广义和改进的（G/G）-展开法应用于非线性偏微分方程的精确行波解构造

埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，390数学物理一种新的广义和改进的（G/G）-展开Hasibun Nahera，b，*， Farah Aini Abdullahba孟加拉国达卡1212 Mohakhali 66号BRAC大学数学和自然科学系b马来西亚国立大学数学科学学院，11800槟城，马来西亚接收日期：2013年9月7日;修订日期：2013年11月14日;接受日期：2013年2013年12月20日在线提供摘要本文对广义和改进的（G0/G）-展开法进行了新的推广，构造了更一般和更丰富的一类新的非线性发展方程的精确行波解。为了证明所提出的方法的新颖性和动机我们将其实现为Korteweg-de Vries（KdV）方程。新方法以计算机代数系统的易用性和性能为导向，对非线性方程组的求解过程提供了一种更系统、更方便的处理。此外，获得的解决方案公开了更广泛的适用性，用于处理各种各样的非线性偏微分方程。数学潜规则分类：35C07; 35C08; 35P99？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍非线性偏微分方程（PDE）被广泛地用作描述许多重要物理现象的模型.非线性偏微分方程的解析解在非线性科学与工程中有着重要的作用。为了更好地理解，以及在实践中的进一步应用，*通讯作者：马来西亚国立大学数学科学学院，11800 Penang，Malaysia。联系电话：+60 103934805。电子邮件地址：hasibun06tasauf@gmail.com（H. Naher）。同行评审由埃及数学学会负责因此，产生精确的行波解是很重要的在最近的过去，不同的科学家提出了各种方法来构建解析和数值解。如Hirota 双 线 性 变 换 法 [1] 、 截 断 Painleve 展 开 法 [2] 、Backlund变换法[3]、Weirstrass椭圆函数法[4]、逆散射法[5]、双曲正切最近，Wang等人[22]提出了一种构造非线性发展方程行波解的强有力的方法，称为（G0/G）-展开法在这种方法中，他们实现了二阶线性常微分方程（ODE）1110- 256 X？ 2013制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.11.008制作和主办：Elsevier关键词一种新的广义和改进的（G0/G）-展开法非线性常微分方程;KdV方程;行波解求解非线性发展方程的一种新的广义和改进的G/G-展开方法391GG----2W2Wi¼0i--MX2W2W和t乘以一个复变量n2WnX2WnX联系我们eling波解形式为unuPaG=G，其中2Wn. -你好。 Σ¼ þG00+kG0+lG=0，其中k和l是任意常数. 随后，许多科学家应用（G/G）展开法研究了各种非线性弹性体，得到了行波解N联系我们g¼- NNeðdþHÞgþg¼1fdH-g; 4可以找到答案[23为了表达（G0/G）-扩展方法的适用性和有效性，不同的研究小组已经完成了进一步的例如，Zhang等人[28]引入了改进的（G0/G）-扩展方法来建立许多行波解。见参考文件[22]，Wang et al.表示“前其中e-N或eN或fN可以是零，但这些e-N，eN并且f N不能一 次 为零，例如g（g = 0，±1，±2，. 、± N），f g（g= 1，2，.. . ，N）和d是稍后确定的任意常数，并且H（n）是HnG0=G;5sentedunpm aG0=Gi，其中an0作为移动波解[28]张晓刚说，m0ii¼- mia-m或am可以为零，但a-m和am不能同时为零，同时还研究与讨论继Zhang等人[28]之后，许多研究者采用改进的（G0/G）方法来构造几种非线性偏微分方程的行波解[29最近，Akbar et al. [33]介绍了一种得到三个非线性方程许多新解的强有力的方法，称为广义和改进的（G0/G）-展开法。在这种方法中，他们还使用了二阶线性常微分方程作为辅助方程，并提出了一种新的求解方法。解的形式为：um en，其中，n¼-mdG0=Ge-m或em可以为零，但e-m和em不能都为零微分方程（ODE）[35]：AGG00-BGG0-CG02-EG2¼0;6其中素数表示关于n和A的导数，B、C、E是实参数。