2.21），我们有（2.22）。QKaehler乘积流形263不不2 221221612不Mp（ c）。如果正规丛中的f-结构是平行的，则1612不不−（a）N-S（a）、∗（ijk）∗1612B一IIKK1612B一纪IJ162不（）162不S不 S不162B一IIKK1612B一纪IJn2n不S一B11612JIJ IJ一一aSa，使得Sab是对称的（n， n）-矩阵，并且对于适当的标架，可以假定S ab是对角的. S是平方伊杰≤W−-我是说...S2+。{Tr（AtAs−AsAt）2. hh =.HH.a，i，ja，i，j， k不不a a a 一ij ij ij ijKKI Ja， i， j a， i， j， k1 .一、+（c+c）[{n+7+15（TrJF）2+10（Tr F）2}TrA2不现在，我们证明以下定理。定理3.4. 设M是Kaehler乘积流形M（ c）=M1n（c1）× M（c）222 2 2我们有- {4+ 2（TrF）+（TrF J）}（TrAt）]1 .一、+（c−c）[（n+3）（TrF） TrA2− 4（TrF）（ TrA）2]不我的天TrATrAΣ1≥10。H a21一1+（c−c）（ TrJF） g（ Je， e）ha hb— 7（c-c）.（TrJF）g（Je，e）hbha+。{Tr（AA−AA）2≥0（3.4）哪里W=.2−1<$S2−1（c+c）[n+7t， s不Ss不2n16122 21— [Tr（ AtAs）]+TrAs Tr（ At As At）}（3.2）+15（TrJF）+10（T rF）]S−16（c1−c2）（n+ 3）（TrF） S我们需要下面的引理[12]。1+（c）+c）。[4+2（TrF）2+（TrFJ）2]。（TrA）2不不Tr AB−BA2 ≤2TrA2TrB2且等式对非零矩阵A和B成立，当且仅当如果A和B可以分别由正交矩阵同时变换为A和B的标量倍数，其中1+（c）1—（c）在— （c）。4（TrF）（TrA）2−。TrA Tr（A A A）不不— （c）。（TrJF）g（Je，e）hahb7 .第一 次会议。+（c− c）（TrJF）g（Je，e）h b h a.证据考虑到引理3.3，我们有- 我是说...Tr（A tA s− A s A t）2+。S2t， s t−W1S − W2S ≤ 2。S tS s+。S2− W1S − W2St/=s t此外，如果A1，A2，A3是三个对称（n， n）-矩阵，的=0。2−1S−W-W S − 1.（S − S）2（3.5）t>s−Tr（A a A b−A b A a）=2 TrA TrB，1 ≤a，b ≤ 3，a/=b则至少有一个矩阵A必须为零。其中W=（c+c）[n+7+ 15（T rF）+ 10（T rF）]，W2=1（c1−c2）（n+3）（TrF）.根据（3.3）和（3.5），我们一.我们把Sab=。i，h ah b=Tr AaAb，Sa=Saa，S=16有..第二基本形式的长度。当法丛中的f-结构是平行的时，使用这些符号，我们可以将（3.2）改写为如下形式：2哪里W=0。2−1<$S−W−W<$S+1（c+c）。[4+2（TrF）22.h aha=.哈哈哈1+（c）+c）[n+7+ 15（T）]n1 216吨a， i， j a， i， j， k161 2+（TrFJ）2]。（TrA）2+1（c-c）.4（TrF）（TrA）210TrF）2]S+1（c-c）（n+ 3）（TrF）St161 2t+（161 2不MMa，引理3.3. 设A和B是对称（n，n）-矩阵. 然后1−111一 一−hij hkki j（3.6）1264M.A. Choudhary161 2吨S不 S不B一-16（c1−c2）7（TrJF） g（ Jeb， ea） hji hij（3.3）MijkMIJIJ— . TrATr（A AA）t t， s1 .一、-（c−c）（ TrJF） g（ Je， e） ha hb-1（c+c）。[4+2（TrF）2+（TrFJ）2]（TrA）2161 27 .第一次会议。b一第二共和党B 一不1.一、.—（c−c）4（TrF）（ TrA）2+TrA Tr（ A AA）不+16（c1−c2）（TrJF）g（Je b，e a）h jihij.161 2不t， sS tS不假设M是紧的且可定向的，则我们具有以下积分公式[6]：1 .一、+（c −c）（ TrJF） g（ Je， e） ha hb161 2.B一第二共和党.（ha））21= −hah a1，不a，i，j， kKaehler乘积流形265.HH22+n=16（1）（二）（）（）162ijk16（ 2n−1）一 一IJKKI JMa， i， j， k1=.（Tr Aa）（TrAa）1.一2009/[xxv]开展这项研究工作。我也衷心感谢审稿人的宝贵建议，帮助我提高利 用 不 等 式 （ 3.6 ） 和 上 面 的 积 分 公 式 ， 我 们 有 等 式（1）。(3.4)这就完成了定理的证明。Q定理3.5. 设M是Kaehlerian乘积流形M（c）的紧致可定向于所有 y实极小流形的子流形.如果法丛中的f-结构是平行的，那么我们有∫- 是的2−1S−1c+c {n+7 + 15 TrJF+10TrF}本文引用[1] K. 亚诺，M。李文，复空间形式的全实子流形，国立台湾大学数学研究所硕士论文，2001[2] K. 亚诺，M。复空间形式的全实子流形II，Kodai Math.Sem等众议员27（1976）3852M1-（c）-c）（ n+3）（TrF）S=1.（ha）a，i，j， k）2美元1[3] C.S. Houch，in：Some Totally Real Minimal Surfaces inC，Proc.Am. Math.Soc.40（1973）240-244.[4] S.T. Yau，Submanifold with constant mean curvature I，Am. J.Math.96（1974）346≥0（3.7）我们通过陈述以下推论来结束本节推论3.6。设M是复维数np的Kaehler乘积流形M（c）的紧致可定向全实极小子流形.如果正规丛中的f-结构是平行的，且如果[5] 年 Chen ， K. Ogiue ， 在 完 全 真 实 的 流 形 ， trans.am 。Math.Soc.193（1974）257[6] M.张文，张文龙，等.子流形中的全实子流形.北京大学学报，1996（2）：117-118.[7] G.D. Ludden，M. Okumura，K. Yano，复流形的全实子流形，Atti Accad。纳兹。林西·伦德CL. Sci.菲兹Mat.自然。58（1975）346-353。[8] G.D. Ludden，M.Okumura，K.矢野，一个完全真实的表面，CP2不是完全测地线，Proc。Am. 数学Soc. 第五十三条（1975年）S<1（c1+ c2）。n+7+ 15（T rJF）2+ 10（TrF）2186-190.[9] K. Yano，全实子流形的狄氏几何，主题我的天Geom. 11（1976）3511n[10] K. 亚诺，M。Kon，流形上的结构，在：纯数学系列-+16（ 2n− 1）（c1−c2）（n+3）（TrF），则M是全测地线。致谢我感谢印度政府科学技术部通过以下方式提供的财政援助：拉克萨火山3.《世界科学》，新加坡，1984年。[11] K. Yano，关于由（1，1）f3型张量场f定义的结构+ F0，张量，NS 14（1963）99[12] S.S. Chern ， M. 杜 卡 尔 莫 ， S 。 Kobayashi ， Minimalsubmanifold of a sphere with second fundamental form ofconstant length ， Functional Analysis and Related Fields ，Springer-Verlag，1970，pp. 57比75M1M∫n