神经微分方程用于降阶模型的流体动力学模拟

环境水动力学1Peter Rivera-Casillas，2Matthew W.Farthing，11美国陆军工程研究和发展中心，海岸和水力实验室，维克斯堡，MS，2美制加仑陆军工程研究和发展中心，信息和技术实验室，维克斯堡，MS，1，2{sourav.dutta，peter.g.rivera-casillas，matthew.w.farthing} @ erdc.dren.mil摘要用于流体流动模拟的模型降阶在许多科学和工程领域中仍然具有极大的在这里，我们探讨了神经常微分方程的使用，这是一个最近引入的连续深度可微网络家族（Chenet al. 2018），作为一种在降阶模型中传播潜在空间动力学的方式。我们比较他们的行为与两个经典的非侵入性方法的基础上适当的正交分解和径向基函数插值以及动态模式分解。我们考虑的测试问题包括不可压缩绕流圆柱以及在河流和河口系统的浅水流体动力学的实际应用。我们的研究结果表明，神经常微分方程提供了一个良好的框架，稳定和准确的演变的潜在空间动力学的外推预测的潜力。然而，为了促进它们在大规模系统中的广泛采用，需要做出重大努力来加快它们的培训时间。这将使超参数空间的更全面的探索，以建立广义的神经ODE近似在广泛的系统动力学。介绍尽管硬件有改进的趋势，标准离散化程序的算法效率也有显著提高，但对于涉及控制（Proctor、Brunton和Kutz 2016 ） 、 最 优 设 计 和 多 保 真 度 优 化（Peherstorfer、Willcox和Gunzburger 2016）和/或不确定性量化（Sapsis和Majda 2013）的几种决策应用，由非线性偏微分方程控制的工程系统的高保真数值模拟仍然带来了令人望而却步的计算挑战（Quarteroni、Manzoni和Negri 2016）。降阶模型（ROM）提供了一种有价值的替代方法来模拟此类动态系统，大大降低了计算成本（Benner，Gugercin和Willcox 2015）。缩减基（RB）方法（Quarteroni，Manzoni和Negri2016）构成了一系列广泛流行的ROM技术，通常使用离线-在线分解范式实现。离线阶段涉及版权所有© 2021，本文由作者所有。根据国际知识共享许可署名4.0（CC BY 4.0）允许使用.由一组RB“模式”跨越的依赖于解的线性基空间的构造RB最著 名的提取 简化基 的方法被 称为本征 正交分解（ POD ） （ Sirovich1987; Berkooz ， Holmes ， andLumley 1993），当流的相干结构可以根据它们的能量含量进行分级在传统RB方法的在线计算阶段，采用降阶RB模态的线性组合来逼近新的流动参数配置的高保真解计算膨胀系数所采用的程序将这些方法分为两大类：侵入式和非侵入式。在侵入式RB方法中，膨胀系数由简化的或阶方程组的解确定，该方程组通常通过高保真（全阶）系统在RB空间上的Galerkin或Petrov-Galerkin投影获得（Lozovskiy、Farthing和Kees 2017）。 通常，这种投影和解决方案涉及高保真模拟器的修改，因此标签是侵入性的。 对于线性系统，Galerkin投影是最流行的选择。然而，在存在非线性的情况下，必须恢复非线性（或非仿射）微分算子的仿射展开，以便使基于投影的简化模型的评估独立于高保真解的自由度的数量几种不同的技术，统称为超还原方法（Amsallem et al.2015年，他提出了解决这个问题的方法。这些方法包括经验插值法（EIM）、其离散对应DEIM（Chaturantabut和Sorensen 2010）、除了需要超简化以重新覆盖效率之外，在复杂的非线性问题中，在使用基于Galerkin投影的方法的降阶期间，高保真度模型中存在的一些固有结构可能丢失也是常见的。这是因为Galerkin投影方法固有地假设由高保真模型的截断表示生成的残差与缩减的基空间正交^^包含M个高分辨率的快照的集合，.