抽象知识库饱和约简的理论与应用分析

可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记301（2014）139-151www.elsevier.com/locate/entcs（抽象）知识库的约简与饱和约简徐罗山1、2赵静3扬州大学数学系，扬州225002。中国摘要粗糙集理论是处理知识的模糊性和不确定性的有效工具。 在粗糙集理论中，知识约简与生成是重要的研究课题，也是知识获取的关键步骤。本文将知识库推广到抽象知识库，并通过考虑无限知识库的有限约简的存在性问题，研究无限论域上的（抽象）知识库.对于抽象知识库，引入了饱和度和饱和度约简的概念。研究了抽象知识库的饱和和饱和约简的全局性质。 本文证明了对于给定的闭知识库， 任意结合在一个有限的宇宙U上，它的饱和增广的反宇宙U形成一个拓扑，而构造一个反例来表明，如果U是无限的，这可能不是真的。利用抽象知识库的饱和性，给出了无限抽象知识库存在有限约简的充分必要条件.证明了有限论域上的抽象知识库存在且仅有一个饱和约简。最后通过实例分析了知识约简存在的各种情况。文中还给出了饱和约化的简单应用关键词：半格;偏序集;拓扑;抽象知识库;饱和约化;存在性;核1介绍粗糙集理论[8，13，14]是处理知识的模糊性和不确定性的重要工具，已成为信息科学中一个活跃的分支。粗糙集理论的基本观点是：知识（人的智能）是对元素进行分类的能力[5，7，13]。此外，人们可以说，知识是一些有趣领域中的一系列分类模式1国家自然科学基金（61103018）、江苏省自然科学基金（BK 2011442）、北京航空航天大学国家重点实验室开放基金（No. SKLX-2011 KF-08）和江苏省研究生创新项目基金（CXLX 12 -0905）2电子邮件：luoshanxu@hotmail.com3电子邮件：zhaojing4353@126.comhttp://dx.doi.org/10.1016/j.entcs.2014.01.0121571-0661 © 2014 Elsevier B.V. 在CC BY-NC-ND许可下开放访问。140L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139为我们提供了一些事实，人们可以从中推导出新的事实[6，10，12]。早期的粗糙集理论[8，13]主要考虑U×U的子集U上的等价关系，确定U上的划分。我们不仅要处理U上的一个分类（知识或划分），而且要处理一个分类族[5，6]。这就引出了知识库的定义。具体地说，给定一个论域U和U上的一个等价关系族，K=（U，P）对被称为知识库。随着粗糙集理论的发展，人们考虑了更一般的集合族，如由二元关系确定的上、下近似族这类家庭通常是封闭的。联合或交叉。因此，我们可以把非常一般的集合族看作是抽象的知识库。数学上，设U×=U ×是我们感兴趣的元素的集合，称为一个单位集，则任意一个子集X×U称为U上的一个概念或知识。每个概念族（U上的子集族）称为U上的抽象知识库。一方面，人们可以从给定的知识库中获得更多的知识例如，从从数学上讲，我们可以从一个给定的集合族中导出新的集合族本文考虑由抽象知识库的非空有限交构成的新的抽象知识库，称为饱和（在拓扑学中，开集的交称为饱和集，因此我们称之为饱和集）。设U上的一个族P，则族P={F|<$x=F<$P，Fisfinite e}称为P的饱和度，其中有限交是非空交。本文将讨论饱和度的性质另一方面，众所周知，知识库中的元素并不是同等重要的，有些甚至是冗余的。 所以我们经常考虑减少通过删除不相关或不重要的元素来构建知识库，但要求保持分类能力。在经典的粗糙集理论中，我们处理的论域通常是一个非空的有限集。在这种情况下，知识库是有限的，约简总是存在的。因为在有限的宇宙中，情况并非如此。 本文将通过考虑无限知识库的有限约简的存在性问题来研究无限论域上的（抽象）知识库。给出了抽象知识库存在有限约简的充分必要条件。 通过一些实例来揭示各种情况 知识的存在性。由于知识库K的通常约简只涉及特殊的相交indK= KR∈KR，并且由于有限论域上的约简存在但一般不唯一，通常的知识约简丢失了许多信息并带来新的不确定性。肮脏鉴于此，我们将定义一种新的抽象知识库约简结果表明，抽象知识库的饱和约简不仅在处理知识库信息方面具有特殊的意义在最后一节中，我们还给出了一些例子，展示了拓扑和有序结构的可能应用L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）1391412预赛我们给出了一些基本的概念和结果，这将在续集中使用。 