量子通道的凸封闭特性及其在随机化量子位和删除隐藏信息中的应用

理论计算机科学电子笔记270（1）（2011）81-97www.elsevier.com/locate/entcs如何快速降血压马丁1高保证计算机系统中心（代码5540）海军研究实验室，华盛顿特区20375。摘要我们表明，一类重要的量子通道，自旋通道的凸封闭，可以用代数表示的经典通道，有四个输入和四个输出。该结果被用于开发一种实验上可实现的方案，用于随机地将量子位随机化，其制备基础未知。这种方案可以用来中断，但不一定根除，任何形式的基于量子信息的隐藏通信。它也可以用来删除嵌入在量子数据中的隐写信息。保留字：量子通道，自旋通道，经典通道，隐写术1引言对经典位进行随机IP的能力是一种具有许多用途的基本操作。例如，它可以用来中断不希望的通信[2]，或者删除隐藏在数据中的隐写信息[3]。这些都有助于确保系统的安全性随机加密经典比特的方案如下：给定一个比特，我们抛硬币，然后根据抛硬币的结果，要么加密这个比特，要么不加密。该方案消除了发送信息和接收信息之间的任何和所有相关性因此，不可能传输具有已被随机加密的比特在量子的情况下，中断通信更加困难。一个常见的误解是，人们可以通过应用运算符<$ε（ρ）= p · ρ +（1 − p）· σ x ρσ x（其中p = 1 / 2）的“比特抽取”来随机抽取量子比特。然而，如果|0 ⟩ ± |1个）/|1⟩)/2基础是用来表示信息，那么这有不考虑任何影响，因为ε（|±⟩⟨±|）=的|±⟩⟨±|. 状态随机地被ε压缩，当p =1/2 |0次|1美元。换句话说，如果我们知道用于表示的基，则p = 1/2的量子比特压缩仅具有我们想要的效果1电子邮件：keye. nrl.navy.mil1571-0661由Elsevier B. V.出版，CC BY-NC-ND许可下开放获取。doi：10.1016/j.entcs.2011.01.00882K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81u=0信息.当然，假设我们可以知道用来表示信息的基础是不现实的：有无限多的表示是可能的。例如，假设两方共享从QKD获得的私钥，然后他们使用该私钥在X ={|+，|（2）Z ={|0分，|1个碱基。由于每一位信息都有可能以X或Z为基础进行编码，因此当我们打算对其中的1/ 2进行压缩时，应用p= 1/ 2的ε只会导致1/4的位被压缩所以问题是：假设我们不知道用来表示信息的基础，我们如何随机地分配一个量子比特这可能吗如果可能的话，我们不仅仅是在寻找一个数学解决方案，比如某个能产生正确错误概率的算子。从根本上说，我们正试图确定一个简单而廉价的程序，可以很容易地在实验室进行。在本文中，我们表明，它是可能的随机随机IP量子比特。我们给出的程序是基于今天在实验室中常规进行的实验操作我们的解决之路也很有趣。我们解决这个问题的方法是通过建立一类经典信道和一类量子信道之间的同构这种同构的存在意味着我们可以把某些量子通道当作经典通道来推理。一旦我们意识到了这一点，随机IP量子比特的能力就是我们随机IP经典比特的能力的结果。此外，我们的表示定理所涵盖的这类量子信道包括目前用于描述噪声的大多数模型：比特调制、相位调制、比特相位调制、去极化和投影测量。因此，像这样的通道可以被认为是具有四个输入和四个输出的经典通道。这为代数结构在信息论中的重要性提供了额外的证据，无论是经典的还是量子的。2古典范式二进制通道有两个输入（“0”和“1”）和两个输出（“0”和“1”）。输入通过信道发送到接收器。由于信道中的噪声，到达的东西可能不一定是发送者想要的。噪声对输入数据的影响由噪声矩阵u建模。如果数据按照分布x通过通道发送，则输出分布为y=x·u。噪声矩阵u由下式给出：一个一个⎝b¯b⎠其中a = P（0 |0）是当发送0时接收0的概率，并且b = P（0 |1）是当1成立且x<$：=1 −x（x∈[0，1]）时，接收0的概率y。 因此，二进制信道的噪声矩阵可以由单位正方形[0，1] 2中的点（a，b）表示，并且单位正方形中的所有点表示某个二进制信道的噪声矩阵。