新的Jarratt-Butterfly混合优化算法解决非线性系统问题的效率评估

ðÞðÞðÞ沙特国王大学学报一种新的鲁棒混合Jarratt-Butterfly优化算法Rami Sihwaila，Obadah Said Solaimanb，Khairul Akram Zainol Ariffinca安曼阿拉伯大学计算机科学信息学院网络安全系，约旦安曼11953b马来西亚雪兰莪州邦宜市马来西亚国民大学科学技术学院数学科学系，邮编：43600cCenter for Cyber Security，Faculty of Information Science Technology，Universiti Kebangsaan Malaysia，Bangi，Selangor 43600，Malaysia阿提奇莱因福奥文章历史记录：收到2022年2022年7月30日修订2022年8月2日接受2022年8月5日在线发布保留字：非线性系统Jarratt蝶形优化算法混合系统A B S T R A C T非线性方程组（NSE）是许多工程和科学模型的基础然而，这些模型必须有准确的解决方案才能成功。包括蝶形优化算法（BOA）在内的若干优化算法可以应用于求解NSE问题。然而，优化算法缺乏精确的解决方案，由于其局限性，包括陷入局部最优和发散问题。在这项工作中，一种新的混合方法，被称为Jarratt蝴蝶优化算法（JBOA），以解决NSE。建议的JBOA是结合Jarratt这两种方法的结合增强了BOA它还克服了Jarratt这导致以更精确的解和更少的迭代来求解NSE。JBOA的效率是基于八个基准系统进行评估的，其中两个代表了现实世界的应用。此外，JBOA与几种优化算法进行了比较，包括原始BOA算法，粒子群优化（PSO），HarrisHawk优化（HHO），平衡优化（EO）和蚁狮优化（ALO）。此外，JBOA和Jarratt的方法的性能进行了比较。最后，实验结果支持JBOA的优越性，因为它显着优于所有其他比较优化算法在所有基准系统的最佳解决方案，平均适应值，稳定性和收敛速度。©2022作者（S）。由爱思唯尔公司出版代表沙特国王大学这是一个开放的访问CC BY-NC-ND许可证下的文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍近年来，非线性方程组（NSE）的求解越来越受到人们的关注。大量NSE与各种应用科学和生命科学相关（Burden et al.，2016年）。然而，寻找NSE的解决方案并不总是直截了当的;例如，阿贝尔此外，在大多数情况下，非线性方程包含高阶和超越项，包括*通讯作者。电子邮件地址：r. aau.edu.jo（R. Sihwail）。指数、三角和对数项。因此，找到这些方程的精确解是困难的。一些研究人员专注于通过应用数值方法来寻找NSE的近似解在解决NSE中最流行的数值技术是迭代法;其中逐次逼近技术用于发现可接受的然而，研究人员认为通过迭代方案获得的解决方案的误差津贴，因为这些方法通常不会产生精确的解决方案。这种误差允许称为公差极限，可以通过将精确解与迭代方案产生的近似解进行比较来计算。牛顿它具有二阶收敛，可以表示为：fX沙特国王大学负责同行审查Xn=1/4Xn-nf0Xn其中f0Xn是f Xn的一阶导数，或者在多变量函数的情况下是f Xn牛顿https://doi.org/10.1016/j.jksuci.2022.08.0041319-1578/©2022作者。由爱思唯尔公司出版代表沙特国王大学这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。制作和主办：Elsevier可在ScienceDirect上获得目录列表沙特国王大学学报杂志首页：www.sciencedirect.comR. 锡瓦伊尔岛索莱曼和K. A.扎伊诺尔·阿里芬沙特国王大学学报8208提出了提高解的精度和增加收敛阶，包括（Said Solaiman等人，2021;Said Solaiman和Hashim，2021; 2020）以及其中的参考文献。首先，研究人员使用基于人口的方法（PBA）通过将它们转化为优化问题来找到NSE的解决方案。许多基于种群的算法已经被提出来解决各种优化问题。