步骤4. 为了确定正整数N，采取最高阶非线性项和出现在等式中的最高阶导数之间的齐次平衡。（三）、步骤5. 替换Eqs。（4）和（6），包括Eq。（5）进入Eq。（3）利用步骤4中得到的N的值，我们得到多项式在（d+H）N（N= 0，±1，±2，. . ）和（d + H）-N（N = 1，2，3，.. . ）.然后，我们收集每个系数，同步之后，Naher等人[34]研究了高维非线性方程，通过这种方法构造新的行波解。本文工作的重要性在于，为了产生许多新的、更一般的精确行波解，对广义和改进的（G0/G）-展开法进行了新的推广为了说明和显示所提出的方法的优点，KdV方程已被研究，并构造了丰富的一类新的行波解。2. 一种新的广义和改进的（G0/G）-展开法的描述让我们考虑一般的非线性PDE：Su;ut;ux;utt;uxtux;...0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000其中u=u（x，t）是未知函数，S是多项式，将结果多项式的系数归零，得到一组对于 e g（g= 0，±1，±2，. ，±N），f g（g = 1，2，. ，N），d和V.步骤6. 假设常数g的值（g = 0，±1，±2，. . ，± N），f g（g = 1，2，. ，N），d和V可以通过求解在步骤5中获得的代数方程来得到由于Eq的一般解（6）是我们熟知的，将e g的值（g= 0，±1，±2，. . ，± N），f g（g= 1，2，. ，N），d和V到EQ。（4）得到了非线性偏微分方程的更一般的形式和新的精确行波解。（一）.根据Naher和Abdullah[35]，我 们 有 以 下 方 程 的 解 。 （ 5 ） 使 用 Eq. 的 一 般 解 。（六）：家庭1. 当Bn 0，W =AC且X = B2+ 4E（AC）> 0时，. G0u（x，t）及其偏导数，其中最高阶的部分涉及到导数和非线性项公司简介BpppppXnC2cosh.pXnC1双曲杆步骤1. 我们假设实变量x的组合1/2W1/ 2W.pX.pXΣð7Þux;tun;nxVt;2其中V是行波的速度现在使用Eq。家庭2. 当Bn 0，W =AC且X = B2+ 4E（AC）<0时，（2），方程。（1）转化为常微分方程u= u（n）：.G0Bp-X-C1sin.p-XnCO2CO2.p-XnQu; u0; u0 0; u00 0;. . . 0.25;0.35其中上标表示关于n的普通导数。公司简介1/2W1/ 2WC1cos .p-XC2sinp2Wnð8Þ步骤2. 根据可能性，Eq。（3）可以逐项积分一次或多次，得到整数的常数谢谢为了简单起见，积分常数可以是零家庭3. 当Bn = 0时，W =AC，X = B2+ 4E（AC）=0，步骤3. 假设方程组的行波解为（3）可以表示为：HnG0B C2G2WC1C2nð9Þ其中G=G（n）满足以下非线性常C2sinh392H. Naher，F.A. 阿卜杜拉¼-2222-022222¼-的g0DC1sinhWnWn22222221-224个;GW242222 2 2 2家庭4. 当B = 0时，W = A-C，D = WE> 0，其中P1=e0A（e0A+2dBb）+8de0AW（3d（B+dW）-我是HanΣ¼pffiffi ffiffi.pD.pDWn.pD.pD10Wn2E）P2¼48ddW3d2WBdAC-4EBdW 3dAC;P3¼2d22d2AC288ACd2-1 - 25dB WWWW12W12B2dB-1家庭5. B = 0，W = A-C和D = WE <0，B.W.2.E.7.D.B.W.2.E.7.D.B.W.2.E.7.D.B.W.2.D.B.W.2.E.7.D.B.W.2.D.B.W.2.E.7.D.B.W.2.D.B.W.2.D.B.W.2.D.B.W.2.D.B.W.B.W.2.D.B.W.B.W.2.D.B.W.B.W.B.W.2.D.B.W.B.W.B.W.B.W.B.W.B.W.B.W.B.W.B.B.B.W.B.B.B.W.B.B.B.W.B.B.B.W.B.B.B.W.B.B.B.B.W.B.B.B.B.B.B.B.B.B.B..0Σp-Csin.pCcos. p-W= A-C，e0，f1，f2，A，B，C，E为自由参数.GD最大功率1W-D.p-D2W-D.p-DΣð11Þ案例二：C1cos3. 