多目标帕累托直方图均衡：基于MOPSO的多目标优化算法，提高对比度、保留细节、避免失真

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记349（2020）3-23www.elsevier.com/locate/entcs多目标Pareto直方图均衡费德里科·道马斯·拉杜斯1，3米格尔·加西亚·托雷斯2，4乔·路易斯·瓦兹奎兹·诺格拉1，5迭戈·P。Pinto-Roa1，6HoracioLegal-Ayala2，7摘要几种直方图均衡化方法将增强对比度作为其主要目标之一，但通常不考虑输入图像的细节。其他方法试图在提高对比度的同时保持亮度，从而导致失真。在多目标算法中，经典的优化（先验）技术由于其简单性而被普遍使用。 其中最具代表性的方法是用度量的加权和来增强图像的对比度。 这种技术，除了仅返回单个图像，具有与每个所选度量的权重分配相关的问题。为了避免上述算法的缺陷，我们提出了一种新的方法，称为MOPHE（多-目标帕累托直方图均衡），它是基于多目标粒子群优化（MOPSO）方法结合不同的指标，在后验选择标准的背景下。这种方法的目标有三个：（1）提高对比度;（2）不丢失重要细节;（3）避免过度失真。MOPHE算法是一种纯多目标优化算法，它产生一组交易最优解，从而为决策者提供备选方案，根据应用需要选择一个或多个结果图像。实验结果表明，MOPHE是一种很有前途的方法，因为它计算出一组权衡最优解决方案，优于从最先进的视觉质量和度量测量的代表性算法获得的结果。关键词：对比度增强，直方图均衡，多目标优化，MOPHE，PSO，SMPSO1引言对比度增强允许增加图像中对象的感知。这是通过增加物体与其背面之间的亮度差来实现的1FacultadPolit'ecnica，UniversidadNacionaldeAsunci'on，圣洛伦索，西班牙2巴勃罗·德·奥拉维德大学，西班牙3电子邮件：fdaumas@intro.com.py4电子邮件：mgarciat@upo.es5电子邮件：jlvazquez@pol.una.py6电子邮件：dpinto@pol.una.py7电子邮件：hlegal@pol.una.pyhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2020.02.0101571-0661/© 2020作者。出版社：Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。4F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3地上数字图像中的对比度增强可以通过不同的技术来实现。直方图均衡技术（HE）由于其简单性和有效性而被广泛使用[1]。该技术重新分配输入图像的强度级别以实现增强。MOHE（多目标直方图均衡化）[2]是一种技术，该技术使用一些限制条件对直方图进行变换，这些限制条件在单目标优化上下文中使用粒子群优化（PSO）方法进行优化。这项工作提出了一种基于多目标PSO（MOPSO）的方法，称为MOPHE（多目标帕累托直方图均衡化），旨在使用MOHE定义的变换来优化对比度，尽可能保持输入图像的原始细节，使用熵作为度量。MOPHE还试图使用结构相似性指数（SSIM）[3]来衡量这一点，以避免产生图像正文组织如下：在第二节中，介绍了直方图均衡化;第三节对应的建议;实验结果在第四节，最后第五节提出的结论和未来的工作。2直方图均衡方法灰度图像直方图是灰度强度分布的图形表示换句话说，它是每个灰度级在可用灰度范围内的像素数[4]。直方图均衡化是一种以均匀的方式重新分布图像灰度强度以增强对比度的方法使用直方图均衡化技术的算法可以根据直方图变换（全局均衡化[5]和局部均衡化[5]）、算法的性质（确定性[6]和随机性[6]）以及所使用的优化类型（单目标[7]和多目标[8]）进行分类。2.1全局均衡方法这些方法的目的是在可用的灰度范围内重新分布图像像素值，将变化应用于整个直方图，并考虑完整的图像以获得更好的视觉质量。Cheng和Shi在[1]中提出了最常用的全局均衡方法，因为它简单且对各种图像有效。