基于群体的方法算法的一个主要类别是基于动物的生活方式创建的算法，诸如蚁群优化（ACO）（Dorigo和Stützle，2004）、蚁狮优化（ALO）（Mirjalili，2015）、Aquila优化器（AO）（Abualigah等人，2021 c）、人工蜂群（ABC）（Karaboga，2005）、细菌觅食（BF）（Zhao和Wang，2016）、蝴蝶优化算法（BOA）（Arora和Singh，2019）、布谷鸟搜索算法（CSA）（Shehab等人， 2019）、猫群优化（CSO）（Chu等人，2006）、Dwarf mongoose优化算法（DMO）（Agushaka等人，2022）、埃博拉病毒优化搜索算法（EOSA）（Oyelade等人， 2022）、平衡优化（EO）（Faramarzi等人，2020）、萤火虫算法（FA）（Elsisy等人， 2020）、遗传算法（GA）（Holland，1992）、萤火虫群优化（GSO）（Marinaki和Marinakis，2016）、草蜢优化算法（GOA）（Saremi等人，2017）、Harris Hawks优化（HHO）（Heidari等人，2019）、磷虾群算法（KHA）（Bolaji等人，2016）、猴子算法（MA）（Zhou等人，2016），粒子群优化（PSO）（El-Shorbagy和Hassanien，2018），爬行动物搜索算法（RSA）（Abualigah例如，2022）、正弦余弦算法（SCA）（Elna-ga和El-Shorbagy，2020）和黏霉菌算法（SMA）（Li等人， 2020年）。另一类优化算法是包含基于基于物理方法或基于人类的方法的灵感而创建的算法的算法。最近，基于算术运算符在数学计算中的行为，Abualigah等人（Abualigah等人，2021 a）提出了一种新的Meta启发式优化算法，称为算术优化算法（AOA）。此外，作为优化问题的应用，Abualigah等人（Abualigah等人，2021b）对无人机互联网（IoD）及其应用、部署和集成进行了全面调查。作者关注的一个最关键的方面是IoD的集成，包括基于优化的方法。许多优化算法已经被用来解决NSE作为优化问题，包括GA，ABC，PSO，FA，CSA等。研究人员通过改进优化算法的性能来改进优化算法，以获得更精确的解。例如，Zhou和Li（Zhou和Li，2014）提出的CSA修改方案被认为是NSE的一种无害解决方案。Ariyaratne等人（Ariyaratne等人，2019）通过使根近似与连续性，微分和初始假设同时进行来修改FA。Ren等人提出了另一种修改（Ren等人，2013）通过使用具有和谐和对称的GA。 此外，Chang（Chang，2006）更新了GA以估计NSE的参数。最后，Angelo和Palmieri（此外 ，模 糊方 法解决 NSE 已被 应用 。例 如， Ghodousain 和Babalhavaeji（Ghodousian和Babalhavaeji，2018）研究了一个以模糊关系方程组为约束的非线性优化他们提出了一种合适的遗传算法，该算法在解决选定问题时克服了困难，包括保留新生成的解决方案的可行性，找到初始最小解，以及在开发新解决方案后检查可行性同样，Campanile et al. （Campanile等人， 2020）提出了一种基于模糊算法的初步分析，以实现电池供电的能量优化管理技术边缘计算IoT系统中基于对等任务迁移的IoT节点。此外，Ji等人（Ji等人，2020）通过Takagi-Sugeno模糊动态模型解决了离散时间不确定NSE的输出反馈滑模控制（SMC）问题。此外，Grosan和Abraham（Grosan and Abraham，2008）通过将其作为多目标优化问题来解决复杂系统同样，通过使用改进的PSO算法，Jaberipour et al.解决了NSE;修改的目标是克服基本PSO的缺点，例如收敛慢和陷入局部最小值（Jaberipour等人， 2011年）。然后，Mo和Liu（Mo等人， 2009）将共轭方向法（CDM）与PSO算法相结合来求解NSE。与其他技术相比，CDM提高了算法大多数以前的优化算法面临的主要缺点是在试图找到解决方案时陷入局部极小值。这意味着通过这些算法找到的解不是具有最小适应度函数值的解（Sihwail等人， 2021年）。为了得到更精确的NSE解，一些研究者将两种PBA结合起来。