Σ˜˜×RR {}× R˜移除岛e. ，vk=vk−v，其中v=^不不不这导致在简化表示中损失了高阶非线性相互作用项。这可能导致定性错误的解决方案或不稳定问题（Amsallem和Farhat 2012 ） 。 作 为 补 救 措 施 ， 已 经 提 出 了 基 于Petrov-Galerkin投影的方法（ Carlberg，Bou-Mosleh和Farhat 2011; Carlberg et al.2013; Fang等人，2013）。非侵入式降阶模型（NIROM）是解决侵入式ROM框架中的不稳定性和效率损失这类方法的主要优点是可以避免对描述物理模型的源代码进行复杂的修改，从而在无法使用遗留或专有源代码时更容易开发简化模型。 在这些方法中，代替Galerkin型投影，约化解的展开系数通过在从快照数据提取的约化基的空间上插值来获得。然而，由于减少的动力学一般属于非线性，矩阵流形，各种插值技术已被提出，能够强制执行的约束特征，这些流形。已经提出了基于回归的非侵入式方法，其中包括使用人工神经网络（ANN），特别是多层感知器（Hesthaven和Ubbiali2018 ） ， 高 斯 过 程 回 归 （ GPR ） （ Guo 和 Hesthaven2019）和径向基函数（RBF）（Audouze，De Vuyst和Nair 2013）来执行插值。在这里，我们将探索一种基于神经ODE传播潜在空间动力学的替代方法，神经ODE是一系列连续深度的可微网络，可以被视为ResNets在零离散化步长限制下的扩展（Dupont，Doucet和Teh 2019）。我们的方法的细节如下。此外，我们考虑了两种NIROM技术-a）基于POD的线性降维和基于径向基函数（RBF）的潜在空间演化，以及b）动态模式分解机器学习技术可以在这些阶段中的任何阶段引入例如，许多工作已经探索了使用基于深度学习的方法，如自动编码器，作为引入非线性降维替代方案的一种方式（Lusch，Nathan Kutz和Brunton 2018;Ghorban-idehno等人。2021年）。 将这些方法与数据驱动的潜在空间传播（例如，通过完全连接或递归神经网络）相结合，可以实现完全非侵入性的方法（Gonzalez和Balaeuvicz2018）。另一方面，也可以将非线性降维与侵入投影相结合，以创建混合方法（Lee和Carlberg 2020; Kim等人2020）。在这项工作中，我们研究了三种不同的数据驱动策略，用于在线性降维的背景下精确学习系统动力学。 在前两种方法中，我们采用POD技术来识别最优全局基。 对于潜在空间演化，我们利用基于核的多变量插值方法称为径向基函数（RBF）插值，和机器学习策略设 计 用 于 时 序 数 据 的 顺 序 学 习称 为 神 经 常 微 分 方 程（NODE）。在第三种策略中，ROM开发的三个阶段通过使用被称为动态模式分解（DMD）的经典模式分解技术结合在一起，该技术由Koopman模式理论的严格数学分析支持。本征正交分解POD是一种流行的技术降维（An- toulas和Sorensen2001）的动力系统的解决方案流形，通过确定一个线性减少的空间，由正交基与相关的能量层次。（Taira etal.2020）提供了POD的优秀概述以及与其他降维技术的比较。考虑快照矩阵S =[v1，. . . ，vM] ∈ RN ×M从时间t= 0到t=T的解流形，使得(DMD)这将作为我们数值实验的基准approach.然后，我们进行了几个数值实验-vk∈ RN是具有时间平均值的第k个快照Σ^i=1M基于圆柱体周围不可压缩流的部分，浅水流体动力学，以评估该方法方法标准的ROM开发框架通常包括平均解POD程序的目标是确定-定义一个线性子空间χ= span ∈1，. . .，r，（r M），其关于L2-范数最优地逼近解流形。POD基可以有效地提取，通过执行一个镜头矩阵S=θ，其中θ=dia g（σ1，. . . ，σR）为分为三个阶段：1. 低维潜在（或降阶）空间的识别2. 确定所述非线性的潜在空间表示，一个R × R对角矩阵，其奇异值按大小降序排列，σ1≥σ2。. . ≥ σR并且minN，M是S的秩。