作为方法WnC2sinW ne-2¼-12dkwWdkw2kwdB-EdB-E一个2-f2;e0<$e0;e1<$0;e2<$0;12分贝dW2d2W3dB- 2EBdB-E在本节中，我们应用所提出的方法来研究KdVe-1¼2 2A2-f1;d¼d;方程VAe0dBd4dW 3dBdW- 2E;一个23.1. KdV方程让我们考虑KdV方程KP1-P2-P3;2A4ð17Þuuudu¼0：1212其中P1=e0A2（e0A2+2dB2）+8de0A2W（3d（B+dW）-xxx xxx现在，我们使用波变换n = xVt进入方程。（12），其产生：2E）P¼48d2dW23d22W B d A C2 -4EBdW 3dAC;0 0 000P3¼2d22d2AC288ACd2-1 - 25dB WWWW12W12B2dB-1-Vuuudu¼0：113当量（13）是可积的，因此，对n积分一旦产生：B.W.2.E.7.D.B.W.2.E.7.D.B.W.2.E.7.D.B.W.2.D.B.W.2.E.7.D.B.W.2.D.B.W.2.E.7.D.B.W.2.D.B.W.2.D.B.W.2.D.B.W.2.D.B.W.B.W.2.D.B.W.B.W.2.D.B.W.B.W.B.W.2.D.B.W.B.W.B.W.B.W.B.W.B.W.B.W.B.W.B.B.B.W.B.B.B.W.B.B.B.W.B.B.B.W.B.B.B.W.B.B.B.B.W.B.B.B.B.B.B.B.B.B.B.W=AC，e0，f1，f2，A，B，C和E是自由参数.案例三：K-Vu1u2du00¼0;14242e1/4-3d8d 2DBB-f;e¼-f;ee;e1/4;其中K是待确定的积分常数在方程中取u2和u00之间的齐次平衡-2-12毫瓦4A2W2-B2-1个10 01（14），我们得到N=2。因此，Eq.（14）形式：2e2¼K¼A2;d¼2W;A4e2-4d 4DA2e0 6d 2DB2B2A2e0 3dB22Aue0e1dHe2dHe-1A/D0-2dB/D- 8dfA2;其中e得双曲余切值.e e e ff d是常数，ð18Þ-2-1测定0 1 212其中W=A-C，D=WE，e0，f1，f2，A，B，C和E是自由的替换Eq。（15）与Eqs。（5）和（6）的方程。在等式（14）中，左手侧被转换为（d+H）N（N=0，±1，±2，.. . ）和（d+H）-N（N=1，2，三... . ）.我们收集这些结果多项式的每个系数，参数案例四：e¼-3d8d2DBB-f;e2¼-f;ee;e1/4;als为零，产生一组联立代数方程组-4A2W22-1个(for简单性，未给出），得双曲余切值.，e，e，e<$0;d<$4-B;-2-1 0 122We2，f1，f2，d，K和V. 解这些代数方程，A4e2-4 d4dA2e6d3dB;借助代数软件Maple，得到了如下结果。K¼020 02A42案例一：e-21/4- f2; e-1 1/4- f1; e0 1/4 e0; e1/412dW_2B=2dW_2B;一个2V_（50）A_e0-2dB_（50）- 8dD;一个2ð19Þ¼2C2双曲拐C1双曲杆C2sinhV¼求解非线性发展方程的一种新的广义和改进的G/G-展开方法393222¼¼二、e2¼-12dW;一个2其中W =AC，D = WE，e0，f1，f2，A，B，C和E是自由参数。V¼A e0dB4d W3dWB-2E一ð16Þ对于情况1，替换Eq. （16）在Eq. （15）与Eq。（7）简化后，得到下列行波解：d d;KP1→P2→P3;2A4（如果C1=0但C2n0;C2=0但C1n0）分别：求解非线性发展方程的一种新的广义和改进的G/G-展开方法393一个一个式中，n1/2AedBd22u123 4 56 7 8 910 1112 1314 1516 17X2W相同的条件可以应用于溶液U36和U37，此外，已执行上述条件，u31针针0-A2针2Wnþðe-2þf2ÞXtanh2Wn3一个2一个42-W一个3一个2WX2W4.02！！52C1→C2n一个-222C1→C2n50C α-C2n2WWcothWn-222WWW72W一个WWu16小时e0小时12天DWDcoth2DWþðe-2 þf2 Þ2WWtanh7Wn08我--22我-u39星期六e0-2W-W 谭我-80其中n ^x-0t。