K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81831/21/ 2⎛⎞我们从经典的情况开始，以获得一些关于随机比特随机抽取性质的直觉，这可能有助于我们在量子情况下。两方正在通信，通过一个信道发送经典比特，该信道的噪声矩阵对它们是未知的。出于几个很好的原因，假设它们将以相等的概率发送比特是合理的。这些原因包括：• 创建它们的数据传输是随机的（即，它只是噪声）的外观将有助于对那些可能寻求中断的人起到威慑作用（即，谁会在意噪音？• 假设矩阵是未知的，Majani-Rumsey的优秀结果表明，以相等的概率发送比特将使它们达到94%的容量。现在，当我们说中断时，我们谈论的是在各方之间插入具有噪声矩阵（a，b）的第二信道，其结果是引入一定的错误概率。 当数据按照（x，x′）传输时，出错的概率为xa′ +x′b。由于我们假设双方以相等的频率发送比特1 1 1 1e（a，b）=2·a<$+2·b=2−2（a-b）现在假设我们想引入错误概率p=e（a，b）。然后为了尽可能地中断通信，我们寻求最小化容量.a<$H（b）−<$bH（a）bH（a）−aH（b）<$C（a，b）=log22a−b+2a−b其中C（a，a）：= 0和H（x）= −xlog2（x）−（1−x）log2（1−x）是在导致错误概率等于p的通道集合S={（a，b）：e（a，b）=p}上的基2熵。因为S是凸的（是一条线），并且容量是噪声矩阵的凸函数，所以C假定其在S的中点（a，b）处的最小值。这样的中点（a，b）满足a+b= 1。也就是说，我们必须使用二进制对称信道，其容量为1−H（b）= 1−H（a）。让我们指出两个基本但重要的事实：(i) 在二进制通道类内，二进制对称通道恰好是增加熵的那些通道，即对于所有x，H（x·u）≥H（x），(ii) 在二进制对称信道类中，唯一的容量为零的信道是1/2 1/ 2因此，在假设所有输入都是同等可能的情况下，中断通信的最佳方式是将随机干扰注入通信线路：唯一的容量为零的熵增加信道，这对应于随机干扰经典信道。2请注意，错误的实际概率可能更大，因为我们只对我们引入的内容感兴趣，而忽略了环境的影响。84K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81比特.理想情况下，人们希望看到这些性质也反映在量子比特的情况下，因为每一个基的选择都定义了一个经典通道，正如我们将在下一节看到的那样。虽然乍一看似乎有点天真，但我们现在将注意力限制在量子比特上的熵增加3量子信道我们从基本的直觉开始，这些直觉帮助我们将量子比特通道与经典的二进制通道联系起来。令Δ2表示两个元素集合上的有限概率分布的集合Δ2：={（x，y）∈[0， 1]2：x+y= 1}二进制信道的噪声矩阵u定义了一个函数f：Δ2→ Δ2，由f（x）=x·u给出，它将输入分布x∈Δ2映射到输出分布f（x）∈Δ2。二进制通道对Δ2进行操作的事实表明，只有两个符号被发送，并且我们选择了一种特定且固定的方式来表示这两个符号。相比之下，在量子信道的情况下，有无限多的方式来表示比特：状态空间H2的每个基，一个二维复希尔伯特空间，或提供不同的可能让我们假设我们为经典比特'0'和'1'选择了一个特定的量子表示，用正交单位向量表示|0次|1升H2。在这样做的时候，我们含蓄地说，我们将使用量子系统来表示经典位。当系统处于状态时|0表示经典位“0”;处于状态时，|1位，它代表经典位“1”。这里有一个微妙但相关的警告。物理上，状态等于比如说，|0美元，i|0，−i|0 °，e iθ|在量子力学对处于这些状态中的任何一个的系统做出相同的预测的意义上，它们都是等价的。|0⟩are all equivalent in thesense that quantum mechanics makes the same predictions about a system inany one of these states. 