由组合产生的混合算法更可能继承两种原始算法的优点并减少它们的缺点（Sihwail等人，2019年）。混合PBA算法的一些示例是混合ABC（Jadon等人， 2017）、ABC和PSO的混合（Jia和He，2012）、混合FA（Aydilek，2018）、混合GA（Nasr等人，2015）、混合KHA（Abualigah等人，2017）、混合PSO（El-Shorbagy等人，2011年 ） ，以 及 许 多 其 他 的 （ Chen 等 人 ， 2017; Goel 和 Maini ，2018;Mariche lvam等人，2017;Skoullis等人，2017年;TuranogZurlu和Akkaya，2018年）。然而，尽管使用混合算法来提高NSE准确度具有优点，但局部最小值（过早收敛）在这种类型的算法中仍然是一个问题（Sihwail等人， 2021年）。在所有先前的研究中，优化算法已经被用于使用一种优化算法或结合两种优化算法的混合算法来求解NSE。很少有研究试图将优化算法与迭代方案相结合来求解NSE 。 Karr 等人 （ Karr 等人，1998）提出了一种将遗传算法与牛顿法相结合的混合方法来求解神经元系统工程问题.采用遗传算法确定有效的初始解，然后采用牛顿在一个混合算法提出了罗等。 （Luo等人， 2005）、遗传算法、Powell算法和牛顿法相结合求解NSE。 Luo等人（Luo等人，2008）然后提出将混沌与拟牛顿方法相结合来求解非线性系统。然而，以前的研究都集中在一种类型的问题或一个特定的问题，而不是试图分析非线性系统 。 最 近 ， Sihwail 等 人 提 出 了 一 种 称 为 NHHO 的 混 合 算 法（Sihwail等人， 2021），它结合了哈里斯霍克斯优化算法和牛顿的方法求解任意非线性方程组。此外，本地搜索中使用的机制对于实现出色的结果至关重要。它的搜索技术强烈地影响了算法找到最佳解和避免局部（不太精确）解的能力。然而，虽然搜索可能达到最优解，但不能保证，特别是当许多候选解在搜索空间中时。此外，在更少的迭代中解决NSE的算法是不可能的（El-Shorbagy和El-Refaey，2020）。如前所述，混合算法可以利用一种算法的优点并克服另一种算法的缺点。然而，尽管组合两种优化算法可以克服一些限制，但是由于原始算法中应用的机制，大多数混合算法仍然遭受过早收敛（Sihwail等人，2020年）。因此，选择可靠R. 锡瓦伊尔岛索莱曼和K. A.扎伊诺尔·阿里芬沙特国王大学学报8209---ð Þ¼¼¼···算法的组合在创建有效的混合算法中是关键的。作为这项研究的一部分，我们研究NSE问题，使用BOA优化器结合Jarratt的迭代方法，以克服优化算法面临的过早收敛的发病率。一方面，BOA已被用于各种应用中。例如，Aygül等人应用BOA计算部分阴影条件（PSC）下PV系统的最大功率点跟踪（Aygül等人，2019年）。Arora和Anand还使用BOA来创建学习自动机（Arora和Anand，2019a）。Li等人开发了BOA的更新版本，交叉熵技术（Li等人，2019年，开发和勘探。在随后的工作中，Arora和Anand提出了BOA作为二进制变体，并将其应用于解决特征选择问题（Arora和Anand，2019b）。Zhang等人还提供了一个用于特征选择的修订的二进制版本，关于新颖的初始化技术和修改的传递函数算子（Zhang等人， 2020年）。通过将香味系数以及增加局部和全局搜索，Fan等人试图改善该文件是根据以下内容组织的：国家的艺术Jarratt第4讨论了实验、基准系统和结果。JBOA和Jarratt方法的比较最后，在第6节中对本文进行了总结2. 现有技术2.1. 贾拉特为了得到更好的数值解，许多作者对牛顿法进行了改进的主要目的是提高收敛阶数，从而更快地获得所需的解决方案和更准确的结果。JarrattBOA性能（Fan等人， 2020年）。其他metabolistics算法已杂交8yn¼xnn12fxn3f0xnn：x ¼x- 我是说...3 f 0yn f 0x nfx n：到BOA（Sharma和Saha，2019）。然而，原始的BOA被用来解决一些现实世界的问题，由于其优点，如易于实现和简单。