其他常用的方法，如Kim [9]提出的BBHE（保正双直方图均衡化）、Wang等人[10]提出的BBHE变体DSIHE（二元子图像直方图均衡化）、Lim等人[11]提出的BHE3PL（使用三个平台限制的双直方图均衡化）、Aquino等人[12 ]提出的BHE2PL（使用两个平台限制的双直方图均衡化）和Shanmugavadivu等人[2]提出的MOHE，都属于全局均衡化方法。F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）352.2局部均衡方法这些方法试图改善图像的某些部分，同时时间避免改变具有良好对比度的那些部分。这种改进是通过将图像分割成两个或更多个不重叠的块来实现的，以使它们独立地相等，并最终用插值技术将它们我们可以引用由Pizer等人[13]提出的AHE（自适应直方图均衡化）、由Kwok等人[14]提出的LEICE-PSO（使用PSO调谐扇区均衡化的局部均衡图像对比度增强）、由Zuiderveld等人[15]提出的CLAHE（对比度受限自适应直方图均衡化）、由Hui Zhu等人[16]提出的CLHE（约束局部直方图均衡化）、由More等人[17]提出的CLAHE-PSO和由More等人[ 17]提出的MOPSO-CLAHE（基于多目标优化的CLAHE的参数调谐以实现医学图像中的不同对比度水平）。[18]在这些方法中。2.3确定性算法确定性算法是预测性的，因此对于相同的输入，总是获得相同的输出。在这种类型的算法中，每个周期都经历相同的步骤序列。数学函数是这些类型算法的一个简单例子[6]。在确定性算法中，我们可以找到HE，BBHE，DSIHE。2.4随机算法随机算法是那些有一个不断变化的事件序列随着时间的推移，因此在转换过程中存在一些概率因素，导致其随机性[6]。在随机算法中，我们可以找到MOHE和PSO-CLAHE，因为它们使用优化元算法，其中由于包含随机变量，输出是不可预测的2.5单目标算法单目标算法是最大化或最小化单个定义目标的算法[7]。Kwok等人。[14]开发了一种局部均衡策略，其机制可以避免这些算法中称为LEICE-PSO的对比度增强所产生的问题。2.6多目标算法多目标算法是同时最大化或最小化多个目标函数的算法。所提出的目标函数可以被优化以将它们组合成一个函数，或者可以应用被称为多目标帕累托算法的独立目标方法[8]。根据优化和决策过程的组合方式，多目标问题的解决方案可以分为两种重要类型：6F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）32.6.1非帕累托这些先验偏好算法是多目标的，因为它们在转换过程中同时优化非Pareto算法使用一个聚合函数，将目标组合成一个单一的效用值，这相当于将多目标问题转化为单目标问题来优化这个统一的函数。其中，PSO-CLAHE和MOHE被发现。这些类型的算法在优化过程中存在局限性，例如，将多目标问题转换为单目标问题，并不能确保找到最佳折衷解决方案[19]。此外，决策者应该收集精确的先前信息，以确定每个目标的先验偏好技术是加权和[21]、扰动方法[21]、最小-最大方法[22]、目标规划[23]和字典法[20]。2.6.2帕累托这些具有后验偏好的算法是优选的，因为它们独立地处理目标函数，其中每个目标函数独立地最大化或最小化以获得一组称为Pareto集的折衷解决方案。在这种情况下，决策者根据目标函数之间的折衷准则选择一个或多个解决方案。MOPSO-CLAHE是一种可以在这些算法中找到针对多目标非Pareto方法的不足，以及缺乏全局多目标Pareto算法的情况，提出了多目标非Pareto方法，克服了非Pareto方法的局限性2.7直方图均衡问题直方图均衡化（HE）是用于数字图像增强的最流行的方法之一，但是由于在小的视觉重要区域中引入饱和度和不期望的效应，其在电子产品（诸如电视、数码相机和摄像机）中可能是不够的[24]。这些饱和效应不仅会降低图像的外观，还会导致信息丢失[25]。由HE引入的亮度水平的过度变化也会导致不自然的图像增强，换句话说，当亮度水平过度增加时，图像质量往往会显著降低[26]。图1显示了HE引起的问题。图1. A是原始图像。图1. b是直方图均衡化后的图像。图1中可以看到不需要的效应，如红框标记的噪声。c，其中灰度级的强度相对于原始图像非常不同。细节损失也可以在图1中理解。D.应用增强后，圈出的头发细节将丢失。因此，在不引入饱和度的情况下保留细节是F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）37(a) （b）平等的妇女(c)（d）信息损失Fig. 