然而，从数学上讲，我们知道我们不能到处写这样的东西，|0= −|在向量空间中，唯一的这样的元素是零向量，而零向量不是单位向量。解决这个难题的一种方法是说，一个由单位向量指定的“状态”，|在数学上由算子f：H2→H2表示，f（u）= 0|u·|ψ⟩运算符f将向量u作为输入，并将向量返回作为输出。|ψ⟩ multiplied by thecomplex number ⟨ψ|u∈，它是向量u和向量|好吧因此，算子f传统上表示为 f = |ψ⟩⟨ψ|.这样的算符被称为纯态，因为它指的是系统可以处于的状态;纯态是Δ2中e0=（1， 0）和e1=（0， 1）的量子类似物，后者我们认为是比特“0”和“1”的经典表示经典的二进制通道f：Δ2→ Δ2将输入分布变为输出分布。以类似的方式，量子位通道将输入分布映射到输出K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）8185ΣH分配。 但什么是分布的量子模拟呢？ 让我们回到经典案例。每个分布x∈Δ2可以写成x=x0·e0+x1·e1也就是说，作为经典“纯”态的凸和。这个表达式的意思是系统处于状态e0的概率为x0，处于状态e1的概率为x1。因此，如果一个量子系统处于|阿吉吉|对于概率xi，运算符给出了一种表示这种“分布”的自然方法，nρ=xi·|阿吉吉|i=1这样的算子称为密度算子。 密度算符也称为混合态。H2上所有密度算子的集合记为Ω2。 因此，与经典情况类似，量子比特通道将是以下形式的函数：ε：Ω2→ Ω2。具体来说，定义3.1量子比特通道是一个函数ε：Ω 2→ Ω 2，它是凸线性的，完全正的。说ε是凸线性意味着ε保持凸和，即形式为x·ρ+（1−x）·σ的和。[4]中定义的完全正性是一个条件，它确保量子比特通道的定义与关于联合系统的自然直觉兼容。对于我们的目的，没有必要迷失在希尔伯特空间公式的太多细节3.1酉性在经典二进制信道的情况下，二进制对称信道是熵增加信道：它们恰好是保持均匀分布f（1/ 2， 1/ 2）=（1/ 2， 1/ 2）的信道f。密度算子ρ的冯诺依曼熵由S（ρ）=−tr（ρlog（ρ））给出。以类似的方式，熵增加量子比特通道恰好是ε（I/2）=I/2的那些ε。这些通道被称为“单元”[4]。定义3.2量子比特通道ε是单位的，如果ε（I/2）= I/2。现在让我们考虑几个重要的单位信道的例子示例3.3单一通道。 如果U是上的酉算子，2，则ε（ρ）=U ρU<$是单位的，因为UU<$=I。例3.4投影测量。如果{P0，P1}是具有P0+P1=那我ε（ρ）=P0ρP0+P1ρP1是一个单位信道，因为P2=P0和P2=P1。0 186K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81⎛⎞Xyρ=πz2rx+iry 1−rz例3.5凸和与复合如果ε1和ε2是单位信道，则ε1<$ε2和p·ε1+（1 − p）·ε2是对p ∈ [0，1]的单位元。利用这三个例子，我们可以构造许多单位通道的例子例如，为了构造0 1它是酉的，用来定义一个酉通道εx。接下来，身份通道1 0εI（ρ）=ρ是有单位的，所以它们的凸和ε（ρ）=（1−p）εI（ρ）+p·εx（ρ）这是一个单一的渠道。以类似的方式，相位振荡、比特相位振荡、双泡利信道、相位阻尼（“退相干”）和去极化也被视为单位的。当然，并非所有的量子比特通道都是单位的，振幅阻尼是一个众所周知的例子。3.2单位信道每一个单位量子比特通道都可以用一个线性映射来表示，这个线性映射将三个空间中的单位球带入自身。使用这种表示，布洛赫表示，人们能够避免希尔伯特空间公式的许多复杂性，所以我们现在考虑它。二维状态空间上的密度算子与单位球B3 ={x∈R3：|X| ≤ 1}：每个密度算子ρ：H2→H2可以唯一地写为11 +rzrx−iry其中r=（rx，ry，rz）∈R3满足|R|=.r2+r2+r2≤1。向量r∈B3是称为与ρ相关的布洛赫向量。布洛赫向量有许多美学上令人愉悦的性质。