112W2W2W22W2W2W212W2W2W-22W2W2W312W2W2W-222W2W2W412W2W2W-222W2W2W62WW2Σ22u11ne03d. .B2-Xcot h2.pXn4dWBdW;如果C1=0但C2n0;C2=0但C1n0，一个2..22W二、p第一个两个解，同样是u33的条件还有u34，替换Eq. （16）在Eq. （15）与Eq。（8）及sim-溶液u38和u39）分别：简化后，我们的精确解变为（如果C1C2= 0但C1n 0）分别为：=0但C2n0;3dX二、pX4W2二、pXu1未成年人203d..B2-XCO t2.p-Xn4dWBdW;u3e-3dXtan h2。pXn4e-2f2W2coth2.pXn;u1未成年人1933d. .B2Xta n2.pXn4dWBdW;u3e2.1.3dXco t2.p-Xn-4e-2f2W2ta n2.p-Xn;u3e2.3dXta n2.p-Xn-4e-2f2W2co t2.p-α-β-Xβ-nβ-;一个2WX2W简化后，我们得到的解变为：u3e-12 dW2.CΣ2þ ðe你好C-2;3du1n eB2-2WC2144dWyndhamBdWyndham;12dW2.-BpD.pDΣΣ2阿吉耶你好-B.P.D.pDn-2;简化，我们得到以下行波解（如果C= 0但C1，0）分别为：2= 0但C2n 0;C1u3e-12dW2.-Bpdtanh.pDn2.你好。一个. pnp-. pn;.-BpD.pD电子邮件;u1ne 1 2d.dWBdWpD。Bta nh.2.第二次世界大战pDn;u3e-12dW2.-BpDcot. p2一个2WW阿吉耶你好-Bp-Bdcot.pD-2;简化后，我们得到的精确解变为（如果C1=0但C2n0;C2= 0但C1n0）：12dW2.-Bp-D.pDΣΣ2nu1ne 1 2d.dWBdWpD。iBcot t.2.p-Dn;12D一W-D2W-De你好-B-P-PpD-2;u19e0.dWBdW-pD。[咒语]你好，你好。p;Ae-2dB2 20一个2类似地，对于情况2，替换Eq.（17）在Eq.（十五）、与Eqs。（7）-（ 1 1 ） 并 且 简 化 ， 我 们 的 行 波 解 分别 变 为 （ 如 果 C 1=0 但 C 2n 0 ;C 2= 0 但 C 1n 0 ， 对 于 前 两 个 解 ， 这 些 条 件 同 样 适 用 于 u 23 和 u24 ， 同 样 的 条 件 也 可 以 适 用 于 解 u26和 u 2 7 ， 此 外 ， 上 述 条 件 被 实 现 到 解 u 2 8 和u 2 9 ） ：类似地，对于情况4，替换Eq.（19）在Eq.（15）与Eqs。（7）-（11）并且简化，我们的解分别变为（如果C1 = 0但C2 n 0; C2 = 0但C1 n 0，对于前两个解，并且相同的条件应用于u 4 3和u 4 4，这些条件再次应用于解u 4 6和u 4 7，此外，上述条件应用于解u4 8和u 4 9）：u2e阿吉耶你好dBpXcoth。pXn-1e你好dBpXcoth。p<$X<$n<$N-2;u2e阿吉耶你好dBpXtanh.pXn-1e你好dBpXtanh.p<$X<$n<$N-2;u2e阿吉耶你好dBp-Xcot.p-X-1e你好dBp-Xcot.pXn-2;u2e阿吉耶你好dB-p-X。p-X-1e你好dB-p-X。pXn-2;u2nee你好dB C歼-1战斗机你好dB C歼-2;5 0-1 12WC1C2n-222WC1C2nu2e阿吉耶你好你好，迪普，迪普科思。pDn-1e你好你好，迪普，迪普科思。pDn-2;nB -Xtanh1944年，;;02W02WX2W00替换Eq.（16）在Eq.（15）与Eq。（9）和00一个2u36个字母e0-一个替换Eq.（16）在Eq.（15）与Eq。（10）和0dWyndhamBWyndhamDBcoth一个WW0替换Eq.（16）在Eq.（15）与Eq。（11）和2WW一个一个WW电子邮件2W2W我-0-1-20-10-10-10394H. Naher，F.A. 阿卜杜拉21WW71WW-2WW81WW2W我-91WW2WWu2e阿吉耶你好你好，我是丹丹。pDn-1e你好你好，我是丹丹。