回归随机森林精确匹配响应变量的空间预测方法

地球科学中的人工智能1（2020）11回归随机森林空间预测的E_X弗朗基·富埃吉奥AngloGold Ashanti Australia Ltd.，成长与探索，140街。Georges Terrace，珀斯，澳大利亚，A R T I C L E I N F O保留字：EXact conditioningMonte Carlo sampling多高斯空间预测主成分分析随机森林A B S T R A C T回归随机森林正在成为一种广泛使用的空间预测机器学习技术，在各种地球科学领域显示出具有竞争力的预测性能。与其他流行的空间预测机器学习方法然而，竞争对手的方法，如回归克里金法，通过构造完美拟合了采样位置的响应变量在许多地球科学应用中，通常需要在采样位置匹配响应变量的测量值。本文提出了一种新的方法，确保回归随机森林完全匹配的响应变量的观察值在采样位置。其主要思想包括使用主成分分析，以创建一个正交表示的回归树预测结果从传统的回归随机森林的合奏然后，精确的条件问题被重新表述为一个贝叶斯线性高斯问题的主成分得分。这个问题有一个分析解决方案，可以轻松地对新的主成分得分执行Monte Carlo采样，然后重建回归树预测因子，这些预测因子与采样位置处响应变量的观测值完全重建的回归树预测器的平均值还通过构造精确地匹配响应变量在采样位置处的测量值。所提出的方法的有效性是illustrated一方面使用合成数据集，其中地面实况是在研究区域内的任何地方，另一方面，使用一个真正的数据集，包括英格兰西南部的地球化学浓度数据。并与回归克立格法和传统的回归随机森林法进行了比较看来，所提出的方法可以完美地拟合响应变量的测量值在采样位置，同时实现良好的样本预测性能相比，回归克里格和传统的1. 介绍地球科学中的一个常见问题是在整个研究区域内预测在研究区域内的几个采样位置测量的感兴趣的物理量。 空间预测用于许多地球科学领域的有效决策，包括地质学，地球物理学和地球化学。当辅助信息在研究区域内随处可见时，在各种地球科学领域中使用回归随机森林进行空间预测的兴趣越来越大。回归随机森林是一种基于随机回归树集合的机器学习集成方法，通过平均组合（Breiman，2001）。它在空间预测中的流行依赖于它能够有效地处理许多预测变量，处理复杂的非线性关系和相互作用，并且需要较少的数据预处理。回归随机森林已被证明与几项研究工作中的空间预测相关，包括Fouedjio和Klump（2019），Szatm'arianddP'asztor（2019），Veronesi和Schillaci （ 2019 ） ， Hengl 等 人 （ 2018 ） ， Vaysse 和 Lagacherie（ 2017 ） ， Vermeulen 和 Niekerk （ 2017 ） ， Barzegar 等 人 。（2017），Kirkwood et al. （2016 a），Taghizadeh-Mehrjardi et al.（2016），Ballabio et al. （2016），Khanet al. （2016），Wilford etal. （2016），Hengl et al. （2015），Appelhans et al. （2015）、Li（2013）和Li et al. （2011年）。与其他流行的空间预测机器学习技术一样，回归随机森林在训练阶段并不完全匹配响应变量在采样位置的观测值。这种特性在许多地球科学应用中通常是不期望的，包括采矿和石油勘探，其中它对建模矿体和石油储层感兴趣。竞争对手的方法，如回归克里金法，在采样位置完美拟合响应变量的观测值（Hengl等人，2004; Chiles和Delfiner，2012）。在这篇文章中，一个新的方法，确保回归随机森林的准确条件。所提出的方法通过一步一步的方法实现了精确的条件。首先，像往常一样对数据执行传统的回归随机森林，电子邮件地址：ffouedjio@anglogoldashanti.com。https://doi.org/10.1016/j.aiig.2021.01.001接收日期：2020年11月18日;接收日期：2021年1月7日;接受日期：2021年2021年1月13日在线提供2666-5441/©2021作者。出版社：Elsevier B.V.代表科爱通信有限公司公司这是CC BY-NC-ND下的开放获取文章许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。可在ScienceDirect上获得目录列表地球科学中的人工智能杂志主页：www.keaipublishing.com/en/journals/artificial-intelligence-in-geosciencesF. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1112表1合成数据示例-模拟参数。均值协方差函数类型比例门槛生成回归树预测器。其次，对回归树预测器的集成进行主成分分析（PCA）。第三，精确的条件问题被重新表述为一个贝叶斯线性高斯问题的主成分得分。这个问题-lem有一个解析解，使其易于进行蒙特卡罗X1立方40 5X2·5球形40 5X3·5 CardinalSine 2 5X4·5 K-Bessel（外形1）11 5ε·0 EXponential 6.5 175对新的主成分得分进行采样，然后重建回归树预测器，这些预测器完全拟合采样位置处的响应变量一个合成数据集，其中地面实况在研究区域和真实数据集内可用Fig. 1. 合 成 数据示例-（a）、（b）、（c）、（d）解释变量和（e）响应变量。F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1113图二. 合成数据示例-n/41000个观测值的训练数据集。