他们中的大多数人都来自[4，11，13]。对于其他未说明的概念，请参阅[2，3]。定义2.1设（X，T）是一个拓扑空间B <$T。 如果X的每个开集是B的一些元素的并，即对每个U∈T，存在B1<$B使得U =<$B∈B1 B，则称B为T 的 基，或称B 为 拓扑空间X的基.引理2.2（见[11，Th.2.6.3]）设B是X的子集族。 如果B关闭w.r.t.有限个交集（包括空交集），则在X上有一个唯一的拓扑，以B为底。设（X，T）是拓扑空间，F是X的闭集.因为开集的补集是闭集，所以F是闭的。任意的交集和有限的并集。如果B是T的基，则Bc ={X-B|B∈ B}<$F称为闭基。在这种情况下，F的每个元素都可以表示为Bc的一些元素的交集。实直线上的区间有9类：开区间（a，b），（a，+∞），（−∞，b），（−∞，+∞）;闭区间[a，b];半开半闭区间[a，b），（a，b]，[a，+∞）和（−∞，b]。我们不会把单例作为间隔。定义2.3设G是实直线的开集。 如果一个开区间（a，b）<$G对于端点a，b∈/G，n（a，b）被称为G的一个结构区间.引理2.4（见[1，Th.1（开集结构定理）]）实直线的每个非空开集都可以表示为有限个或可数个相互不相交的结构区间的并。如果一个开集被表示为互不相交的开区间的并集，那么这些区间一定是开集的结构区间下面的两个引理很容易证明，并将在续集中使用引理2.5设U = R为实数直线。如果X<$U是一些区间的并集，那么X可以表示为一些互不相交的区间的并集。引理2.6如果{Ai}i∈I是实直线上互不相交的区间族，则{A i} i∈I是一个可数族。定义2.7（1）Let U×=BeasetandP×=B e a s etafamilyofequivalen relationsonU.那么K =（U，P）这一对被称为知识库，有时我们称P为知识库，U为K或P的论域。设ind（P）=K∈PR，则ind（P）仍是U上的等价关系，称为K的不可分辨关系.(2) L ∈ P×=E∈ U的子集族。 P是一个抽象的知识库，U称为P的论域。 设ind（P）=A∈PA，则ind（P）是U的一个子集，称为P的不可分辨集.(3) 假设A ∈ P是不必要的，如果ind（P）=ind（P − {A}）。否则，A被认为是必要的。集合核（P）={A ∈ P|A是必要的}称为P的核。 如果P中的每个元素都是必要的，那么我们说P是独立的。很容易看出，定义2.7（1）意义下的任何知识库P都可以看作是U×U上的抽象知识库P，只要把R∈P看作U×U的子集。因此，知识库是一种特殊的抽象知识库。142L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139设L是偏序集。一个子集D是有向的，如果D的每个有限子集在D中有一个上界。一个偏序集称为有向完备偏序集（briecomy，dcpo），如果每个有向子集都有一个上确界。 一个偏序集称为半格，如果每对偏序集的元素有一个下界。 如果（L，≤）是偏序集，则（L，）是偏序集，称为 L的对偶偏序集，记为Lop。如果na，b∈L，a≤b或b≤a成立，则称如果na，b∈L，a≤b和b≤a都不成立，则L称为反链. 一个非空子集X<$L被称为是过滤的，如果每对元素a，b∈X，有c∈X使得c≤a和c≤b。很容易看出，每个半格本身都是过滤的。定义2.8设P是偏序集，x，y∈P。我们说x近似于y，记为y，如果每当D是有向的，y，则对某个d∈D，x ≤ d. 如果那么我们说x是一个紧元素。3抽象知识库在这一节中，我们引入了抽象知识库饱和度的概念，并研究了它们的性质。定义3.1设P是一个抽象的知识库。则P称为P的饱和，如果P由P的所有非空有限交组成。如果P = P，则P称为饱和。注意，一般来说，PP。然而，即使（P，n）是一个半格，我们也可以很容易地构造出P×=Pn的例子。 如果一个nabankn ok基是一个半格，那么它本身必须是过滤的，并且indP=indP。 此外，饱和度是封闭的w.r.t.非空的有限交叉点。因此，根据引理2.2，P{U}是U上某个拓扑的基。此外，我们还有以下定理。定理3.2设U是给定的非空有限集，P是U它是封闭的。 任意工会 则P {U}是U上的拓扑。证据因为U是有限的，所以U上的任何拓扑都必须是闭的。任意的并集和交集。