<Θ和θ是N和M矩阵，其列是S的正交左奇异向量和右奇异向量，使得动力系统的简化基础和模态系数系统的演化建模Θθ=IR= 矩阵Θn的列θn为和3. 在高保真空间中进行重建以进行验证和分析。对应于奇异值σn，这些提供所需的POD基础。令Θ表示Θ的前m列的矩阵，θ是包含θ的前m列的矩阵，并且θ是包含θ的前m列的对角矩阵。Mvi是时间-vv+Θz=v+zθ，（1）i˜∈{1}|−}^.ΣΣ^centers和α（k=1，. . . ，N）是未知的插值函数。≥从k开始的前m个奇异值，则在时间tn的高保真解vn可以近似为，Mn nn ii=1其中znRm是相对于约化基的模态系数向量。模态系数矩阵当zll=0，. . .，M1使得Ni=Ne=M，并进行一些简化假设，得到M个方程的对称线性系统，以求解未知的插值系数αj，kAαj= gj，其中j = 1，. . . ，m，（4）其中Z=ΘTS构成了我们用于潜在空间学习方法的训练数据由于埃卡特-杨-米尔斯基理论[An，k] = [φ. n，k = 0，. . . M −1，rem，POD基提供了快照矩阵S的最佳秩m近似S =Θ_m_T，具有期望的精度水平τ P_OD。POD方法已成功应用于统计学（Jolliffe 1986）、信号分析和模式识别（Deheuvels和Martynov 2008）、海洋模型（Vermeulen和Heemink 2006）、空气污染模型（Fang etal.2014）、对流Boussinesq流（San和Borggaard 2015）和浅水方程（SWE）模型（Stefanescu、Sandu和Navon2014; Lozovskiy等人2016年）。潜空间演化在本节中，我们概述了两种非侵入性的方法，用于在POD基定义的潜在空间中对时间序列数据的演变进行RBF插值是一种经典的、数据驱动的、基于核的方法，用于计算与给定的多元数据一致的近似连续响应曲面。第二种称为NODE的技术是一种基于神经网络的方法，用于预测向量c随时间的连续演化，旨在保留架构内的记忆效应。径向基函数插值为简单起见，将模态系数z的时间演化表示为半离散动力系统，zstec=f （z，t ），其中z0=ΘTv0−v<$（2）其中关于时间动态的所有信息（包括高保真解算器的任何数值稳定的效果和所有非线性项）f（z，t）中。在POD-RBF NIROM框架（Dutta等人，2020）中，代替Galerkin投影，时间导数函数f j（j = 1，. . . ，m）的估计。αj=[αj，0，. . . ，αj，M-1]T，gj=[gj，0，. . . ，gj，M−1]T.系数αj定义了一个唯一的RBF插值，然后可以用来近似方程。（2）并生成模态系数演化的非侵入式模型在这项工作中，一阶前向Euler格式被用于时间导数的离散，并且严格地隐定Ma te′rnC0knel，g iven由φ（r）=e-cr已被采用，其中r是欧几里得距离c是RBF形状因子（Fasshauer 2007）。采用RBF插值对模态系数的潜在空间演化进行建模已被证明是非常成功的，用于非线性、时间相关偏微分方程（PDE）（Xiao et al. 2015; Dutta et al. 2020）、非线性、参数化PDE（Audouze、De Vuyst和Nair 2013; Xiao etal. 2017）和空气动力学形状优化（Iuliano和Quagliarella2013），仅举几例。递归神经网络（RNN）架构（如LSTM和GRU）通常用于对时间序列数据进行编码并预测未来状态，因为它们的内部存储器保留架构允许它们在输入数据序列上合并状态信息。尽管RNN在自然语言处理任务取得了巨大的成功，但它们在高保真科学计算应用中的成功相对有限 （ Ferrandis et al.2019; Wang ， Ripamonti 和Hesthaven 2020），因为已经观察到RNN生成的(Chen等 人 ， 2018 ） 。 