如果ρ和σ是具有各自Bloch向量r和s的密度算子，则(i)ρ的本征值为（1 ± 0|R|（ii）ρ的vonNeumann熵为Sρ = H（（1 +））|R|）/2）= H（（1-|R|其中H：[0，1] → [0，1]是基2香农熵，（iii）如果ρ和σ是纯态且r + s = 0，则ρ和σ是正交的，从而形成状态空间的基;相反，与一对正交纯态相关联的Bloch向量形成球面上的对极点，（iv）混合态的凸和的Bloch向量是Bloch向量的凸和，(v)完全混合状态I/2的布洛赫矢量是0 =（0， 0， 0），并且（vi）tr（ρ·σ）=（1 +（r，s））/2，其中（r，s）是R3上的欧氏内积.定义3.6对于一个量子比特通道ε：Ω 2→ Ω 2，它在布洛赫球fε：B3 → B3上诱导的映射称为ε的布洛赫表示。K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）8187我如果ε是一个量子比特通道，fε是它的Bloch表示，则（i）ε是单位i <$fε（0）= 0，（ii）函数fε是凸线性的，（iii）量子通道的复合对应于Bloch表示的复合：对于通道ε1，ε2，wevefε1<$ε2=fε1<$fε2，（iv）量子通道的co nvex和对 应 于 Bloch 表 示 的 凸 和 ： 对 于 通 道 ε1 ， ε2 和 x ∈ [0 ， 1] ， 我 们 有fxε1+x<$ε2=xfε1+x<$fε2。为了说明这些性质如何使计算量子比特通道的布洛赫表示变得简单，让我们回到“比特压缩”ε（ρ）=（1− p）ε I（ρ）+ p · ε x（ρ）的例子εI的Bloch表示为fεI（r）=r。利用密度算符与Bloch向量的对应关系，直接计算出εx的Bloch表示为fεx（rx，ry，rz）=（rx，−ry，−rz）.因此，根据财产(iv)布洛赫表示法，fε（rx，ry，rz）=（1−p）（rx，ry，rz）+p（rx，−ry，−rz）=（rx，（1−2p）ry，（1− 2p）rz）如果我们设置p= 1/ 2，试图随机抽取量子比特，我们会看到（rx，0， 0）形式的状态不会被这种形式的噪声改变，这就解释了为什么现在让我们转向表示未知的情况3.3零在第2节中，我们看到，随机抽取经典比特相当于能够构建唯一的容量为零的熵增加通道，即1。具体地说，我们“构造”的方式现在，我们用这一观察结果作为指导，来解决更困难的问题，即如何随机分配一个量子比特。假设爱丽丝发送了一个用ρ表示的量子比特，ρ满足量子信道ε描述的噪声效应。Bob然后接收ε（ρ）并在某个基{|0分，|{1}。在这种情况下，测量算子是投影P0= |0⟩⟨0|P 1= |1⟩⟨1|因为P0 + P1 = I，所以形成一个完备集。因此，根据标准量子力学，Bob获得结果0的概率为：p0=tr（P0<$P0·ε（ρ））=tr（P0P0·ε（ρ））=tr（P0·ε（ρ））而Bob获得结果1的概率为p1=tr（P1<$P1·ε（ρ））=tr（P1P1·ε（ρ））=tr（P1·ε（ρ））我们记得投影满足P2=Pi。 现在投影P0和P1是密度算子，也有一个与之相关的布洛赫向量，分别由s和t给出。因此，如果r是ρ的Bloch向量，fε是ε的Bloch表示，则概率p0和p1可以简洁地写为p0=1+（s，f（r））2&p1= 1+（t，f（r））288K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81n此外，由于|0次|1 π构成了状态空间s + t = 0的基，这有助于我们看到p0+ p1=1。因此，选择任意两个密度算子作为输入，我们得到一个经典的二元信道。在Alice选择的两个密度算子形成状态空间的基础的特定情况下（可能与Bob测量的不同），我们得到的信道是二进制对称的，因此我们看到关闭所有通信将要求我们所有的概率都是1/ 2。也就是说，布洛赫表示fε必须为零，这意味着通道应该是ε（ρ）=I/ 2。从实验的角度来看，这些信息是无用的 换句话说，我们把零因子分解成一个非平凡的，实验上可实现的运算的乘积？令人惊讶的是，这个问题的答案可以通过研究经典通道的代数结构来找到。