然而，像其他Meta启发式算法一样，BOA有时可能会卡在局部区域中，导致过早收敛问题（Zhang等人，2020年）。此外，BOA在应用于复杂或高维问题时有一些局限性（Saad和Id，2021）。另一方面，Jarratt与所有其他迭代格式一样，所选择的初始解必须足够接近F X的根，以保证收敛到系统的解。对初始点的不适当猜测会导致格式收敛缓慢甚至发散。毕竟，Jarratt因此，它只能执行狭窄的局部搜索（Jarratt，1966）。基 于 上 述 原 因 ， 提 出 了 求 解 非 线 性 方 程 组 的 混 合 BOA 算 法（JBOA），并将Jarratt方法应用于BOA中，作为局部搜索的辅助，以提高搜索机制。此外，BOA中的初始蝴蝶位置有助于更准确的初始解。因此，它提供了一种更有效的搜索机制。通过这种改进，我们在搜索区域内增强了算法的初始解Jarratt本研究旨在将Jarratt法作为一种辅助搜索方法，与BOA相结合，以提高非线性系统解的精度因此，本文的主要贡献可归纳如下：1) 本文提出了一种Jarratt蝶形优化算法（JBOA），它改进了BOA的搜索机制，并利用Jarratt迭代法加快了收敛速度2) 将所提出的JBOA算法应用于求解神经元系统熵，包括不同阶数的系统和两个实际系统。3) JBOA效率与几种优化算法进行了比较，包括原始BOA，PSO，HHO，ALO和EO的特定指标，如准确性，适应度值，稳定性和收敛性。Jarratt因此，对于每一次迭代，该方案近似收敛到四个有效数字，这使得该方法在求解NSE时更快值得注意的是，并非所有的迭代方法都可以用来求解非线性方程组。由于许多问题都是由NSE组成的，或者可以转化为这样一个系统，因此这种优势对于任何技术都是必不可少的。作为一个原因，Cordero等人（Cordero等人，2010）已经推广了原始Jarratt方法，使得其可以应用于求解NSE。此外，Kung和Traub（Kung和Traub，1974）推测，如果迭代法的收敛阶满足以下条件，则每次迭代需要m个函数求值的迭代法是最优的等于2m-1。 在每次迭代中，Jarratt的方法需要评估一个函数和两个导数，即f x n; f 0 x n和f 0y n。因此，Jarratt方法满足Kung-Traub 猜想，因为它的收敛阶等于23 - 14，因此它是最优的。此外，Jarratt的方法已经被广泛研究，并且已经提出了若干改进（Behl等人 ， 2019; Ren 等 人 ， 2009; Wang 等 人 ， 2008 年 ; Zhanlav 和Otgondorj，2021年）。JarrattJarratt方法的收敛阶的概念线性方程考虑fxcosx-x。这个方程的精确解是0： 739085133215。表1显示了方程的近似根如何通过每次迭代向精确解收敛。我们将初始解设为x01： 7。从上表可以清楚地看出，近似根在每次迭代收敛到确切的根比表1Jarratt迭代xifxi10： 741900660549654860···- 0： 004722 0： 739085133216633337···-2： 46 E-123 0： 739085133215160641···-1： 85 E-494 0： 739085133215160641···-5： 91 E-1985 0： 739085133215160641···-6： 14 E-7926f0yn- 2f0xnBOA，例如FPA（Wang等人，2020）和ABC（Toktas和Ustun，2020）。夏尔马和萨哈还提出了一个基于互惠的更新f0xnR. 锡瓦伊尔岛索莱曼和K. A.扎伊诺尔·阿里芬沙特国王大学学报8210¼我我¼我我上一次迭代中的近似根然而，与大多数迭代方法一样，Jarratt2.2. 蝶形优化算法世界上大约有18,000种不同种类的蝴蝶 蝴蝶依靠它们的感官生存了数百万年，包括嗅觉、味觉、触觉、视觉和听觉（Saccheri etal.，1998年）。它们利用自己的感官做很多事情，比如寻找食物、逃离危险、产卵和交配。在所有的感官中，蝴蝶最依赖它们的嗅觉来寻找食物;它们甚至用嗅觉在很远的地方寻找花蜜。但是，白蚁有一种感觉感受器，叫做化学感受器，分布在它们的身体表面，包括触角、触须和腿。图1显示了一些蝴蝶的照片。根据科学家此外，他们可以挑选出不同类型的香味，并感受到它们的强度（Wyatt，2003）。