因此，U上拓扑T的闭集族F是也关闭了w.r.t.任意的并集和交集。请注意，P相对于t是闭的。任意的并集，我们看到族B={U-X|X∈P}是闭的.任意交叉点。根据引理2.2，在U上存在唯一的拓扑T，它以B为基。 在这种情况下，T的闭集的族F恰好是族P{U}，即F=P{U}。所以P{U}是封闭的。任意的并集和交集。因此，P{U}是U上的拓扑。Q对于无限宇宙U，即使P相对于t是闭的。 任意联合，P{U}可能不是拓扑。请参见以下示例。例3.3设U = R是实数，P是表示为R的一些互不相交的区间的并集的子集族。则空并集是空的，且P. 注意到一些区间并的并仍然是区间的并L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139143根据引理2.5，这些区间的并也可以表示为一些互不相交的区间的并，我们得到P是闭的。任意工会但是，P {U}不是拓扑。为了证明这一点，设Y=Q i，j是P中元素的非空有限交，其中对于i = 1，2，···，n，Q i，j（j ∈ J）是一族互不相交的区间。根据引理2.6，J是可数集。 利用完全分配律，我们有Y=<$f∈M（<$Qi，f（i）），其中M={f|f：{1，· · ·，n}−→J是映射}。作为可数集J的有限积，M也是可数集。 很明显，有限交|Qi，f（i）要么是整数，要么是单例，要么是整数值。If基数|≤1，则Y是可数集。|≤ 1 for all i ∈ J , then Y is a countable set. 如果有一个i∈J使得如果f（i）是区间，则Y有非空内部。 所以，任何有限的交集P中元素的Y要么是可数的，要么有一个非空的内部。每一个无理单例都是P中的有限交集{}=（−∞，][，+∞），因此在P中是。所以所有无理数的不可数集合是元素的并集的P。因此，所有无理数的集合不在P{U}中，因为它显然有空的内部。也就是说，P{U}对于w.r.t.联合，更不用说拓扑了。定义3.4Let P是一个抽象的知识基础。 如果<$P∈P，（P −{P}）<$×=P<$，则P称为极小饱和。通过定义3.4，很容易显示以下内容命题3.5如果没有元素A ∈P可以表示为P− { A }中元素的有限交，则P是极小饱和的。例3.6链或反链P是饱和的和最小饱和的。4无限抽象知识库本节将给出无限抽象知识库的有限约简的存在条件。我们首先有以下定义。定义4.1设P是论域U，Q <$P上的抽象知识库。 我们说Q是P的约化， 如果ind（Q）=ind（P）且n ∈A∈Q，ind（Q）×=ind（Q −{A}）。有时，我们也说Q是K =（U，P）的约化。定义4.2对于U上的抽象知识库P，如果P是有限的，则P称为有限知识库;如果P0≠ P是P的约简并且只有有限元素，则P0称为P的有限约简。引理4.3（见[13，定理1.9]）对于有限论域上的任何知识库，（有限）归约总是存在的。推论4.4无限宇宙上的每一个有限知识基础都有（有限）约简。 如果P有最少的元素，则P有有限约化。设P是一个抽象的知识库。如果（P，n）是一个链（分别为，一个反链，一个过滤集，一个半格），那么我们说P是一个链（分别是，反链，过滤集，半格）。以下三个命题并不困难，它们的证明被省略了。144L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139命题4.5如果P是链，则 P有有限约化当且仅当 P元素最少命题4.6如果P是过滤的，则P有一个有限约化，其中P有最少的元素。特别地，如果P是一个半格，则P有一个有限约化i，且P有最少的元素。命题4.7如果P是一个抽象的知识库，P是P的饱和度，那么P有一个有限约简，i P有一个有限约简。定理4.8若P是一个抽象知识库，则P有一个有限约简，若P的饱和度P是最少的元素。是的。 P= P 的 饱 和 度 ， P =P的饱和度。由命题4.6可 知 ， P0∈ P，P0 So，indP=indPindP0=indP0=indP. 则R0= ind P0 =indP0=indP0且R0是P0的最小元素。 我们得出结论，P_n有一个有限约化{R0}。设P是P的有限约化饱和度。则（P，）是半格。通过命题4.6，我们得出结论，P具有最少的元素R0。因此，存在R1，···，Rn∈ P使得R0=R1<$· ·<$Rn.对于有限知识库{R1，···，Rn}，根据推论4.4，存在有限约简P0<${R1，···，Rn}使得indP0=R1<$···<$Rn=indP0=indP。