对 于 ResNet 等 深 度 神 经 网 络（DNN），特征在网络深度上的演化相当于使用前向欧拉方法求解常微分方程（ODE），例如dz=F（z，θ），并且这种情况令Fj表示时间导数的RBF近似DTResNet的体系结构和数值接口之间的联系函数fj，由Ni的线性组合定义径向基函数φ的实例，Ni（三）grators已被（Ruthotto和Haber 2019）和其他人详细探索已经提出了几种其他深度学习方法来学习ODE和PDE。这些包括使用基于PDE的网络（Long，Lu和Dong 2019），训练-Fj（z）=k=1αj，kφ（n =z−^zkφ），j=1，. . . ，m，使用物理信息的软惩罚约束（Raissi，Perdikaris和Karniadakis 2019）和使用稀疏其中，|k = 1，. . . ，N i}表示插值集，j，k i对应于模态系数的第j个分量的第k个中心的振型系数。 这些插值系数的计算是通过强制插值函数F j精确匹配的时间导数的模态系数在N e测试点（N e N i）。从快照选择相同的中心正 则 化 和 回 归 （ Brunton et al.2016; Champion et al.2019），仅举几例。Chen et al.（2018）提出了一种称为ODE-Net的“连续深度”神经网络，它可以用可训练的ODE求解器有效地替 换 ResNet 类 架 构 中 的 层 。 这 种 神 经 微 分 方 程（ NODE ） 方 法 的 存 储 效 率 和 稳 定 性 在 （ Gholami，Keutzer和Biros 2019; Dupont，^^Σ Σ ΣΣ∈∂ωDz程序可概述如下：^Doucet ， and Teh 2019 ） and others. （ Maulik etal.2020）应用NODE框架获得了一维平流激波问题和一维Burgers湍流问题的ROM的隐空间NODE的其他一些值得注意的近期应用包括从时间相关数据中识别ODE或PDE模型（Sun，Zhang和Schaeffer 2020），不规则间隔时 间 序 列 数 据 的建模（ Rubanova ， Chen 和 Duvenaud2019），视频信号中时空信息的建模（Kanaa等人，2019年）。2019年）。Finlay等人（2020）使用最优传输理论和稳定性正则化的组合提出了一种可以在大规模数据集上有效训练的神经ODE生成模型。在这里，我们进一步探讨POD-NODE方法的应用，以复杂的，现实世界的流动，其特征在于系统的二维，非线性偏微分方程。我们假设高保真动力系统的模态系数在潜空间中的时间演化可以使用（一阶）ODE来建模dz0d在 这 项 工 作 中 ， 我 们 利 用 Tensorflow Eagergithub.com/Execution平台上运行的TFDiffEq（https：//www.example.com titu 1994/tfdiq）库来训练NODE模型。虽然单层架构保证了根据通用近似定理的上限（Barron 1993），但由于其可能改善更复杂的非线性动力学的表达能力，还探索了具有多达四层以及几个线性和非线性激活函数的更深的网络（Zhang et al.2019年）。采用RMSProp进行损失最小化，初始学习率为0。001，具有一系列可变衰减时间表的阶梯衰减函数，以及动量系数为0。第九章通过使用伴随方法以及通过直接通过ode求解器的隐藏步骤反向传播梯度，获得了所有数值实验的相当精度的NODE预测。然而，对于大规模训练数据，后一种方法可能会导致内存问题，特别是在GPU节点上计算时。动态模态分解作为比较的最后一点，我们考虑动态模式dt=F（t，z（t）），其中z（0）=z，z∈R，d ≥ 1.（五）目标是获得动态函数的NN近似函数F，使得dt_n_net（t，z）=F（t，z，ω）.充分分解（DMD）。DMD是一种数据驱动的ROM技术，表示复杂非线性系统的时间动态的nique（Schmid 2010;Kutz et al.（2016年）作为几个线性演化的空间1. 