分离相对配置和全局变换的协作定位性能界（20字）

⃝可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirectICT Express 2（2016）14www.elsevier.com/locate/icte协作定位中相对配置和全局变换的性能界张平a，刘剑，陆健b，王乔b安徽工业大学计算机应用技术重点实验室b中国南京东南大学信息科学与工程学院接收日期：2015年10月30日;接收日期：2016年1月15日;接受日期：2016年2月5日2016年2月15日在线发布摘要协作定位引入节点间测量来提供节点的相对位置而不是绝对位置。本文将绝对位置分解为相对位形和全局变换，前者由节点间测量值确定，后者需要参考信息。该分解可用于研究仅使用节点间测量的相对定位和考虑锚点位置不确定性的绝对定位。在推导出坐标表示，误差度量和性能界限的全球转换后，我们评估的节点位置校准，使用的测量值在未知位置的来源的性能。2016年，韩国通信信息科学研究所。制作和托管由Elsevier B.V.这是一个开放获取的文章根据CC BY-NC-ND许可证（http：//creativecommons. org/licenses/by-nc-nd/4. 0/）。关键词：Cramer-Rao下界; Fisher信息矩阵; Procrustes坐标;时间差1. 介绍定位问题，如阵列定位或传感器网络定位，涉及一组标记的节点，其位置通常由其逐点绝对坐标表示。然而，在许多应用[1]中，只需要节点相对位置或网络（中心）位置和方向，这需要节点位置的其他表示。将节点位置分解为相对坐标和全局变换，将节点相对位置与网络位置和方向分离[2]。研究了相对构型的性质*通讯作者。电子邮件地址：pingzhang@ahpu.edu.cn（P. Zhang），lujian1980@seu.edu.cn（J. Lu），qiaowang@seu.edu.cn（Q.Wang）。同行评审由韩国通信信息科学研究所负责。本文是题为应用”客座编辑：Sunwoo Kim教授、Dong-Soo Han教授、Chansu Yu教授、Francesco Potorti博士、Seung-Hyun Kong教授和Shiho Kim教授。在[3]中，它包括它的坐标表示，误差度量，和性能界限。利用相对距离法解决了协同定位中的若干问题。本文进一步研究了全局变换，包括其坐标表示，误差度量和性能界限。性能界限由坐标表示的Cramer' 通过使用CRLB型的界限，我们评估的定位问题，使用的到达时间差（TDOA）测量在已知位置的源的性能。与现有的工作[4，5]相比，量化相对配置和全局变换的误差显着降低了分析的复杂性。本文件的其余部分安排如下。第2节介绍了相对配置和全局变换，包括它们的定义、坐标表示和误差度量。对于误差度量，第3节通过坐标表示的CRLB导出CRLB类型的界限。第4节给出了CRLB型界的一个应用.第五部分是对本文的总结。http://dx.doi.org/10.1016/j.icte.2016.02.0032405-9595/c2016韩国通信信息科学研究所。制作和托管由爱思唯尔B. V.这是一个开放获取的文章下，CC BY-NC-ND许可证（http：//creativecommons。org/licenses/by-nc-nd/4. 0/）。P. Zhang等人/ICT Express 2（2016）1415[详细]∥ˆ−∥ ∥−∥ˆ=∥ˆ− ∥∥ˆ − ∥T（r）∥−∥ˆT（s）ˆ ˆˆsi，y=−y12n0（sr−sr）（sr−sr）i=1i=1=[] ∈nnR2. 相对构形与全局变换2.1. 定义假设一个由n个节点组成的网络，节点的位置为si，si，x，si，yT，i 1，2，. . . ，n. 全局变换由同余/刚性变换定义T（si）= Γ 0∈si，xi+πxi，i = 1，2，. . . ，n （1）其中，r。