因为P0与P是独立的，所以P0是P的有限约化。Q推论4.9如果P是一个抽象知识库，则P有一个有限约简，如果存在有限元素R1，···，Rn∈P使得R1·· · ··Rn= indP。命题4.10设P是一个没有无限反链的抽象知识库。如果P中的每个极大链都有最少的元素，则P有一个约简。证据因为P中极大链的所有最小元素的集合形成一个反链，根据假设它是有限的。反链有一个有限约化，反链的交集正好是indP。显然，有限还原也是P的还原。Q命题4.11设P op是抽象知识库P的对偶。如果在集合包含序中P op是dcpo且max（P op）是有限的，则P有有限约简。证据P的每个极大链都有一个元素在max（Pop）中。P op中的这个极大元是P的极大链中的最小元，因此是P的极小元。所以，我们有，max（Pop）=indP。通过max（Pop）的有限性，我们看到max（Pop）有一个有限约简，它也是P的有限约简。Q例4.12设P0是一个无限的知识库，它在定义2.7（3）的意义上是独立的。设P = P0<${ind（P0）}.故{ind（P0）}是P的有限约化。然而，ind（P0）不是（P）op的紧元素，这表明P的有限约化中的元素在（P）op中不一定是紧的。命题4.13设P是一个无限抽象的知识库。如果ind（P）是（P）op中的紧元，则P有且只有有限约化。在这种情况下，L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139145i=1核心（P）=核心（P）。证据 由于ind（P）可以表示为P中元素的有限交的过滤交，并且ind（P）在（P）op中是紧的，因此ind（P）是有限交P中的元素。这些有限元素的一部分形成P的有限还原，表明P具有有限还原。如果P有另一个无限约简PJ，则这个约简的交集是ind（P），并且可以表示为约简PJ中元素的有限交集的过滤交集。由于ind（P）在（P）op中是紧的，ind（P）是约化PJ中元素的有限交，表明PJ不是独立的，这是一个矛盾。所以，P没有无限减少。设P∈P∈Red（P）. 若P×c∈ore（P），则ind（P−{P}）=ind（P）。由于ind（P）在（P）op中是紧的，ind（P）是P − {P}中元素的有限交。 而这些有限元素的一部分在没有P的情况下形成有限还原，这是一个矛盾！所以，red（P）core（P）。 包容的另一个方向是全球性的。因此，在本发明中，核心（P）=核心（P）。Q5知识库本节将给出抽象知识库的另一个约简概念，称为饱和约简。事实证明，有限宇宙中的每一个抽象知识库都有一个独特的饱和度降低。定义5.1设P是一个抽象的知识库，P0P。若P0是极小饱和的，且P0≠ P0，则P0是P的一个饱和减显然，P是最小饱和的，i ∈P是P的饱和约化。以下四个命题并不困难，其证明被省略。命题5.2设P0，P1是P的饱和约化，且 P0 <$P1，则P0= P1。命题5.3设P是一个抽象知识库，P表示P的饱和度。则P的饱和约化都是P的饱和约化.命题5.4设P和PJ是抽象知识库。 设P0是P的一个饱和约化，max（P）是P的所有极大元的集合.则max（P）<$P0。 如果P0<$PJ<$P <$，则P0是PJ和P<$的饱和减少。命题5.5设P为抽象知识库，P1为P的饱和约简.则对任意P ∈ P1，不存在有限元K1，···，Km∈ P1\{P}使得P=m K i。当论域U是有限的时，U上的抽象知识库P在集合包含顺序上是有限偏序集，然后是dcpo。根据佐恩引理，我们知道max（P）× = π。 利用这一定理，我们可以给出以下定理，从而揭示饱和约化的存在性。定理5.6如果P是有限论域U上的一个抽象知识库，则 P至少具有饱和度降低。146L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139i=0i=0Ji=0i=0i=0i=0i=0i=i0Ji=0JJ证据归纳构造P的子集族K0，K1，···，Kn，···，使得K0=max（P）<$P，K1=max（P\K0<$）<$P，K2=max（P\（K0<$K1）<$）<$P，· · ·，· · ·，· ··，Kn−1=max（P\（K0<$K1<$··<$Kn−2）<$）<$P，Kn=max（P\（K0<$K1<$··<$Kn−1）<$），· ··注意到max（P）×=π，我们知道族P\（K0<$K1< $ ···<$Ki）π是严格递减的.