计算模态系数的时间序列[z0，. . . ，zM−1]对于t ∈ {0，. . . ，M − 1}，其中zk∈ Rm.2. 初始化动态函数F（t，z，ω），其中ω表示初始NN参数。3. 通过以下步骤迭代优化NN参数。(a) 通过求解方程，计算模态系数（5）使用标准常微分方程积分器作为，z<$M−1=ODESolve（F，ω，z0，t0，tM−1）（6）(b) 的 免费 参数 的 的 节点 模型{ω。，t0，tM−1}。求可微损失函数这 与 无 限 维 Koopman 算 子 的 特 征 向 量 密 切 相 关（Koopman 1931; Mezic ′ 2013）。考虑以下快照矩阵，其包含高维动力系统的几个时间上均匀分布的快照：X=v0v1。. . vM−1，X′=v1v2。. . VM其中vkRN是第k个解快照，N是离散化系统的空间自由度，M是时间快照的总数。DMD涉及识别将上述矩阵关联为X′= AXX的最佳拟合线性算子AX，并计算其特征值和特征向量。使用Moore-Penrose伪逆（†）计算A X的最小二乘近似可能会带来计算挑战，这是由于LODESo lve（F^，ω，z0，t0，tM−1）−zM−1.离散动力系统为了提高计算效率，(c) 为了优化损失，计算相对于自由参数的梯度与通常的反向传播算法类似，这可以通过首先计算精确DMD算法（这里采用）通过将算子投影到由POD获得 的 简 化 空 间 上 来 避 免 计 算 Moore-Penrose 伪 逆（†），如（Alla梯度为εL/ε^z（t），然后a执行反向和Kutz 2017）。近年来，Koopman模式理论提供了一个钻机-遍历ODE积分器的中间状态。 对于内存高效的实现，伴随方法（Chen et al. 2018）可以用于通过求解用于增广状态向量b=[L，L，L]T的伴随系统来反向传播误差。在描述振荡和其他非线性动力学问题中使用DMD的有效模态分解的理论背景（Rowley et al.2009年）。已经提出了DMD算法的几种变型（Proctor，病房及时从tM−1至 t0.^z阿勒特Brunton，and Kutz 2016; Kutz，Fu，and Brunton 2016;Alek-seev等人2016年; Le Clainche和Vega 2017年），并已(d) 在前一步骤中计算的梯度ω L（t=0）用于通过使用优化算法（如RMSProp或Adam）来更新参数ω4. 动态函数的训练节点近似可用于计算模态系数时间轨迹的预测。成功地应用于确定非线性，时间相关问题的最佳全局基模式的有效ROM技术（Bistrian和Navon 2015，2017）。对于非参数化偏微分方程，DMD提出了一个有效的框架，结合了ROM开发的所有三个阶段，以最优最小二乘学习线性算子以固定频率振荡的相干模式，以及⊗⊗.Σ× −\−≈道理啊然而，这种方法不能直接应用于参数化的问题（Alsayyari等人。2021年）。数值实验在本节中，我们首先评估了不同NODE架构对不可压缩Navier Stokes方程（NSE）表征的基准流问题的性能，然后 进 一 步 评 估 了 所 有 三 个NIROM 模 型 对 浅 水 方 程（SWE）控制的两个实际应用的相对性能。POD-RBF和DMD NIROM训练运行在Macbook Pro 2018上进行，具有2. 9GHz 6核英特尔酷睿i9处理器和32 GB 2400 MHzDDR4内存。NODE模型在Vulcanite上进行串行训练，Vulcanite是美国的一种高性能计算机美国陆军工程研究与发展中心（ERDC-DSRC）。Vulcanite配备NVIDIATesla V100 PCIe GPU加速器节点，每个节点拥有32G内存。圆柱绕流这个问题模拟了通过具有圆形障碍物的2D管道的时间周期性流体流动。流动区域是带有半径r = 0的圆孔的矩形管。05，表示为n = [0，2. 2] [ 0. 2，0。21]B r（0.2，0）。的流量由以下因素控制：拉乌t+·u=0（8）其中u表示速度，p表示压力，是由a给出的外积（并矢积）b=abT，以及v= 0。