4经典信息论对于具有n个输入和n个输出的经典信道，噪声矩阵u具有n行和n列，每个条目是概率，并且与二进制信道一样，每行总和为1。因此，每个（n，n）经典通道诱导函数f：Δn→ Δn，由f（x）=x·u给出，其中Δn：=.x∈[0，1]n：i=1xi=1特别地，（n，n）信道矩阵是其所有条目都是1/n的矩阵，1/n. 1/n：=. ⎟1/n... 1/n它是唯一的熵增加（n，n）信道，容量为零。经典信道和量子信道都有一个共同的结构，我们可以用更抽象的方式来幺半群（M，·，1）是一个集合M，它具有一个结合二元运算·：M2→M使得1∈M是一个恒等式：x·1 = 1·x =x，对所有x∈M。 群（G，·，1）是一个幺半群（G，·，1），其中每个元素都有一个逆：（x∈G）（y∈G）xy=yx= 1。实数上的代数，也称为实代数，是实数上的向量空间（A，+，0），它也是幺半群（A，·，1），使得乘法·和加法+满足人们期望的性质。为了避免迷失在太多的数学定义中，让我们只给出我们感兴趣的实代数的主要例子：n×n实矩阵的代数Mn（R）K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81892⎠∈⎠⎝⎠⎝KK我们对这些数学结构感兴趣的是，它们可以用来识别经典和量子通道类别之间先前未知的相似性一个很好的起点的数学模型的（n，n）通道的噪声矩阵在有限凸和和复合下是封闭的，因此它们形成凸幺半群。这同样适用于双随机经典信道、单位量子比特信道、量子比特信道和一般的量子信道定义4.1对合群是幺半群（M，·，1），其中x2= 1，x ∈ M。请注意，对合群虽然只被定义为幺半群，但实际上是一个群，因为每个元素都是它自己的逆。此外，这样的群是交换的：由于（xy）（yx）= 1，我们看到yx必须是xy的逆，但由于xy是对合，xy=yx。根据群论中的标准结果（有限阿贝尔群的分类任何有限对合群G同构于Zn，其中n≥0，因此由它包含的元素的数量（它的顺序）确定（直到同构），它必须是2的幂。定理4.2（n，n）经典通道类包含n阶的对合群的一个副本i <$n= 2k，其中k ≥1.证据 如果k= 1，则对合群为G=01，1 01⎩⎝1 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎭这是阶为21的对合群。现在假设我们有对合群阶为2k的Gk定义Gk+1，将其元素以块的形式指定为G=0g：g∈Gg0：g∈Gk+1免费WiFi100克/小时其中0表示2k× 2k零矩阵。由于Gk包含2k个不同的元素，Gk+1包含2k+2k=2k+1个不同的元素。此外，Gk+1在乘法下是封闭的，这可以通过考虑存在的四种可能的乘积形式并回忆Gk在乘法下是封闭的来看出200万美元2019年01月01日布雷格 0⎞100g·0h时Gk+10GH200万美元10小时⎛0gh⎞100g·=GH0n∈Gk+190K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）811/ 21/2Σi=1i=1100 g 10小时布雷格 0⎞0.0000·=Gk+10GH100 g 2019年01月01日⎛0gh⎞⎝ ⎠· ⎝的g0n=n∈Gk+1GH0最后，在上面的第一个和第三个表达式中设h=g，并回忆Gk的每个元素都是对合，也表明Gk+1的每个元素都是对合。相反，假设（n，n）包含一个阶n的对合群的副本。然后根据群论中的标准结果（有限阿贝尔群的分类），n必须是2的幂，因为它是有限对合群的阶。Q（2n， 2n）中的对合群Gn具体地说，设G1={ Iip，I}，然后用Gn定义Gn+1={ IipIip：g∈Gn}<${IipIip：g∈Gn}。引理4.3设Gn={fi：1 ≤ i ≤ n}是（2 n，2 n）中的对合群. 然后fi2Nfi∈Gn=n ∈（2n， 2n）因此Gn的元素是独立的：对于任何两个概率分布，nx，y∈Δ2，2n2nxi·fi=证据 第一个性质的证明是通过归纳法。 对于G1，111/ 2 1/ 2 1 / 22·ip +2·I==∈（2，2）假设该性质对Gn成立，我们现在证明它对Gn+1成立。 