1. 暴露了均衡问题的示例图像重要的是保持图像的质量。全局均衡方法MOHE在对比度增强方面表现出良好的性能，同时保持亮度和图像细节，因此这些约束将用于提案MOPHE中，这将在下一节中进行解释3多目标Pareto直方图均衡多目标Pareto直方图均衡化（MOPHE）是一种随机多目标Pareto算法，它对直方图进行全局均衡，在保持原图像细节的同时，考虑图像的结构，最大化对比度，得到一组折衷最优解。以下小节将解释均衡过程、优化和问题公式化。3.1阈值选取均衡过程开始于将图像分割成两个子图像，用于单独处理。阈值用于分割直方图，通常通过简单有效的分割技术获得，称为阈值[27]。该技术将图像Fi的像素分成两类：背景子图像Fi和前景子图像Fi。，以独立地均衡它们。各种阈值算法在文献中已知为MOHE使用的Otsu方法[28]、Huang方法[29]、LI方法[30]、最大熵方法[31]、最小误差方法[32]等。莫菲，8F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3{考虑到这种多样性，提出找到一个最佳的分割阈值t，适用于任何类型的图像，所以在这项工作中，阈值t将被添加为优化变量。MOPHE使用对MOHE的建议限制[2]，使用优化的t。在分配输出动态范围时，使用两个子图像中的上限定界过程来避免占主导地位的高概率在算法1中给出了上述图像的均衡处理，其中接收图像F和方程变量a、b、c、d和t以获得增强图像FE。与[2]相比，阈值t是添加到均衡过程的新参数，其也将根据目标函数进行优化算法1数据：图像F，具有结果：FE，均衡图像。functionfunctions（）步骤1：基于给定的阈值，在前景子图像Fo和背景子图像Ff中分割F阈值t步骤2：计算前景和背景的概率密度函数P o（rk）和Pf（rk）子图像分别。步骤3：将限制a、b应用于背景子图像Ff，步骤4：将限制c、d应用于前景子图像Fo，步骤5：独立地步骤6：连接e个合格子图像以获得由下式给出的输出图像：第7步：返回FE}算法1. 均衡3.2多目标优化为了获得要呈现给决策者的各种解决方案，进一步探索的必要性导致提出SMPSO（速度约束多目标PSO）[33]作为基于PSO的纯多目标优化元启发式算法，并将在下面进行解释3.2.1 SMPSO速度约束多目标PSO（SMPSO）[34]是允许粒子群优化（PSO）算法处理多目标优化问题的元算法之一。Coello等人[19]将多目标优化问题定义为搜索满足某些约束并优化目标函数向量SMPSO采用的后验选择准则独立地对待目标，其中每个目标同时最大化或最小化以获得一组称为Pareto集的解。然后，决策者选择一个或多个解决方案。形式上，多目标优化问题寻求找到优化向量函数的向量S= [S1，···，Snf（S）=[f1（S），f2（S），· · ·，fN（S）]（1）F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）39⎪⎩VJV如果V其中N是目标函数fl（S）的个数，fl∈ {1，···，N}，S=[S1，· · ·，Sn]是决策变量的向量或粒子.目标函数fl用公式表示要优化的第l个目标函数。目标函数将搜索空间中的每个解与描述解的质量或适用性由于有多个目标函数需要优化，最优解的概念发生了变化，因为通常很难找到一个同时优化所有目标函数f（S）的解S相反，这种技术试图找到一组同时妥协的近似解[35]。SMPSO基于种群，包含一个全局存储库，其中每个粒子为每个粒子存储其经验，生成一个具有主导地位的文件（领导者档案），在每次迭代中更新以生成帕累托集。SMPSO方法应用速度限制方案来扩展扫描容量以及提高收敛速度[34]。为了控制粒子的速度，而不是使用限制速度步长的上限和下限值参数，SMPSO采用了从Clerc和Kennedy [ 36 ]开发的收缩因子χ获得的（2）中看到其中，2χ=2−−2−4（2）如果c1+c2>4，则c=c1 + c2（三）0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000此外，引入了一种机制，使得每个变量j（在每个粒子i中）的累积速度进一步通过以下速度收缩来限制：如果Vk>δj，Ki、j=δjKi、j≤−δj（四）其中，Ki、j否则，用于：δ=上j−下j2（五）i、j10F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3upperj等于j的上限值以进行优化。