在BOA中，蝴蝶表示用于执行优化的搜索代理每只蝴蝶都会产生一种与其适应值相关的香味例如，当一只蝴蝶从一个地方飞到另一个地方时，它的适应值会相应地变化此外，每只蝴蝶的气味都能传播到很远的地方，其他的蝴蝶也能闻到它。换句话说，通过传播它们的气味，蝴蝶分享它们的信息，形成一个协作的知识网络。因此，蝴蝶可以感知不同蝴蝶的香味并改变它们的位置，向具有最佳香味（适应度）的蝴蝶移动然而，当蝴蝶感觉不到自由时，从周围的环境中，它开始随机运动，该阶段被称为BOA中的局部搜索在BOA中，每种香水都有特定的触感和香味。该函数将BOA与其他元启发式算法区分开来，并且其计算如下：f1cIa其中f表示香味的大小，其反映了其他蝴蝶感知香味的强烈程度，c表示香味感官形态，其用于区分气味（通常是全球性的）可以很容易地达到。相反，当为0时，特定蝴蝶产生的感觉不能被其他蝴蝶闻到。2.2.1. 蝴蝶运动BOA算法模仿蝴蝶寻找食物的动作来寻找最佳解。蝴蝶运动的主要特征1- 每只蝴蝶都散发出吸引其他蝴蝶的香味。2- 每一只蝴蝶都会随机地飞，或者飞向最好的蝴蝶，它在其他蝴蝶中散发出最多的香味3- 目标函数影响蝴蝶的刺激强度。像大多数元启发式算法一样，BOA由三个阶段组成：初始化阶段，迭代阶段和最终阶段。该算法在第一阶段定义目标函数和解空间。此外，BOA参数也有其指定的值。然后，该算法创建用于优化的蝴蝶的初始种群。在BOA模拟过程中，蝴蝶被赋予固定的内存大小来保存它们的信息，因为它们的数量保持不变。BOA的下一个阶段是迭代阶段。该算法经过几次迭代。在每次迭代中确定解空间中所有蝴蝶的适应度值。蝴蝶在其位置处使用等式（1）产生香味。该算法在两种类型的搜索机制之间切换;全局和局部。 在全局搜索中，蝴蝶向具有最佳适应值的蝴蝶移动，代表最佳解决方案。全局搜索的等式可以使用等式（2）来表示：xt1¼xtr2×gω-xt×fi;2其中xt表示第i个蝶形迭代t的解向量xi，而gω是当前迭代的最佳解firep-对第i只蝴蝶的香味感到不满，r是0到1之间的随机数。另一方面，局部搜索中的蝴蝶开始在它们的预期区域中随机移动，如下式（3）如下：xt1¼xtr2×xt-xt×fi;3i i j kI是刺激强度，a是幂指数，它解释了不同程度的波动，其中xt和xt分别是解中的第j个和第k个蝴蝶J K取决于形态。a和c的值在0和1之间。参数a的值取决于蝴蝶的香味。让我们假设a为1;这意味着所有蝴蝶发出的fra- grances都是相同的。因此，没有香味吸收，因为一只特定的蝴蝶的相同能力被其他蝴蝶同样地感觉到因此，一个单一的最佳空间因此，等式（3）执行局部随机游走。BOA基于概率值p（通常是0到1之间的值）在普通全局搜索和密集局部搜索之间切换。执行迭代阶段，直到满足其中一个终止标准。但是，这些标准是以几种方式设置的，例如计算CPU时间、超过某个Fig. 1. (a)蝴蝶(B)觅食(c)蝴蝶交配（）.资料来源：Arora和Anand，2019年bR. 锡瓦伊尔岛索莱曼和K. A.扎伊诺尔·阿里芬沙特国王大学学报8211迭代次数，或达到特定的错误率。在最后阶段选择计算最佳适应度的解决方案3. Jarratt-Butterfly优化算法BOA是一种鲁棒的优化算法，已成功地应用于各种应用.然而，正如没有免费的午餐（NFL）定理，没有算法是完美的解决所有问题（亚当等人，2019年）。此外，BOA可能会陷入局部最优或经验发散问题时，解决NSE。因此，在JBOA中结合BOA和Jarratt在BOA的每一步迭代中都应用了Jarratt首先，由BOA确定的最佳蝴蝶位置被视为候选位置。然后，候选位置被用作Jarratt方法的输入然后将候选位置馈送到Jarratt方法中，该方法在大多数情况下改进了蝶形位置。最后，将Jarratt拟议的JBOA的框架如图所示。二、Jarratt方法由于其高阶收敛性，可以在较少的迭代中产生更精确的解。相应地，改进了JBOA求解NSE的搜索机制。算法1给出了JBOA的伪码.算法1. Jarratt-蝴蝶优化算法 （JBOA）。JBOA在每次迭代结束时应用红色框中显示的修改根据拟合值，比较了Jarratt最后，选择测量最佳适应度的理想位置作为最优解。4. 数值试验将JBOA与几种著名的优化算法进行了比较，以测试所提出的方法的效率。使用包含各种类型的超越功能的NSE的不同维度进行比较。