我们有⎠∈0h时K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）8191.Σ.Σ- 是的ΣnΣ2n+1n2n+10g2n+1g0⎠=10+10我i=1i=1fi=fi∈Gn+1gi∈Gn我1100gi1条评论gi/2n001=2000n+2gi/2n02⎝0⊥⎠2⎝⊥0⎠=n ∈（2n+1， 2n+1）这个方程意味着Gn的元素是独立的。首先，fi∈Gn中的元素要么是0，要么是1。其次，如果某个f∈Gn在位置（i，j）上有1，那么Gn的所有其他成员在位置（i，j）上都有0Q定义4.4设M是实代数中的n阶有限幺半群其凸闭包是Mni=1xifi：x∈Δ&fi∈M因为M只有n个元素，任何超过n项的凸和总是可以通过增加概率重写为正好有n项。 类似地，小于n个元素的凸和可以通过相邻的零扩展为恰好具有n个元素的凸和。因此，mMm包含由M的元素构成的所有有限凸和，并且本身是一个凸集。接下来，如果我们固定M的元素的特定枚举，比如M ={f1，...，fn}，则任意两个元素x，y∈ M ∈M可以写成n nx=xifi& y=yifi这样做的原因是，我们可以重新排列项，因为加法是交换的（我们很快会更精确地说明这一点）。这是一个需要记住的有用技巧。例如，为了证明，我们简单地计算XY=ni=1xifini=1yifi=1≤ni，j≤nxiyjfifj=1.zkfk∈M<$其中zk=fifj =fk xixj。 注意，最右边的和fk的范围是整个M，因为某些fi= 1。因此，M是一个凸幺半群。根据引理4.3，则Gn的元素与Δ一一对应这意味着经典通道所具有的“普适性质”的存在：gi/2gi∈Gnn92K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）812.ΣΣnΣ.Σi=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1定理4.5设M是一个凸幺半群，它包含n阶对合群的一个副本，G表示（n，n）中的对合群。然后有一个从到M的函数，使得对于所有x，y∈和p∈ [0，1]，我们有• （xy）=• <$（px+（1−p）y）=p <$（x）+（1−p）<$（y）也就是说，存在凸线性同态<$：<$G <$→M。证据首先，设VM表示n阶对合群。然后因为我们知道G和V都同构于Zk，其中n=2k，所以存在同构θ：G→V。 定义：G→M通过. ΣnΣΣϕxifi=i=1i=1由于M是一个凸幺半群，所以由M赋值的值属于M。 然而，必须证明的是，k是一个定义良好的函数。 假设我们有一个元素 以两种不同的方式编写的n nxifi=对于每个fi，都有一个gj=fi. 这就定义了一个置换σ：{1，...，n} →{1，.，n}使得gσ（i）= fi. 利用加法的交换性无无无无无无无xifi=所以根据引理4.3，xi=yσ（i），对所有i。因此，在本发明中，nϕi=1xifi=i=1nxiθ（fi）=i=1nyσ（i）θ（gσ（i））=i=1yiθ（gi）=θni=1yigi其中第三个等式再次使用加法的交换性。这证明了，它的定义是正确的。设x，y∈G∈G是两个元素。 如前所述，我们可以写n nx=xifi& y=yifi为了证明λ是凸线性的，我们计算. ΣnΣ（px+（1−p）y）=i=1（pxi+（1−p）yi）fi=p（x）+（1−p）（y）nxi·θ（fi）K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）8193k=1⎛⎞I=⎛⎞=⎛⎞−=⎛⎞=我⎜⎟0⎝⎠2019年 10月10日⎝⎠⎜⎝0⎟⎠⎝⎠p∈[0， 1]。要知道，这是同态，n nn（xy）=nzkθ（fk）=nzkθ（fi）θ（fj）=n（x）n（y）其中xy=ni=1zkfk和zk=i=1fifj=fkxixj.Q最后一个结果的证明实际上表明，当G是任何形成中的独立集的对合群时成立。