较低的j表示可以被设置为j的较低值。总之，根据PSO速度方程计算粒子的速度[34]，然后将所得速度乘以收缩因子，并使用（4）约束所得值F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）311一leaders档案通过插入现有的非支配粒子并在过程中删除支配粒子来更新[33]。SMPSO使用弱优势[34]，因此只有当：fl（Sa）≥fl（Sb）<$l∈{1，· · ·，N}fl（Sa）>fl（Sb）<$l∈{1，· · ·，N}（六）由于leaders存档有限，当它满了时，SMPSO使用NSGA-II该距离被计算为每个粒子及其紧邻的较低和较高粒子的距离之和，考虑到要评估的每个目标[38]，因此具有较大拥挤距离的粒子被分配给领导者存档，而不是具有较低拥挤距离的粒子SMPSO采用的湍流算子是多项式突变[39]，其中，给定解Sa∈[w，z]，其中[w，z]是a这篇文章的内容可以谈谈。一个特定变量的突变解SaJ是由在[0， 1]范围内创建的均匀随机数u创建如下：SJ=.Sa+Qleft（Sa−w），其中u≤0。5（七）Sa+Qright（z−Sa），oterwise参数Qlet和Qright计算如下：Qleft=（2u）1/（1+ηm）−1，其中 u≤0。5Q右 = 1−（2（1 − u））1/（1+ ηm），其中u> 0。第五章（八）其中ηm是用户定义的索引参数，默认范围为[20， 100]。多项式变异用于以偶然的方式探索搜索空间的新部分。该操作员负责在搜索解决方案时引入新的遗传物质[38]。3.3目标函数目标函数是将用于评估均衡图像的度量数字。3.3.1对比该问题的主要目标函数是使用用于图像测量的验证度量[40]来增强图像的对比度，由σ表示。这对应于像素强度的标准偏差，并根据以下公式定义：σ（F）=，.12F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3ΣΣ1M−1N− 1（Fij−μ（F））2（9）（n−1） i=0j =0F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）313ΣΣ其中F是待评估的图像，Fij表示像素在其位置ij的强度，n表示图像内的像素数量，而μ（F）是F的平均亮度，计算如下：XL−1μ（F）=P（rk）×k（10）k=0(a)σ= 47， 46（b） σ= 73， 401（c）σ= 84， 48图二、具有不同σ值的Lena示例在σ的计算中使用n−1是由建议的修正给出的。”[41]《明史》。这种修正在公式的修改中得到了普及，其中使用n-1而不是使用n，n是该样本的观测数这样改进了总体标准差和总体方差的一些公式的统计估计。在具有n= 1的假设图像的情况下，σ的值等于0。对比度的测量并不总是足以说明图像得到了改善，因为细节可能会丢失，失真可能会增加，如图2所示。因此，在评估中提出了测量原始图像细节的度量。3.3.2熵一个内容度量，指示结果图像[42]细节的丰富性，由H表示，熵度量用于表示图像的灰度级有多修改后的图像的熵值越接近原始图像，保留的细节越多。通过最大化图像的熵，它的对比度也增加了图像F的熵函数为：XL−1H（F）=−P（ri）log2（P（ri））（11）i=0P（ri）是第i个强度的出现概率，XL−1表示F的最高可能强度水平。图3显示，图像的非常高的熵并不能量化噪声或失真的放大，因此引入了一个新的改进评估指标。14F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3E1 2E(a)H= 7，445（b） H= 7，967图3.第三章。具有不同熵H值的Lena图像的示例3.3.3SSIM结构相似性指数（SSIM）[43]的值取决于三个因素：亮度、对比度和表示对象结构的属性，这些属性被建模为相关性。这种方法的优点包括它的简单性，可移植性，鲁棒性和低计算成本。然而，当测量信号失真时，它具有输入依赖性。结构比较由输入图像F和比较图像FE之间的协方差σ（F，FE）以及用（9）计算的标准偏差σ（F）和σ（FE）组成。