是指示全局旋转/反射操作的2乘2正交矩阵，并且x和y分别指示在x和y方向上的平移参数。 相对配置被定义为对象不变量到同余/刚性变换（1），其形成关于全局变换的等价类。为了便于推导，我们将（1）以向量形式重写为T（s）=Γs+x1x+y1y（2）其中s=[sT，sT，. . .，sT]T∈R2n是位置向量，Fig. 1.相对误差和变换误差：相对误差是从位置向量s到具有相同的相对配置s的轨迹的最小平方距离。变换误差是位置向量s与其最接近s的全局变换之间的平方距离。通过坐标表示之间的平方距离，即，、srsr2和srsrs2。特别地，当参考r被设置在真实位置时，s、s r− sr2和rsr−s2可以简化为s s−s21 =[1 01 21]T∈n 2n，1=[0 10 1]T ∈R2n，和ss−s2。F或ss，我们有ve ss−s2≤ss−s2，x，，. . . ，，0Ry，，。. . 、、、坐标表示ss拥有最小的平方距离以及全旋转/反射矩阵Γ diag（Γ 0，Γ 0，. . . ，r 0）是其2乘2对角块是r0的2 n乘2 n块对角矩阵。2.2. 坐标表示给定参考向量r rT，rT，. . . ，rTTR2n，s的全局变换的坐标表示是通过部分Procrustes坐标定义的[6]rs=argmins−T（r）=Γr+x1x+y1y（3）其将由R指定的已知相对构型叠加到S上。在（3）中，Γ=diagΓ ， Γ ， ... ， 俄克拉荷马州（4）与参考R[3]的其他选择相比为方便起见，本文将变换误差1∈r，s s称为变换误差s2被命名为相对误差[2]，并且n，s s 2是指定位误差。在图1中可以找到Δt、Δr和Δ r之间的关系。1.一、3. 性能界限3.1. 用于坐标表示的命题1给出了相对构型坐标表示的CRLB命题1（相对构型坐标表示的CRLB [3]）。 假设sr是一个无偏估计0x0 0- Γ⋆µ（五）其中，sr和sr是相对构型及其估计，其中，r=VWT，WDVT是奇异值分解，1nETTTUr JrsUr中国（协方差矩阵Σr的奇异值分解（SVD），s=nΣi=1（ri−µr）（si−Σ iμs）T，以及平均向量μs= 1<$nsi，μr= 1<$nri。其中E [·]表示期望运算，J s是个渔夫的相对构型的坐标表示可以通过叠加s的相对构型而得到到参考R上，sr=arg minr−T（s）（6）其中，在[3]中给出了封闭形式的解。2.3. 误差度量设s是s的一个估计，sr和rs是相对构型和全局SR0≥Ur16P. Zhang等人/ICT Express 2（2016）14信息矩阵（矩阵）在s sr，和Ur是一个2n ×（ 2n3）一种矩阵，其列构成[1x，1y，vr]T的零空间的标准正交基，vr=[r1，y，−r1，x，r2，y，. . . ，−rn，x]T ∈ R2n.（八）命题2给出了全局变换的坐标表示的CRLB命题2（CRLB用于全局变换的坐标表示）。假设r是一个无偏估计，转换估计。相对误差的配置和全局转换可以被评估[1][2 ]中也使用了术语变换误差，它指的是Δ-Δr。P. Zhang等人/ICT Express 2（2016）1417ˆˆˆ=2个=- =[详细]- r）（rT−rT）VTJ−1VT12MuuRSSSSSuu−1J我JSSs哪里J我J1SsΛ不rs，其中rs和rs是全局变换及其估计的坐标表示，则EVRR（九）俄（rSsS≥V RR标称节点位置和TDOA测量确定节点位置向量s和源位置向量u=[uT，uT，. . .，uT]T∈R2 m为其中，Jrs是在s=rs处的向量，并且Vr是列正交子。l（s，u）= −1（r-d）TQ−1（r-d）− 1s−s2+c（14）[1x，1y，ur]的实现版本，其中2 2τ2u=det（r）01r∈R2 n.（十）其中测量向量r=[ri，j]i=2，3，.