此外，两个现实生活中的应用程序被选中，以证明所提出的方法的能力。值得一提的是，这些基准是在许多研究中广泛使用的一般问题，包括（El-Shorbagy和El-Refaey，2020; Grosan和Abraham，2008; Ren等人 ， 2013; Said Solaiman 和 Hashim ， 2020; Sihwail 等 人 ， 2021;Wang和Li，2017）。用JBOA求解了这八个基准问题，并与BOA、HHO、PSO、ALO和EO算法的解进行了比较此外，为了确保公平的比较，优化算法的约束条件是平等设置的。例如，搜索代理的数量设置为20，迭代次数设置为100。每种优化算法运行30次后，在所有基准测试中选出最优解由于优化算法可能会产生多个解决方案，因此我们考虑了30次运行中每个算法此外，平均R. 锡瓦伊尔岛索莱曼和K. A.扎伊诺尔·阿里芬沙特国王大学学报82121/4f······················································ g¼ð································································ Þ->：e-x¼0：··· ··gtan-1。X-5000美元;xx1-1¼0;3X12122. x11-ex2¼0;的精确溶液到这问题是给定作为一手机：13918575555883401电话：023 - 29164169513268t.表2与其他表一样，显示了运行算法30次后的最佳解决方案基于结果，JBOA通过实现适应度值等于0的精确解而优于所有其他优化算法问题2. 让我们考虑另一个系统，它也由两个非线性方程：（2-ex1λn-1x2¼0;图二、拟议的联合委员会的框架每个算法的所有解的适应值也被认为是衡量算法此外，所有计算均使用MATLAB软件R2022a安装在Windows 10操作系统上。的这个系统的精确解是一手机：1290650391602电话：0531 - 86629035t. 根据表3中的结果，JBOA获得了拟合度值为零的精确解值得注意的是，JBOA和PSO具有相同的解决方案，如表3所示，但具有不同的适应度值。这是因为由于空间限制，表中的解决方案已四舍五入至小数点后13JBOA和PSO的解决方案之间的差异JBOA实现的解决方案是一个1/4比特1： 129065039160191···; 1： 930080862903468·· ·比特，而PSO解决方案是一个1/4比特1： 129065039160165···; 1：930080862903485·· ·比特。问题3. 考虑以下NSE作为第三个基准：8>cosλx2λ-sinλx1λ/40;FX3X2PC处理器是Intel i7 2.9 GHz，8 GB RAM。值得提到由于空间限制，表中的所有数字四舍五入到13问题1. 作为第一个基准，让我们考虑以下两个方程：表2比较问题1的不同算法x123该系统由三个方程组成，其精确解等于a/4 f0：90956949452004488381;0： 66122683227485173542; 1： 5758341439069990361t.表4显示，JBOA实现了5.0877E-16的适应度值，其性能明显优于所有其他算法。JBOAHHOPSOAloBoaEOX11.34019185755561.34015743196851.34019185790061.34019179485611.33217941539321.3401921514150X20.85023291641700.85022384130330.85023291648310.85023290718060.84660477799170.8502332054172健身03.0595E-053.5131E-106.9261E-085.3107E-033.9007E-07表3问题2的不同算法比较JBOAHHOPSOAloBoaEOX11.12906503916021.12852371030581.12906503916021.12906502064431.13394410542521.1290650454160X21.93008086290351.93053970237871.93008086290351.93008083222571