这一结果对通信的影响是非常深远的：任何时候，一个通道集合包含一个对合群的副本，我们都可以研究这个对合群的凸闭包，就好像它们是经典通道一样--即使这些通道实际上是量子的。现在让我们来看看这个想法令人惊讶的用处。5如何在量子信息理论泡利自旋算子是{I，σx，σy，σz}，由下式给出：1 0⎝0 1⎠0 1σxσy1 00i吉吉0⎠1 0σz0−1每一个都是自伴的和酉的，所以它们都是对合：σ2=I，对于所有i∈{x，y，z}。 每个自旋算符定义一个单位量子通道，由下式给出：εi（ρ）=σiρσi以下是这些通道的Bloch表示：定义5.1对合⎛1 0 0⎞⎛−1 00⎞⎛−100⎞sx：=rx（π）=−1000−1称为自旋通道。s：=r（π）=00−1sz：=rz（π）=−1 0 00 1sx，sy和sz是自旋算符{σx，σy，σz}对应的酉通道的Bloch表示的原因是e−iπσx/2= −iσx，e−iπσy/2=−iσy，e−iπσz/2= −iσz}，布洛赫表示不依赖于相位。另外，sxsy=sz，sysz=sx和sxsz=sy，使得{I，sx，sy，sz}是四阶对合群，通常称为克莱因四阶群。因为94K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81单位通道集U是一个凸幺半群，它包含Klein四个的副本K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）819542222定理4.5给出了一个凸线性同态：其中G表示（4，4）中的对合群。这种同态性现在将允许我们回答如何随机分配一个量子比特的问题。首先，通道<$∈（4，4）是幺半群<$G <$的代数零，所以e：=<$（<$）是<$G的像的代数零。因此，在本发明中，sx·e=esy·e=e如果我们称v=e（r），这意味着（vx，−vy，−vz）=（vx，vy，vz）（−vx，vy，−vz）=（vx，vy，vz）这意味着e是U中的零矩阵。因此，（）=0。现在我们定义x：=−1（sx），y：=−1（sy），z：=−1（sz）。通过Prop。4.3，所以我们可以得出结论11=4（I+x+y+z）10 =（）=4（（I）+（x）+（y）+（z））= 4（I + sx+ sy+ sz）。也就是说，量子比特的一种方法是在由I，sx，sy，sz表示的四种幺正演化类型之间随机选择。但我们可以说的不止这些因为{I，x，y，z}是4阶的对合群，我们必须有z=xy，所以我们也可以写为n= 1（I + x + y + z）=. I + x。I + y再次使用的事实，即，是一个凸线性同态，得出0= 0。I + sxxx。I + sy也就是说，我们可以在两个量子通道的乘积中非平凡地因子零。但是这两个通道描述的是什么物理过程呢6实验意义在最后一节中，我们得到了零的非平凡因式分解，并且没有做任何量子力学。事实上，我们所要做的就是处理（4，4）经典通道。从表面上看，这似96K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81乎非常令人鼓舞。但这K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）8197Σ这种方法留下了一种可能性，即我们所得到的解在实验上是无用的。现在让我们证明，情况显然不是这样的。引理6.1如果x是一个对合，那么它的平均值与恒等式是幂等的也就是说，f 2= f。f：=I+x2证据我们有f2=I·I+I·x+x·I+x·x4 4 4 4I x x I=+4 4 4 4I+x=2=f这就完成了证据。Q因此，两个通道f：=I+sx2&g：=I+sy2幂等元的乘积为f·g = 0。幂等量子通道的典型例子当然是投影测量，因为任何完整的投影集{Pi}都定义了幂等量子通道ε（ρ）=PiρPi我它描述了系统状态作为测量结果{Pi}演变的方式。 这种直觉使我们想知道幂等元f和g是否可以理解为射影测度。命题6.2通道f =（I + sx）/2是{|+，|− ε}基，而g =（I + sy）/2是{ε-ε}基中测量的Bloch表示。