因为U和P是有限的，所以存在某个n使得P\（K0≤K1<$ · · · <$K n−1）<$=<$，则K n=<$。SetP0=n 好的。我们有一个有一个P0<$=（<$Ki）<$=（K0<$K1< $··<$Kn−1）<$<$P，（K0P（K0。且P_（？）=P_（？）设P∈P0. 则有i0max{i，n}。 其中n（i，n）∈/Rik. 有了这个事实，我们可以看到，Ri1··Rik···=Δ。这意味着对于P的任意无穷序列PJ和任意R∈PJ，有indPJ= indP = ind（PJ−{R}）= Δ且PJ不是独立的。所以P也没有无限减少在这个例子中，我们有一 个R i={（1，i），（i，1），（1，1），···，（i，i）}<${（k，j）|k，j ≥ i+1}，R n={（1，n），（n，1），（1，1），···，（n，n）}<${（k，j）|k，j≥ n +1}（1，n）∈Rn，（1，n）∈/Ri，（i+1， n+1）∈Ri，（i+1， n+1）∈/Rn. So，Rn<$Ri和Ri、Rn.由此可见，P是一个反链。例6.3LetU=N+ 对于一个论域，P={R1，· · ·，Rn，· ··}是U上的等价关系的集合，使得U/R1 ={{1}，{2，3，· ··}}，U/R2 为{{1， 2}，{ 3， 4，· ··}}，U/R3={{ 1， 2， 3}，{ 4， 5，· ··}}，· ··，U/Rn={{ 1，2，· · ·，n}，{n+L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）1391491， n+2，· ··}}，· ··。 Rn是一个等价的概念。 我们将讨论知识库K =（U，P）如何将其自身作为约简。150L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139i=1i=1事实上，我们已经U/Ri={{1， 2，· · ·，i}，{i+ 1， i+ 2，· ··}}，U/Rn={{1， 2，· · ·，n}，{n+ 1， n+ 2，· ··}}和[1]Ri={1， 2，· · ·，i}，[1]Rn={ 1， 2，· · ·，n}，[n+1]Ri={i+1，i+2，· ··}，[n+1]Rn ={1，2，···，n}{n+1， n+2，· ··}。因此，[1]Rn<$[1]Ri和[n+1]Ri<$[n+1]Rn。这是一个很好的例子是反链设Rm∈P. 当i×=m时，（m，m +1）∈Ri. 所以（m，m +1）∈ ind（P −{R m}）. 很容易看出，indP ={（x，x）|x ∈ U}= Δ ×=ind（P− {R m}）。所以P是独立的，P是自身的约化。例6.4增加另一个等价关系R0={（x，x）|x ∈ U}= Δ to P在例6.3中，我们得到一个新的知识库KJ=（U，P <${R0}）。很容易看出，P和{R0}是K j的两个约化，一个无限，另一个有限。综上所述，我们看到例6.1-6.4中的等价关系族P分别是一个没有归约的链，一个没有归约的反链，一个只有自身作为归约的独立反链，以及一个既有有限归约又有无限归约的知识库。很容易证明核心（K）对任何（抽象）知识库都是可解的（K然而，对于一个无限的知识库，下面的例子表明，它的核心例6.5设K =（U，P）为例6.2中的无限知识库，没有约简使得ind（K）=Δ。设KJ=（U，PJ），其中PJ= P <${Δ}. 然后{Δ}是K j的约化，这是K j的唯一约化。K j的所有约化的交集为Δ。然而，K j中的每个元素都不是必需的，并且core（KJ）=×={Δ}。其次，我们给出了一个例子来说明，一个抽象的知识基础上的无限宇宙U例6.6设U是无限集合，P = 2 U是抽象知识库。然后P没有饱和还原。事实上，如果P0是P的饱和约化，那么很容易看出U∈P0且nx∈U，U− {x}∈P0. 第555章当你是一个|F|2 ，我们有一个U\F∈/P0. L e tAu是一个无限集合。那么，我们有一个（U-A）<${x}∈P=P0<$. 所以有有限个元素P1，· · ·，Pn∈P0，（U −A）<${x}=<$n P i. 则U −A =（U −A）n P i是P0中与U−A不同的有限元素的交集。根据5.5号提案，U−A∈/P0. S o，P0={U−{x}|x∈U} <${U}. 因为P00的子集都是无限的，P00=×2U，这是一个矛盾！