001是运动粘度。无滑移边界条件沿下壁和上壁指定位置，在圆形障碍物的边界在左壁上规定了抛物线流入速度剖面，u（0，y）=4U（0. 21− y）（y − 0. （2）、0、（9）0。412右壁面为零梯度出流边界条件。 高保真度的模拟数据获得与Open-FOAM使用非结构化网格与14605节点在Re =100，这样的流动表现出冯卡门顶点的周期性脱落。 对于t =[2. 五五0]秒，其中t = 0。008秒，并且对于t =[2.五六0]秒，其中t= 0。002秒。大量的NODE架构和hyperpa，rameter配置被训练了50000个epoch，最好的8个模型的细节在表1中给出。从精度和效率两方面考虑，四阶龙格-库塔法是从固定步长的欧拉法、中点法到自适应步长的Dormand-Prince（dopri 5）法的最佳选择。在所有可用的线性和非线性激活函数中，由于激活函数的性质，网络当输入状态向量的每个元素被单独缩放为在[ 1，1]中有 界 时 ， 发 现 具 有 发 现 （ Dupont 、 Doucet 和 Teh2019）中概述的输入状态的修改对培训没有显著影响与阶跃衰减函数或指数衰减函数配对的RMSProp优化器被发现同样有效。然而，需要进一步的数值实验来研究交替的一阶和二阶优化方法的效率。衰减步骤的数目在5000至25000之间以离散增量变化，并且衰减速率在0.1至2.5之间变化0.9人被调查据观察，较低的初始学习率（0。001）与较大的衰减步长和较小的衰减速率（或反之亦然）相结合，导致期望的训练轨迹。图图1示出了使用最佳的8个NODE模型获得的压力和x速度解的第1、第3和第5潜空间模态系数的演变。所有模型都能以比训练数据更精细的时间分辨率生成准确的预测，即使在训练数据之外（5 ≤ t≤ 6秒）进行外推时，也能与高保真解决方案保持良好的一致性。图1：圆柱体示例中潜在空间中的NODE模型比较图2比较了两个最佳NODE模型在高保真度空间中的空间均方根误差（RMSE）的时间轨迹，其中两个最佳NODE模型具有使用r= 20和r= 8的截断水平获得的两个DMD NIROM解。令人鼓舞的是，尽管NODE解是使用与具有较小截断水平（r= 8）的DMD解大致相当的潜在空间表示来计算的，但它们在精度上优于粗略截断的DMD解。此外，与使用一阶Euler时间离散化训练的POD-RBF解不同，NODE解没有表现出任何随时间的准确性显著损失，即使在训练区域之外进行预测。然而，重要的是要注意，与生成POD-RBF或DMDNIROM模型相比，任何新NODE架构的训练时间都非常长（见表1），步数，速率∈≡Id层单位法。LR衰变扩展增强MSE训练范围1-4 32-512线性，relu，5000-25000,表1：圆柱体示例的最佳NODE架构。所有模型都使用四阶Runge-Kutta求解器和RMSProp优化器进行了50000次训练，初始学习率为1 e-3，动量为0.9。通常在大多数情况下需要不到一分钟 如此长的训练时间可能对设计空间的主动探索以获得最佳架构和超参数构成重大挑战，并且可能阻碍采用现有包进行自动化架构搜索。因此，协调一致的努力需要针对加速NODE的训练时间和约束的设计空间的先验识别有前途的架构。美国加利福尼亚州的海湾。AdH高保真模型由N= 6311个 节 点 组 成 ， 在 尾 水 高 程 入 流 边 界 处 使 用NOAA/NOSCo-Ops网站获得的潮汐数据，并且在其他地方没有流动边界条件。进一步的细节可在（Dutta etal.2020年）。训练空间使用在t= 41分钟至t= 50小时之间以t= 100秒的时间间隔获得的1801个高保真快照来生成预测的ROM解决方案是计算相同的时间间隔，时间间隔为50秒。维度为265的潜在空间是通过使用POD截断容限0.02τPOD = 5×10−7（对于每个溶液组分）。的RBF0.010.002.53.03.54.04.55.05.56.0版本时间（秒）0.020.002.53.03.54.04.55.05.5 6.0版本时间（秒）NIROM近似使用形状因子c = 0计算。