SSIM方程定义如下：SSIM（F，FE（2μ（F）μ（FE）+D1）（2σ（F，FE）+D2））=（μ（F）2+μ（F）2+D）（σ（F）2+σ（F）2+D）（十二）其中D1和D2是定义的常数，以避免当方程的分母趋于零时结果的不稳定性。D1=（q1L）2和D2=（q2L）2。L是像素值的动态范围。对于8位灰度图像，通常L = 28−1，q1= 0。01且q2= 0。03默认使用SSIM是因为，除了被人类主观性广泛接受之外[43]，当其值最大化时，失真最小化。这允许测量两个图像之间的细节保留在图4中，Lena的不同图像及其SSIM值被曝光。(a)SSIM= 1（b）SSIM= 0，924（c）SSIM= 0，550（d）SSIM= 0，755见图4。 具有不同SSIM值的Lena图像既然已经定义了目标函数，我们就继续问题的公式化，然后解释所提出的方法的操作。F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3153.4问题公式化考虑到问题的下一个要素;• F，输入图像，具有n个像素，尺寸为高度M和宽度N• FE，具有n个像素的结果图像，大小为M×N。它代表了增强的图像• （X0，XL−1），可用灰度级的范围，用于表示F和FE(in此工作定义为[0，255]）• a、b、c、d，优化子图像• t表示要优化• S，解向量或SMPSO粒子定义为：S=[a，b，c，d，t]。• R是问题• H是图像• σ是对比度指标，通过图像的标准差测量• SSIM是衡量两幅图像之间的结构相似性指数的指标• Θ，领导者档案或帕累托集，最佳合成粒子的容器• 由粒子帕累托集Θ生成的结果图像的集合帕累托集是在θ leaders档案中获得的解的组，用SMPSO同时最大化σ、H和SSIM。该评价函数定义为：最大化f（S）（13）其中f（S）=[f1（S），f2（S），f3（S）]，FE=Equalize（F，S），使用算法1获得的均衡图像，f1（S）= σ（FE），f2（S）= H（FE），f3（S）= SSIM（F，FE）。如果一个粒子Sa优于另一个粒子Sb，在帕累托语境中，我们说第一个粒子优于第二个粒子，或者Sa≥Sb。其定义为（6）;3.5MOPHE算法算法2给出了用于MOPHE的伪码。该算法接收输入图像F和SMPSO参数。首先，初始化群（步骤1），其包括具有均匀分布的随机生成的粒子的位置、速度和最佳个体（mejL）。然后，使用（6）中定义的优势，用群的非支配解初始化领导者档案（步骤2）算法的主循环被执行到最大迭代次数k。首先计算粒子的速度和位置（步骤3和4），然后使用变异算子以给定的概率应用湍流（步骤5）。执行内循环以评估每个粒子Si，其中τ是16F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3{粒子群的数量然后，使用算法1完成具有粒子Si的图像F的均衡（步骤6）。然后根据定义的目标函数对获得的图像FE进行评估（步骤7），以随后更新领导者档案（步骤8）和粒子的存储器（步骤9）。最后，从Θ leaders档案生成解集（步骤1）并返回（步骤11）。图5给出了所提出的MOPHE算法的流程图，MOPHE获得的结果将在下一节中给出算法2数据：图像、F和SMPSO参数。结果：图像结果集。函数MOPHE（）步骤1：初始化群体，使用τ粒子。步骤2：初始化具有主导粒子的leaders存档Θ。为j = 1至kdo步骤3：计算速度。当量（4）步骤4：更新粒子位置。步骤5：将湍流应用于粒子。当量（七）为i= 1至τdo步骤6：F Ei = Ft（F，S i）算法（1）步骤7：评估F Ei。当量 （十三）步骤8：更新leaders archiveΘ。步骤9：更新粒子的内存。第10步：生成解集。第11步：返回图片集.}算法2. MOPHE4实验结果一组具有不同对比度特征的不同强度和分布的图像被用来验证所提出的方法的有效性。这一组包括来自USC-SIPI[44]数据库和OPENi[45]搜索引擎的30张精选图像。以下小节介绍了执行环境、获得的结果及其相应的评价。4.1执行环境MOPHE是用JAVA作为主要编程语言实现的。此外，ImageJ [46]等免费库用于SSIM指标和图像处理，JMetal[47]用于SMPSO的实现表2给出了用于评估所提出算法的有效性的不同算法的比较。MOHE和MOPHE算法的每次执行都涉及所使用的元启发式算法的多次迭代根据MOHE和MOPHE的实验测试，它们在50次迭代中收敛[2]。