pDn-2;u2e阿吉耶你好你好，我是说...p-Dn-1e你好我是说，我是说...pD-2;u2e阿吉耶你好d-p--.p-Dn-1e你好d-p.p-α-D-β-D-β-D-D -β-D-D-β-D-D-β-D-D-β-D-D-β-D-D-β-D-D-2 2式中，n1/4x-ΔA e0Δ dBΔ d4 Δ d 3Δd Δd BΔ d-2EΔ t。类似地，对于情况3，替换Eq. （18）在Eq.（15）与Eqs。（7）-一个-1-20-10-1-20-1-2求解非线性发展方程的一种新的广义和改进的G/G-展开方法3951-0一个2x2W一个2x2W30一个2x2X2WBsinhD=Wn-2D coshD=WnBcoshD=Wn-2D sinhD=WnB sin-D=Wn-2 -D cos-D=WnB cos π-D=Wπnπ-2 -D sin-D=Wnn¼-mdG0=Gn-mM3天 8天 2天B2天B4天在此，我们衷心感谢各位裁判，22u4ne-3d8D2DB2B4 h2.p<$X<$n<$;我们将其应用于KdV方程。此外，一个丰富的类的解决方案-由双曲函数、三角函数、u4ne-3d8D2DB2B4cot h2.pXn;你是我的朋友。pn;40功能和合理的形式已经产生。更多-此外，这项研究表明，所提出的方法也可以适用于处理高维，高阶u4ne3d8D2DB2B4c t2.pXn;变系数非线性发展方程u 4小时e-3天8小时2小时B2小时B4小时。C-2;5 04A2W224A2W22C1→C2n四、2WsinhpD=Wn102致谢u46星期六e0-3星期六 8星期六 2星期六B星期六B星期六ppp=0;24.2WcoshpD=Wn2、提出宝贵意见和建议。u47星期日e0-3星期日 8星期日 2星期日B星期日B星期日ppp;24.2Wsinp-D=Wn102参考文献u48小时e0-3天 8天 2天B小时B小时4A2W2ppp;24.4A2W22Wcosp-D=Wn[1]第二章Hirota，Korteweg-de-Vries方程的精确解，u49星期日e0-3星期日 8星期日 2星期日B星期日B星期日p p解决方案的多重碰撞，物理。 Rev. Lett. 27（1971）1192-1194年。[2] J. 韦斯，M。塔博尔湾，澳-地 Painleve的财产，式中，n1/4x -1/4A e0- 2dBe-8dDt。一个4. 讨论与广义和改进的（G0/G）-展开法相比，该方法的优点和有效性在下文中得到了说明。4.1. 优势与广义和改进的（G0/G）-展开法相比，该方法的最大优点是提供了新的、更一般的、含有多个实参数的精确行波解。非线性弹性波的行波解对于揭示物理现象的内在机制具有重要意义。4.2. 有效性Akbar等人。[33]使用线性常微分方程作为辅助方程，并以以下形式给出解：偏微分方程，数学物理杂志24（1983）522-526。[3] C. 罗杰斯，W.F.夏德维克，贝克兰德变换及其应用，学术出版社，纽约，1982年。[4] N.A. Kudryashov，广义Kuramoto-Sivashinsky方程的精确解，Phys. Lett. A 147（1990）287-291。[5] M.J. Ablowitz，P.A.陈晓，李晓。出版社，剑桥，1991年。[6] W.李文，非线性波动方程的孤立波解，北京大学出版社，2001。J.Phys.60（1992）650-654。[7] 张文，非线性抛物型方程的孤子解和扭解的双曲正切方法，应用数学。Comput. 188（2007）1467-1475。[8] Z. Yan，H. Zhang，浅水中Whitham-Broer-Kaup方程的新的显式孤立波解和周期波解，Phy. Lett. A 285（2001）355-362。[9] H. Naher，F.A. Abdullah，通过扩展的广义Riccati方程映射方法修正的Benjamin-Bona- Mahony方程，应用数学科学。6（2012）5495-5512。[10] H. Naher，F.A.阿卜杜拉，新的行波解的（2+ 1）维演化方程的扩展广义Riccati方程映射方法，应用数学杂志，文章un= Pme-n，其中e或e可以是零，但是E-m和Em不能同时为零上相反，我们实现了四个实参数的非线性常微分方程，森廷 旅行 波 解决方案，unPNedHg[11] S. 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