01. 作为NODE模型的输入提供的模拟时间点被归一化为位于t[0，1]中。The ‘dopri5’图2：最佳NODE模型的RMSE与圆柱体示例的DMD的比较浅水方程接下来的两个数值例子涉及由深度平均SWE控制的流动，该SWE用保守的剩余公式表示为：在时间上向前和向后 从圆柱体示例的结论中学习，部署由具 有 256 个 神 经 元 的 单 个 隐 藏 层 组成的网络，并 且RMSProp优化器的初始学习率为0。001，阶梯衰减率为0。5每5000个时期，和0的动量。9用于训练模型超过20000epoch。对于DMD NIROM，将模拟时间点归一化到单位时间步长，并使用r= 115的截断水平来计算DMD本征谱。Rq+px+埃斯特尔·埃斯特尔y+r= 0，（10）埃什基图3显示了ux的NIROM解决方案（顶行），t= 17. 36小时和相应的误差图。图4示出了针对图1中所示的方法的空间RMSE随时间的变化其中，状态变量q=[h，ux h，uy h]T由流深h以及x和y方向上的流量组成，分别由ux h和uy h关于通量矢量px、py和高保真度模型方程的进一步细节可在（Duttaet al.2020年）。SWE的高保真数值解是使用自适应液压（AdH）有限元套件的2D深度平均模块获得的，AdH有限元套件是美国陆军工程兵团（USACE）用于2D和3D动态的高保真有限元资源（Trahan et al.2018年）。圣地亚哥湾的潮汐流。本数值算例涉及圣地亚哥湾潮汐流的模拟。深 度 （ 左 ） 和 x 速 度 （ 右 ） NIROM 解 决 方 案 。 NODENIROM解决方案具有与DMD NIROM解决方案相当的精度，并且与RBF NIROM解决方案不同，不会随着时间的推移出现任何明显的误差累积。最后一个数值例子涉及到应用二维SWE来模拟美国路易斯安那州红河的一段河流。AdH高保真模型使用N=12291个节点，上游有自然流入流速条件，下游有尾水高程边界，沿河岸无水流边界。更多细节参见（Duttaet al.2020年）。Xelu tanh.0.1-0.9NODE11256elu10000，0.3没有没有8.87e-424时45分NODE21256tanh5000，0.7是的没有9.01e-424时56分NODE31512elu5000，0.5没有没有8.86e-424时39分节点41256tanh一万，零点二五是的是的9.02e-422时97分NODE5464tanh5000，0.5是的没有9.19e-427时98分0.05DMD（20）：pNODE 3：p0.06DMD（20）：v节点3：vx0.04DMD（8）：pNODE 5：pDMD（8）：vxNODE5：vx0.030.04t=17.36小时时的RBF溶液0.90163u<1.09034t=17.36小时的0.90537u<1.07212t=17.36小时时 的NODE溶液0.96310u<1.06566t= 3.61 小 时 时 的 RBF 溶 液0.18894u<0.31979t=3.61 小 时0.35848u<0.61996t= 3.61 小 时 时 的 NOD E 溶 液0.24505u<0.32397(a) 径向基函数ux1.000.750.500.250.000.250.500.75(b) DMDux1.000.750.500.250.000.250.500.75(c) NODEux1.000.750.500.250.000.250.500.75(a) 径向基函数ux0.20.10.00.1(b) DMDux0.50.40.30.20.10.00.10.2(c) NODEux0.30.20.10.00.10.20.020851<径 向 基 函数 u误差0.030679Rel.误 差 2-标 准 ：0.0130620.024461

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