这一结论是通过对所得到的帕累托集进行评价而得到的。每种算法执行30次，进行比较的大小通过实验测试采用swarm并设置为100。 领导者的尺寸LF. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）317如果MOPHE的archive Θ被设置为100，这意味着在每次执行中MOPHE最多返回100个结果图像的集合表1显示了SMPSO[34]参数定义的默认值，这些参数也用于提案中，其中随机函数返回一个在每次迭代时选择的均匀分布的表1SMPSO默认值参数默认值Wrandom（0， 1−0， 5）rand1和rand2random（0， 0−1， 0）c1和c2random（1， 5− 2，5）多项式突变15%的颗粒实验在MacBook Pro上进行，具有2.2 GHz Intel Core i7处理器和16 GB RAM。MOHE的平均执行时间为8.23秒，而MOPHE的平均执行时间为37.39秒，600次迭代的平均执行时间在MOPHE中，该时间与为处理建立的迭代次数成比例地增加或减少MOPHE是一种多目标Pareto算法，因此需要更多的迭代来收敛，因此与MOHE相比需要更多的执行时间。同时，应该注意的是，MOPHE除了包含一组替代解决方案之外，还包含由所实现的算法获得的解决方案。4.1.1帕累托前沿评价框架在本节中，我们讨论如何衡量帕累托前沿的数量质量。我们的目标是最大化目标函数σ，H和SSIM，表示为其中l对应于每个目标函数，l= 1， 2， 3，以达到效率表2实验性质MOPHE漠河他，BBHE，BHE2PL、BHE3PL、DSIHE、CLAHE编程语言和图书馆Java，ImageJ，JMetalJava，ImageJ，JMetalJava、ImageJ元启发式SMPSOPSO-处决人数30301群大小100100-迭代次数40050-生成的图像≤10011Leaders archive size（L）100--18F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3图五. MOPHE图。Pareto Front [48]，其中搜索空间是问题所有可能解决方案的容器 每个解Si在标准空间中都有一个与该解相关联的点y=f（Si对于所有的点yi，可以说yi1≥yi2，或者当S1≥S2时，根据（6），yi1优于yi2优势点的子集称为帕累托阵面，用θY表示定义为：Θ={yi∈ Y：yj/≥yi<$yi∈Y}（14）换句话说，有效帕累托集是非支配点的集合，并且总是非空的。根据定义，支配点是一个次优选项，存在在每个目标fl上实现更大值的点[48]。为了评价Pareto集的结果，使用了超容积测量。超体积根据参考测量目标空间内的支配部分的体积。超体积度量具有必要的一致性，以评估帕累托前沿相对于另一个的优势[49]。超体积的值越大，帕累托前沿的点集越占优势。这使得超体积成为衡量帕累托前沿效率的合理度量[48]。箱形图提供了数据分布对称性的一般视图，并显示了如何计算关于中位数的超体积分散在图6中，给出了Pirate、Lena和Elaine图像的超体积的箱形图，其中由从箱形延伸的线表示的须状物达到该系列的最大值和最小值F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）319(a) Pirate超卷(b) Elaine超体积的箱形图(c) Lena超体积的箱形图见图6。在对图像执行MOPHE后获得的计算高体积的最大值、最小值、中位数和平均值：Pirate、Elaine和Lena。与方框交叉的线表示系列的中位数，而均值或平均值在图表中由交叉表示。方框的界限代表四分位数，其中方框的下限代表25%的数据，上限代表75%的数据，以这种方式便于分析20F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3当检测到50%的群体在框的限制内时，在对每个图像进行30次独立执行后获得超体积，并对每个图像计算30个帕累托集图6显示了超体积计算经过600次迭代后的演变每50次迭代获取计算样本。暴露的值表明，随着迭代次数的增加，框的极限与最大值和最小值之间的方差变得明确，允许用户选择适当的迭代次数以获得最佳结果。例如，在图6中。