，n，j=1，2，...，m，r0−100ii= 1，2，.，n无噪声TD0 A向量d=[di，j]i=2，3，...，n，j=1，2，...，m的标称节点位置向量s=[sT，sT，. . . ，s<$T]T∈R2n，且证据可以在附录中找到。3.2. CRLB型界在s处设置引用r之后，1 2Nc是与s和u无关的常数。在取（14）的二阶导数的负期望后，我们得到u和s的导数[8]EE2l（u，s）相对误差和变换误差可以分别从命题1和命题2直接导出Ju，s =−E∂u∂uT200l（u，s）苏鲁塔苏鲁斯T200l（u，s）EssT命题3（CRLB类型相对误差界[3]）。什么...姿态s是s的无偏估计，其中s是坐标FTQ−1FuFTQ−1Fs在参考点处的相对配置估计的表示，如果r=s，则E[]≥trUTJ U−1（11）FTQ−1FuFTQ−1Fs+τ−2I2n因此，Js=τ −2I2n+<$Js（16）其中tr（·）表示跟踪操作。FTQ−1Fs−FTQ−1FuFTQ−1Fu−1FTQ−1F s.（十七）ror）。假设ss是s的无偏估计，其中ss是参考点r=s处的全局变换估计的坐标表示，则E[]≥trVTJV−1。（十二）注意，Js是可逆的，s的CRLB可以导出为Cs=J-s1。（十八）这里，Fu是一个（n-1）m × 2m矩阵，tsS SuT−sTuT−sT值得注意的是，当r s时，Us和Vs的列形成一个Rn的标准正交基4. 应用uj−siFs是一个（n−1）m × 2n矩阵，sT−uTsT−uT相对配置的CRL类型界限和应用全局变换误差来研究节点位置校准问题。−s1−uj，01× 2（i− 2），si−uj，01× 2（n−i）排成一行。（二十）在这个问题中，n个节点的标称位置由m个源的TDOA测量来校准，值得指出的是，V的列属于零空间因此，存在SVD已知位置。标称位置si=[si，x，si，y]T，J=U U- -（二十一）其中平均值si，i = 1，2，. . . ，n和协方差τ 2I2。的TDOA来自位于uj=[uj，x，uj，y]T处的源的测量，j= 1，2，. . . ，m，被建模为r i，j= di，j+ dai，j，i = 2，3，. . . ，n，j = 1，2，. . . 其中，d i，jsiujs1uj，噪声向量i，ji2，3，.，n，j1，2，...，m是具有零均值和协方差矩阵Q的高斯随机向量。由于测量值之间存在相关性，因此将协方差矩阵Q设置为具有（n-1） ×（n- 1）对角线的块对角矩阵s=（十五）提案4（CRLB型 约束 为 转换Er-01× 2（j−1），，01×2（m-j）（十九）i= 1，2，. . . ，n，遵循n个独立的高斯分布18P. Zhang等人/ICT Express 2（2016）142n−32Rt其中Λ是a（2 n3）-乘-（2 n3）对角矩阵，对角元素是特征向量由U列组成。根据（16）和（21），相对误差和变换误差的CRLB型界限可以表示为：c=tr τ−2I+Λ−1，c= 3τ2（22），分别使用命题3和4。CRLB类型界限cr指示网络关系σ2块体n−1 +1n−1 1Tn−1 [7]。可以通过使用TDOA来校准有效配置，P. Zhang等人/ICT Express 2（2016）1419=- −≥−(a)四个节点。（b）五个节点。图二、在不同的节点-源数目下，相对配置与测量方差σ2的CRLB型界表1节点源位置。（a）四个节点。（b）五个节点。图三.在不同的节点-源数目下，位置CRLB与测量方差σ2节点网络（见图2（a））和五节点网络的四个（见图2（b）），通过提高TDOA测量质量，可以将相对配置校准到任何期望的精度。这表明了相对构型精确标定的可能性图3显示了节点位置的校准性能。从图中可以看出，位置CRLB的迹线由全局变换的CRLB型界限下界，这可以通过在以下情况下提高TDOA测量质量来渐进地实现：已知地点的来源。