基于能量的小车摆动控制方法及稳定采样控制的研究

第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会，俄罗斯下诺夫哥罗德，2012年小车-单摆系统的速度梯度能量与鲁斯兰·E塞富拉耶夫俄罗斯圣彼得堡国立大学理论控制论系（电子邮件：ruslanspb-zenit@yandex.ru）翻译后摘要：基于能量的非线性振荡控制的实施的可能性该方法基于速度梯度法和基于能量的目标函数。并以小车-摆系统控制为例进行了分析。作为研究的结果，得到了小车上摆的摆动的算法。垂直稳定算法是基于线性系统的采样控制在不确定采样下已知的采样间隔上界通过MATLAB Simulink仿真验证了算法的工作能力实验装置控制的程序块乐高Mindstorms NXT进行了说明。关键词：小车摆系统，速度梯度法，镇定，采样控制，乐高Mindstorms NXT1. 介绍机械振动的控制是力学和控制理论的经典课题。目前，摆系统的动力学研究和控制在理论研究的基础上，具有重要的现实意义。这种类似钟摆的系统之一是小车上的钟摆系统该系统具有复杂的非线性行为，主要用于控制教学。小车 - 摆 系 统 已 经 吸 引 了 许 多 研 究 者 的 注 意 （ 例 如Andrievsky 等 人 （ 1996 ） ; Chatterjee 等 人 （ 2002 ） ;Gawthrop等人（2004）; Mazenca等人（2005））。（ 2003 ） ; Shiriaev 等 人 （ 2001 ） ; Siuka et al.（2009））。本文的主要工作是提出了一种新的摆起控制算法，并在实验室模型上进行了验证。同时也得到了稳定采样控制中不确定采样本文的第一部分描述了基于速度梯度法Fradkov（1999，2003）和基于能量的目标函数的目标的方法，也涉及时滞问题的稳定。第二部分描述了车摆实验室的设置及其在教育和研究中的应用。2. 问题陈述考虑质量为m、长度为l、偏离角为θ（θ= 0，在最低位置）的摆在固定在小车上的轴上旋转（见图1）。①的人。质量为M的小车这项工作得到了RFBR（项目11-08-01218）和联邦目标计划Fig. 1.小车摆系统图二、偏差角θ和振幅θ在外力的作用下，在垂直于钟摆旋转轴的水平方向上运动uAndrievsky et al.（1996）; Gawthrop et al.（2004）.我们的目标是将钟摆摆动到振幅π=π，对应于能级H= 2mgl，稳定在上摆定位并稳定推车（即，达到国家s=0，sstec=0，其中s是推车运动）通过悬挂该力（见图2）。我们的目标可以分为两部分。首先，需要将摆锤摆动到所需的能量水平（H= 2mgl）并稳定推车，即。e.© 2012 IFAC 478 10.3182/20120619-3-RU-2024.000792012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会479−2ǁ ǁ≥F\。Σ.Σ2→∞−limsstec（t）=0，不lim（H（n（t），n（t），n（t），n（t））Ht→∞其中H是摆0）=0，（一）对于每个x∈Q，满足以下假设，其中Q={x：Q（x）≤Q0}：A1. LfQ（x）≤0。H=1m l2πst e c 2+m gl（1 cosπ）。（二）二那么就有可能将我们的系统线性化并使其稳定，I. e.limx（t）= [π，0， 0， 0]，（3）t→∞其中x（t）=[n（t），nst e c（t），s（t），sstec（t）]T。3. 预赛让我们考虑受控系统Fradkov（1999，2003）; Fradkovet al. （一九九九年）xstec=F（x，u），（4）其中x∈IRn，u∈IRm。设目标函数如下Q（x）=1h（x）2，（5）其中h：IRn→IRk是输出向量函数。要求制定反馈法u=U（x），（6）提供控制目标的实现lim Q（x（t，x0））= 0.