对于Pirate图像，可以观察到，随着向前执行算法的更多迭代，最大值和最小值之间的方差这是一个重要的事实有关的迭代的数量在MOPHE中执行的参数的分配。Levene根据Levene的检验，对于图6所示的数据。a对于图6，方差在100次迭代时稳定。b这发生在250次迭代时，如图6所示。c，MOPHE在200次迭代时收敛。4.2结果将得到的结果集与HE、BBHE、BHE2PL、BHE3PL、DSIHE、CLAHE和MOHE等算法进行比较，以根据所使用的度量证明MOPHE关于对比度增强和图像细节保留图7显示了乳房X线照片图像的Pareto Front的非支配解（图像），其中每个蓝色和绿色点（绿色的暴露图像）表示由MOPHE产生的每个图像的度量值。在右上角，由立方体内的红点表示，是原始图像。黄点表示MOHE返回的图像。橙色的点是HE返回的图像。值得强调的是，MOPHE包含MOHE和HE返回的解决方案。在左下角，MOPHE返回的图像根据人类的欣赏是无效的。这一结果是由于输出图像的高对比度，满足了包含在帕累托集合中的必要这些结果使我们能够理解，MOPHE也可以用于医学图像，其中医学专业人员可以根据相关需要选择图像F16图像的实验结果如图9和表3所示，其中使用不同的算法与MOPHE进行比较。MOPHE的图像是从200次迭代的MOPHE运行的帕累托集合中获取的。值得注意的是，全局直方图均衡化方法并没有增强熵，因为它们对直方图进行了处理图9显示了通过MOPHE获得的不同结果，其中对比度满足F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）321见图7。 Pareto front，用于执行Mammogram图像的MOPHE，迭代200次。 以蓝色和绿色结果点。红色是原始图像。黄色为MOHE溶液。 橙色显示HE溶液。hancement是显而易见的。表3的较高值设置为粗体，以便于读者理解。表3F16图像的目标函数值对比熵SSIM原始42.7736.5861他65.5126.550.942BBHE67.5066.5070.947BHE2PL46.9956.5850.999BHE3PL51.8366.5850.995DSIHE76.6246.4880.901漠河43.4486.5730.987CLAHE58.9247.49950.966MOPHE - 149.0386.5480.999MOPHE -249.8256.5850.989MOPHE -365.9986.550.950MOPHE -472,8696.460.914MOPHE -574,6836.490.898MOPHE -677,2036.4730.88322F. Daumas-Ladouce等人/理论计算机科学电子笔记349（2020）3图10中显示了Gira Gracie图像的结果子集，表4中特别显示了这些图像获得的值。在所提出的MOPHE技术的实验中，使用了300次迭代。这些测试产生了一组100个结果图像。在所有情况下，原始图像的对比度都得到了改善。结果根据粒子S在生成图像的帕累托集中的位置而表4不同算法的Gira图像目标函数值对比熵SSIM原始12.615.3791他64.215.3770.852BBHE73.4335.3640.814BHE2PL15.455.3790.99BHE3PL20.4785.3790.99DSIHE73.845.3570.827漠河28.6435.3790.99CLAHE22.7766.2890.989MOPHE - 134.1195.3790.99MOPHE -267.4675.3770.876MOPHE -371.865.3430.841MOPHE -473.855.360.836图8呈现了利用MOPHE方法对盗版图像进行均衡的另一示例，其中对比度增强是值得赞赏的。(a) 盗版原始图像(b)原始直方图(c)均衡图像(d)使用MOPHE获得的直方图图八、盗版原始图像和MOPHE均衡(a)F16原装(h)CLAHE图像(b) HE图像(i)MOPHE-1 图像(c)BBHE图像(j)MOPHE-2 图像(d) DSIHE图像(k)MOPHE-3 图像(e)BHE2PL图像(l)MOPHE-4 图像(f)BHE3PL图像(m)MOPHE-5 图像(g) MOHE图像(n)MOPHE-6 图像图第九章原始、HE、MOHE和MOPHE应用于F16图像。