因此，P确实没有饱和减少。第三，我们给出了饱和约化的一些简单应用的例子L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139151P4142U633323323例6.7求出2 {a，b}的不同子半格的个数。设P是2 U的子半格，U={a，b}. P有一个非零饱和约化P0<$P，它是U的一个子集族，使得每个P∈P0，P不是P0的其它元素的交.根据命题5.4，P0也是P0的饱和还原.所以每个子半格唯一地确定U上的子集族P0，使得P0是它自身的饱和约化。反之，极小饱和族唯一地决定子半格0π。所以，为了计算出2 U的不同子半格的个数，我们需要计算出不同极小饱和族的个数。 设U={a，b}，n2U={a，{a}，{b}， U}，有1个元素的不同极小饱和族的个数为C = 4，有2个元素的不同极小饱和族的个数为C2= 6（链或反链）， 3个元素是C1+ 1 = 3，因为在这种情况下，族必须包含U，并且如果它们不包含u，则它们不同时包含{a}和{b};如果它们不包含u，则其他三个元素确实是最小饱和的。因为2不是最小饱和的，所以具有3个元素的不同最小饱和族的数目是0。所以异子半格的个数是4 + 6 + 2 + 1 = 13。例6.8设U ={a，b，c}是一个论域。计算U上不同拓扑的个数。我们首先证明，当|U| ≤ 3，拓扑的饱和约化P0PonU已关闭。非空联合体其实当|U|= 1，2，很容易检查。当|U|= 3，则对任意一对两个元素A，B∈P0，若A<$B=U或A，B可比较，显然A <$B ∈ P0。如果A、B不能比较，当|=1，则A = B或A、B之一是n且A ≠ B是P 0中的A或B;当|= 1, then A = B or one of A, Bis ∅ and A ∪ B is A or B in P0; when|=2，则A <$B ∈ max（P \ { U }）<$P 0.|= 2, then A ∪ B ∈ max (P \ {U })⊆ P0.所以当|U| ≤ 3时，U上每个拓扑的饱和约化是闭的. 非空联合体有了这个结果，我们来考虑这个例子。设U={a，b，c}。U={a，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}. U上的Ea ch拓扑唯一地决定了它的饱和约化.饱和度降低是最小饱和的，包含U并且相对于t是闭合的。非空联合体因此，要计算出U上不同拓扑的个数，就是要计算出满足以下条件的族P的个数：（1）最小饱和，（2）包含U，（3）相对于t闭。非空联合和（4）饱和联合构成了一个新的系统。设P0是这样的一个族.然后(i) 若P0有1个元素，则P0的个数为0;(ii) 若P0有2个元素，则P0={U，U}，P0的个数为1;(iii) 若P0有3个元素，则（a）当n ∈P0时，P0的个数为C1= 6，（b）当n∈/P0时，P0的个数为C1=3;(iv) 若P0有4个元素，则（a）当n∈P0时，P0的个数为C2+C1C1=9，（b）当n∈/P0时，P0的个数为C3+C1C1+C2=10;(v) 如果P0有5个元素，则P0不是最小饱和的。所以U上不同拓扑的个数就是P0的个数，现在是0 + 1 + 6 +3+9+ 10+0 =29。152L. Xu，J.Zhao/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 301（2014）139注意，对于有限U，|U|> 3，拓扑的饱和度降低-U上的ogyP非空联合体例如，设U={ 1， 2， 3， 4}，P={1，{ 1}，{ 2}，{ 1， 2}，{ 1， 2， 3}，{ 1， 2， 4}，U}。 则P0={{1}，{ 2}，{ 1， 2， 3}，{ 1， 2， 4}，U}是P的饱和减少。显然，P0不是闭合w.r.t.非空联合体引用[1] 程其祥，张殿洲，等.基本实函数与泛函分析。北京：高等教育出版社，2003. (in中文版）[2] R. Engelking，General topology，Warszawa：Polish Scienti fic Publishers，1977.[3] G. Gierz，K. H. Hofmann，K. Keimel，J. D.劳森，M。Mislove，D. S. 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