特别地，当Λ为非奇异时，通过提高测量精度，可以准确地标定网络的相对结构。为了保证非奇异性，要求Js的秩为2n3，因此当不存在共线性时，对于全局变换，CRLB型界ct表明没有改进。最后给出了一个数值算例，给出了相对位形、全局变换和位置的标定结果。在该示例中，分别从表1中的前四个和前五个节点位置中选择节点位置，并且从表1中的六个源位置中连续选择源位置。标称节点位置的方差被设置为τ21。图2显示了相对配置的校准性能。通过对相对构型的CRLB型界的研究，可以发现相对构型的误差特别地，当节点-源数目满足（n-3）（m-2）≥ 3时，即，，至少五个四node–source number fulfills5. 结论将标记节点的位置分解为相对配置和全局变换为研究涉及未知量之间的测量的某些定位或校准问题提供了另一个视角。本文给出了全局变换的坐标表示、误差度量和性能界，完成了文[3]的工作我们希望文[3]和本文所提供的工具能够促进更多与标记节点位置相关问题的研究。致谢本研究得到国家科技重大专项2016 ZX 03001022 -002，国家自然科学基金61300170、61401086、61501005的部分资助，节点号我si， xsi， y来源编号Juj， xuj， y18.48726.652612.33383.611129.13164.501426.33469.861037.54800.351932.07167.570849.02723.889948.86334.722359.98129.444751.58918.109264.76511.162920P. Zhang等人/ICT Express 2（2016）140T==J=sJηsS俄.西STss安徽省教育委员会请注意，Vr是rs的列正交归一化版本，KZ00215071 号 基 金 、 安 徽 工 业 大 学 科 研 启 动 基 金2015cxy03。阑尾 命题2的证明给定参考r，全局变换的坐标表示可以被视为三个连续变量ηx，y，θT的向量函数，其中θ参数化Γ。使用重新参数化r s r s（η），我们得到η的π（9）证明。Q引用[1] 林俊，无线感测器与感测器网路于结构健康监测之研究，国立成功大学机械工程研究所硕士论文，（2006）。[2] J.N. A s h ，R.L. M o s e s ，关于相对和绝对定位误差在自定位系统中，IEEE Trans.Signal Process. 56（11）（2008）5668-5679。[3] P. Zhang，Q.用相对构型探讨铜-铜合金的力学性质Ativ elocalization，IEEE Trans. 信号处理。62（4）（2014）968[4] Y. 罗凯，P. Schultheiss，使用未知位置的源进行阵列形状校准-第一部分：远场源，IEEE Trans. SignalProcess。 35（3）（1987）286-299。[5] Y. 罗卡山口Schultheiss，使用非线性源进行阵列形状校准，阿尔·特R∂η阿尔布尔斯T（二十三）已知位置-第二部分：近场源和估计器的实现，IEEE信号处理。35（6）（1987）724[6] I.L. Dryden，K.V. Mardia，统计形状分析，Wiley，纽约，然后是rs1998.[7] K.C. 霍湖杨，关于使用校准发射器进行源定位E<$（rs<$−rs）（rT−rT）<$≥T.J.∂ηT∂η阿尔布尔斯-1rT∂ηT∂η（二十四）在传感器位置不确定性的存在下，IEEE Trans. 信号处理。 56（12）（2008）5758-5772。[8] K.C. 哦，X。卢湖，加-地Kovavisaruch，使用tdoa和fdoa的源代码本地化存在接收器定位误差时的测量：分析和其中，在（10）中，IEEE Trans.Signal Process. 55（2）（2007）684