.92938718052251.9300808554955健身01.8541E-038.8818E-161.6808E-071.7414E-022.5433E-08表4问题3的不同算法的比较JBOAHHOPSOAloBoaEOX10.90956949452001.14189148775550.92858703712980.91751360036880.77313381601130.9032094541503X20.66122683227490.51970405189280.64922043249870.65616370054450.74784725120060.6652397715069X31.57583414390701.76963068436431.59100407524051.58217557218821.46364189116381.5706757607086健身5.0877E-164.1802E-024.4014E-031.8648E-034.2749E-021.5589E-03F1-1000-1000单位时间内，F2双排阿克R. 锡瓦伊尔岛索莱曼和K. A.扎伊诺尔·阿里芬沙特国王大学学报8213>x······Þ<>200万H2.ðÞ¼我我;m-þ我1：：43 96>>>x9-0： 3450490- 0： 1961274x10x6x8¼ 0;8>þ>问题8.下一个实际应用是积分方程ð Þ¼þ50（c）Þ ð Þ问题4.让我们考虑由三个非线性方程组成的另一个系统：8>x2x3-e-x1¼0;最准确的解决方案，适应度值为5.21E-17。PSO的适应度值为7.8E-05。此外，我们可以通过比较来验证混合JBOA中所做的更改是否有效。将JBOA转换为原始BOA的适应度值，该值为1.62E-F4双排x1x3-e-x2¼0;：x1x2-e-3¼0：01.问题5和问题6中的NSE被认为是复杂系统。这个系统的精确解是1/4 π 0：351733711249···;电话：0517 - 33711249电话：0351733711249t.JBOA的结果最精确的解，适应度值为0，如表5所示。在适应度值和非适应度值之间JBOA和其他算法的性能。结果表明，由于局部搜索机制的有效性，JBOA可以更准确地求解NSE。问题5。第五个基准是以下六个非线性方程：x12x32-1 ¼0;x22x42-1¼ 0;Xx5x33x6x43¼0;tems.这些系统通常有许多解决方案。例如，表6包含对于每个优化算法具有不同适应度值的六个解决方案。优化算法在处理复杂的NSE时更容易陷入局部最优。相比之下，结果表明，建议的JBOA可以找到一个更准确的解决方案，在每次迭代，因为它利用两种搜索技术，BOA和Jarratt此外，JBOA甚至可以在[-10，10]这样的宽间隔内有效地工作，如问题5和6所证明的。然而，为了检查所提出的JBOA在实际问题上的性能，让我们考虑以下两个问题：边界值和积分方程。这类问题产生于许多应用科学，如物理学和工程学。问题7. 本研究的第一个实际F5系列>x5x13 10x6x231/4;价值问题：x5x1x32x6x2x20;：x5x3x12x6x4x22¼0;-10≤x1;x2;···;x6≤10：这个问题是具有多个精确解的系统的一个例子。表6显示了每个算法都获得了不同的解和适应值。根据结果，JBOA拥有最佳适应值为6.23E-13，其次是具有适应值的w00w3¼0;with边界条件w=0;第1页第1页：首先，我们将区间1/20;1]划分如下：x0¼0x1x2···xmxm=1¼ 1;xj=1¼xj=h;<<<<<其中，步长h^n11，n是系统的大小让对于i <$0; 1; 2;···为了解决这个问题，我们使用了...7.23E-09，而BOA以5.75E-02的适应度值排在最后问题6. 第六个基准是以下十个方程：8x-0 2542872 - 0 1832475 x x x ¼0白垩化 二阶中心差分近似衍生品使用。因此，我们有w 00 wi-1-2wiwi 1，i 1/4 1; 2;··· ; m。因此，我们得到以下n×n非线性系统：F7×1×2 ×1对于这个系统，考虑n 1/410。局部最优解（local optimal）可用于该系统。