|0分，|1个基础。证据首先让我们回忆一下，密度算子ρ = |ψ⟩⟨ψ|与任何量子位相关联|ψ⟩ = a| 0人+b|1天⎛|一|2 ab11+ rzrx−iryρ=πa|B|2=2rx+iry 1−rz98K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81电子邮件：info@martina.com其中r=（rx，ry，rz）∈B3是与ρ相关联的Bloch向量。为了证明第一个陈述，对应于{|+，|基础是ε（ρ）=|公司简介|ρ|公司简介|+的|−⟩⟨−|ρ| −⟩⟨−|将ρ写成布洛赫向量（rx，ry，rz），并注意到，1/ 2 1/ 2|=|−⟩⟨−&| =|= ⎝⎠我们计算1/ 2 1/ 2ε（ρ）=1<$1rx<$X−1/2 1/ 2这意味着ε的Bloch表示将（rx，ry，rz）变为（rx，0， 0），即它是幂等元f。对于第二种情况，描述{|0分，|1分钟}基础是使用ε（ρ）= |0⟩⟨0|ρ|0⟩⟨0|+的|1⟩⟨1|ρ|1⟩⟨1|⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞|=|1⟩⟨1&|=|= ⎝⎠我们发现，0 0 0 1ε（ρ）=11+rz0201 −rz其中（rx，ry，rz）是与ρ相关联的布洛赫向量。 这意味着g（rx，ry，rz）=（0，0，rz）是{|0分，|1个基础。Q因此，我们已经得出了一个物理答案的问题答案是：首先在X基上测量系统，然后在Z基上测量，反之亦然。这些是今天实验室中经常使用的操作。例如，QKD（BB84）的实现需要它们。请注意，从安全的角度来看，这个答案与“随机选择一个自旋运算符”非常不同，因为我们必须然后面对如何随机选择自旋算子的问题。上面的结果-零可以作为测量的乘积-是非常不同的。随机性的问题完全留给了大自然。我们所要做的就是进行两次连续的测量，大自然免费提供了随机性：我们的行为完全是确定性的。这种因式分解是可能的，因为自旋算子的表示在乘法下是封闭的。对零的因式分解的另一种看法是，它相当于概率为1/ 2的比特迭代，随后是概率为1/ 2的相位迭代（或反之亦然）。K. Martin/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 270（1）（2011）81997一个数学的旁白同态<$：<$G<$<$→ U是它的像的同构，自旋通道的凸闭包。这是因为自旋算符在其凸闭包内也形成了一个独立的集合这意味着同构之间ΣGΣ、Im（Σ）和Δ4。因为Δ4在[ 2 ]的意义上形成了一个可以将代数信息论扩展到重要的信道类你好不幸的是，这种类型的通道也出现在空间域图像隐写术的分析中[3]。8总结本文对三个不同的领域做出了贡献：• 在量子安全中，它为我们提供了一种实验上可实现的随机加密量子比特的方法，该方法可用于中断通信方案或从量子数据中删除隐写消息，• 在信息论中，它表明量子信息中的一些问题可以通过只对经典信道进行推理来解决，• 在群论中，它表明对合群可以使用香农信息论中的信道来构造我们发现这三个领域之间的相互作用很吸引人。引用[1] E.E. Majani和H. Rumsey，Two results on binary-input discrete memoryless channels. IEEE信息理论国际研讨会论文集，104 -104页，1991年[2] K. Martin，I. S. Moskowitz和G. Allwein，二进制信道的代数信息理论。《理论计算机科学中的电子笔记》，第158卷，MFPS 2006，安全特别会议，第289 -306页，2006年。[3] 埃.莫斯科维茨，宾夕法尼亚州La Bagrada和F.艾哈迈德，LSB空间域隐写术和信道容量。 海军研究实验室备忘录报告，2008年。[4] M.尼尔森和我。量子计算与量子信息。剑桥大学出版社，2000年。[5] C. E.香农沟通的数学理论。Bell Systems Technical Journal 27，379