（七）t→∞根据速度梯度法，需要计算函数ω（x，u）=Qstec（x），即ω（x，u）是Q沿系统（4）的轨迹变化的速度ω（x，u）=（QxQ（x，t））TF（x，u，t）。（8）求ω（x，u）的u -梯度A2. 如果LgQ（x）= 0，则L f h（x）= 0。A3.向量函数R（x，u）= F（x，u）−f（x）−g（x，u）满足估计<$R（x，u）<$≤ <$u<$2R（x），对于每个 u >0如果u u，其中R（x）0是某个连续函数。A4. 函数f（x），g（x），Lfh（x），Lgh（x），R（x）有界，如果x∈R.A5.对于每个ε >0集合ε=是有限个或可数个有界集的并，其中A=diag（Lgh（x）），如果u∈IR1.A6.如果Q（x）>0，则等式成立dimS（x）=k，其中S（x）是由矩阵Lgh，LfLgh，. 对于x∈φ，即S（x）= spanLgh，LfLgh，LLgh，. .定理1.设条件A1-A5满足，条件A6在任意位置都满足，但自由（不受控）系统xstec=F（x，0）的平衡点的数目可列. 那么对于几乎所有的初始条件 x0∈φ Fradkov（1999），系统（4），（10）中的目标（7）都能实现4. 小车-摆系统摆动的控制算法本文利用拉格朗日方程，得到小车-摆系统的数学模型（忽略小车上的摩擦力和摆反力）。联系我们gcosϕ¨=−sinϕ−u,∂ωQuω=u、（九）1升s¨=u。M（十三）把控制算法写成有限形式u= −γQuω（x，u），（10）其中γ >0是增益系数矩阵。表示x（t）=[x（t），x（t），s（t），s（t）]T，并将（13）改写为（12）xstec=f（x）+g（x）u，（14.2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会480→IR1在场f2的方向上：IR.其中f（x）=→IR2，-是的x，g（x）=F212）引入光滑向量场的导数Lff1：IRϕ˙L0科索Mlf21无无无无无无无−sinϕ−即公司简介MLf（x）= f（x）（十一）让我们考虑（4）的仿射逼近，几乎u= 0xstec=f（x）+g（x）u，（12）01使用（1）可以将目标函数写为哪里f（x）=F（x，0），g（x）=F（x，u）.1Q=2（H− H）2+ 1sstec2.2（十五）你好u=0让我们把（15）改写成形式（5），G阿克斯2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会481−h（x）=，L几乎对所有初始条件x0或轨迹是无限的。0。. .−L1Ml−∞ ≤s ≤+∞DKΣ0FGQ（x）= 1||h（x）||第二章，（十六）2简体中文其中h（x）=H（x） H斯泰克Lfh（x）= 0，Lf-Msteccos1M根据速度梯度法，给出了控制算法。（H-HRithm可以设计如下Q（x）=（H−H n）ml2因此，R（x）=0。u=−γ。（H−H）−mlsteccos−1sstectin，（17）sstectin其中γ >0。显然，如果x ∈ N，所有这些函数都是有界的.但无法证实，ε=ε\。x：。两块钱一个。εΣ5. 控制系统分析让我们检查所设计的控制系统（14）、（17）的特性∈是有限个或可数个有界集合的并集因此，条件A5仅对有界轨迹满足。让我们看看A6。写出线性子空间S（x）马 林姆山2Σ定理2. 要么 目标 （十六） 在 系统 (14)、 (17)是S（x）=−Msteccos辛辛Ml阿斯蒂克+gcos. . .你好，证据让我们检查条件A1-A6。LQ（x）=fTQ=stecmglsin−si n ml2stec=0所以A1是成立的。条件A2成立，因为h是系统（14）的不变量，即hLfh=dimS（x）= 2，在n中处处，可能除了a自由系的可数驻点数xstec=F（x，0）.定理1的应用结束了证明。6. 采样数据稳定化让我们在[π，0， 0，0]处线性化我们的系统公司简介=L=0。