表8中的结果表明，JBOA>联系我们个x10-0：426511-0：2146654x4x8x1¼0;-10≤x1;x2;···;x10≤ 10：这个系统很难求解，因为它由10个方程和10个变量组成。对于给定的NSE，存在许多局部解决方案表7显示了JBOA的有效性，因为它明显优于所有其他比较优化算法。JBOA实现其中x2C½0;1]和p;q2½0;1]，Gp;q是由下式给出的核。G p;q<$1-p<$q;q≤p;1-q其次，我们利用高斯-勒让德求积公式将给定的积分方程转化为有限维问题。因此，我们写作。表5问题4的不同算法的比较JBOAHHOPSOAloBoaEOX10.35173371124920.32791745344220.35269083712190.35195369154660.34817985203580.3521745841109X20.35173371124920.36219188605880.35116566515010.35164424319220.35899651909430.3516524910532X30.35173371124920.36416246654240.35126780032260.35161099242280.35345871366310.3514765119891健身08.0167E-034.0093E-047.3295E-058.1629E-031.8095-04;R. 锡瓦伊尔岛索莱曼和K. A.扎伊诺尔·阿里芬沙特国王大学学报表682148885J问题5的不同算法的比较。JBOA HHO PSO ALO电话：+86-510-88888888传真：+86-510-88888888电话：+86-0510- 88888888传真：+86-0510 - 88888888电话：+86-0755 - 88888888传真：+86-0755-电话：+86-021 - 88888888传真：+86-021-x5-3.133344278E-17- 0.0024053061036- 6.445863559E-09 0.4401908091350- 0.0189551014643 3.644194429E-05x6-5.418842458E-16 0.0024052078821- 2.624923096E-09- 0.4401815862676- 0.0194388380815 3.206091892E-05适合度6.234442198E-13 1.508062584E-05 7.231760520E-09 3.163641846E-04 5.749539177E-025.385238912E-05表7问题6的不同算法的比较JBOAHHOPSOAloBoaEOX10.25783339370050.21206696588740.25782811094160.28553607657960.22830531967240.2597291625738X20.38109715460280.36104188761340.38116894215060.38704067407180.33582447409510.3806296463156X30.27874501734640.14299918143630.27875182832620.24952790519410.21091937920930.2859970637868X40.20066896422530.13730759021050.20066754852560.22377371695320.19060593146260.2012456062795X50.44525142484100.49417840462030.44524310979300.44849186185900.47585955844090.4437322394426X60.14918391996940.12899978428520.14917497698690.14708122245310.13673600790460.1497768391174X70.43200969898370.45686812181760.43198587901040.40673046414980.40163560847580.4305440493503X80.07340277777620.14156181092950.07339298151650.07076284368700.0