G1=（十八）0 0 01秒间隔0s¨=Mu在A3函数R（x，u）= 0中，因为系统（13）与其仿射近似（14）一致。让我们考虑集合Q ={x：Q（x）≤Q0}或−∞≤≤+∞重写如下xst e c （t）=Ax（t）+Bu（t）。（十九）假设控制信号是由一个零阶保持函数产生的，其保持时间序列为t00算法（17）是有效的。则稳定算法（21）开始，当||x − [π，0，0，0] ||<ε。在模拟时，使用了以下参数l = 1 m，m = 0。1 kg，M = 2 kg，g = 9。8 m/s2，π=π，H=2 mgl，γ = 5，K= [−21，−4. 04，0。001，0。02]。对于这样的参数系统，我们得到了3个16阶线性矩阵不等式系统，并且最大采样上界h等于0。十六岁可以看出，钟摆已经摆到π（见图）。3）和整个系统是稳定的（见图3）。4、5、6）。控制函数u的曲线如图7所示。图8、9确认目标（1）、（3）已实现。图五.推车位置图第六章CartSpeedsstecs见图7。控制u8. 小车-摆系统的实验模型在 本 节 中 ， Filippov 等 人 设 计 了 由 程 序 块 LEGOMindstormsNXT（2009年）。每一个机构都有其独特的结构和运行机制及测量系统的特点。与程序块NXT连接的两个伺服电机NXT使推车运动。摆锤从起始位置偏角的测量是摆锤测量的主要难点2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会484见图8。钟摆能量H见图9。目标函数Q见图10。小车摆系统及角度传感器在第一次设置（见图）。10）用乐高光传感器和纸板圆盘测量角度纸板盘上覆盖着不同密度的灰色渐变。这种方式是有吸引力的，因为没有来自传感器的摩擦。然而，测量误差相当大（大约7-8度）。在第二个设置（见图11）的测量是使用的传感器从乐高。由于齿轮（有微型开口），图十一岁小车摆系统及角度传感器的二次安装图12个。小车-摆系统的第三次建立沿着其边界线）并连接到读取开口的传感器。读数精度为3度。但齿轮是要和摆一起转动的，它阻碍了摆的运动。前两种系统中，为了得到摆的角速度值，对传感器读数进行数值微分。它增加了错误。在第三个设置（见图12）是使用陀螺仪传感器。它允许直接获得角速度但传感器导线的电阻是这种方式的主要问题即增加了摆锤的重量和运行机构的容量在第四种设置中（见图13），推车在轨道上移动。推车由两条绳索移动，绳索由伺服电机控制。控制算法是在MATLAB中进行的，通过使用包RWTHMindstorms NXT（亚琛路径）或nxtOsek。在第一种情况下（RWTH），有可能直接从计算机控制机器人微控制器。命令包被传送到2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会485图14.四个层次的设置在大学教育中的运用图十三.小车-摆系统在程序执行时，块NXT。在第二种情况下（nxtOsek），程序直接在微控制器板上执行。它可以避免数据传输过程中的延迟如何在教育中使用这些装置？在初始阶段，他们可以向学生演示不同的物理和数学定律。高年级和研究生评估所设计的系统的定量属性，并将它们与理论和数值结果进行比较。更正式地反映在图14中。实验室工作是最重要的层次之一。在非线性系统分析中，计算机建模通常结束了传统的实验室工作。然而，在拟议的实验室工作计划中，我们可以检查实验室设置中获得的这是非常重要的一步。拟议实验室工作计划问题说明算法计算机仿真实验工作目标陈述综合与分析利用实验室装置进行算法的实用分析9. 结论本文在速度梯度法的基础上，设计了一种小车-摆摆动的新算法。为了使系统稳定，采用了采样控制算法。该算法的有效性是通过其在MATLAB Simulink中的建模来证实的，并通过由程序块Lego Mindstorms NXT控制的实验模型来说明引用B. 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