F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）11142gFGB图3. 合成数据示例-B¼ 10000无条件第一PC评分和T ¼ 1000有条件第一PC评分。包括英格兰西南部文章的其余部分组织如下。第2节描述了应用拟议方法所需的不同要素。第3节说明了所提出的方法的有效性上的合成数据集以及一个真实的数据集。并与回归-克里格法和传统的回归随机森林法进行了比较。第4节是结论性意见。2. 方法设fYs：s2DRdg是在感兴趣的空间域Dd上定义的实值响应变量。设X1s;以下术语也用于指响应变量：目标变量，因变量，结果变量，解释变量。一预测变量通常也被称为解释变量或因变量或协变量。设fY<$s1<$;目标是使用回归随机森林来预测由多个网格位置N表示的空间域D上的响应变量，使得响应变量的预测值与空间域D上的响应变量的预测2.1. 回归随机森林回归随机森林是一种集成学习方法，它创建了许多回归树模型，这些模型是从训练数据的自举样本构建的（Breiman，2001）。它还通过随机选择预测变量的一个子集来考虑每个节点上的分裂点选择，从而在树生长过程中注入一些随机性。 该操作减少了在执行分割时选择相同的强预测变量的机会，从而避免回归树变得过度相关。将多元回归树预测器编织在一起以减小预测方差并提高预测精度。 该方法预测的值是所有单个回归树预测因子的平均预测值。与大多数机器学习技术一样，回归随机森林有一些可以优化的自由参数其中包括树的数量，在每个节点随机选择的预测变量的数量，每个回归树中样本的观测比例，以及回归树终端节点中的最小观测数量。这些自由参数通过交叉验证进行优化。在实践中，不需要调整决策树的数量;通常建议将其设置为较大的数量，从而允许预测误差收敛到稳定的最小值（Hengl等人， 2018年）。回归随机森林的实现是使用R包完成的ranger（Wright和Ziegler，2017）和tuneRanger（Probst等人， 2018年）。响应变量是的是的，是的，不同的成分需要实施亲-设fY~b≠0：s2Dg b¼1;是回归树的集合，本节中描述了设定的方法该实现在R平台中实现（R Core Team，2020）。从传统的回归随机森林的训练产生的指标。在此阶段，单个回归树预测因子及其平均值不一定与测量的响应变量相匹配F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）11152gXLfg2fgðLL图四、 合成数据示例-训练数据集中响应的观测值与响应的预测值，用于（a）回归克里金法，（b）传统回归随机森林，和（c）建议的回归随机森林。采样位置的值接下来的步骤包括使用回归树预测器fY~b的集合：s2Dgb1;...; B来重建与采样位置处的响应变量的观测值完全匹配的单个回归树预测器。通过构造，它们的平均值也精确拟合响应变量在采样位置的观测值。2.2. 主成分分析在传统回归随机森林模型的训练之后，下一步包括对回归树预测器集合fY~bb*s：s2Dgb<$1;...; B执行主成分分析，该回归树预测器集合被D. 这导致以下有限维分解：LY~bαb;lls;8s2D;b¼1;l¼1其中fαb;lgl<$1;提供了一个将图像集合分解为一组本征图像fls：s2Dgl<$1;...; L 和一 组系 数f α b ; l gl <$1;...; L 的方 法。 必须强调的是，在PCA中本征函数被认为是固定的，而系数被认为是随机的。 同样重要的是要强调，PCA更多地用作正交分解方法，而不是降维技术，因为所有的本征函数都被保留，如等式所示。（一）.PCA的双射性质允许从系数重建回归树预测器。换句话说，一旦使用了所有的主成分因子和分数，就可以重建图像。2.3. 贝叶斯-线性-高斯问题如前一节所示，给定回归树预测器集合的PCA分解让^YsXβs;8s2D（ 2）fls：s2Dgl1L是主成分因子（或特征函数），l¼1...tions）;L ¼ minutesB; N.fY~b<$s<$：s2Dg可以解释 为图像，fY~bs：s2Dgb1;...;B也作为图像的集合。因此，Eq. （一）其中βl l1;...; L是随机系数; β l s：s D l 1 ;...; L是在等式中定义的本征函数。（一）.重要的是要注意，所有的本征函数都被考虑在内，所以没有截断。F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1116ð Þ ¼ ð Þ¼¼ ðÞ¼ ½ []j ð j Þ吉吉e0^10这里的目标是对系数β¼XB的向量进行l¼不...1图五、 合成数据示例-（a）回归-克里金法、（b）传统回归随机森林、（c）建议回归随机森林和（d）地面实况。使得Y s P L 1 β l ls^公司简介αb-μ表在采样位置处的观测值，即，Ys iY s i;i 1;.;n. 这个精确的条件可以重写如下：（3）第二节其中，Y<$Y s1;探索一个随机和方便的方式与方程的解空间。假设系数β β1;..0Σ2等式（3）和（4）定义贝叶斯线性高斯问题（Scheidt等人， 2018;Tarantola，2013）。该问题有一个解的条件是L<$$>min ≤B;N<$>n。实际上，网格位置的数量大于采样位置的数量（Nn）。所以有一个解决方案，B>n. 重要的是要强调，鉴于采样的数量低-阳离子n，总是可以有B>n，因为B是回归随机森林中的自由参数。设fβY为βY的概率密度分布根据贝叶斯规则，f β Y也是多元高斯分布，均值和协方差由下式给出（Scheidt et al.，2018; Tarantola，2013）：E½βjY]1 /4μmF0μmF0μm-1μmY-Fμm（ 6）βe f ππ 2ππ-L=2。j-1=2exp-β-μ-1β-μ（四）（7）其中，平均值μ∈½β]和协方差矩阵XμVar½β]为由于fβY是多元高斯分布，使用从回归树的PCA导出的PC得分fαb;lg计算在Eq中给出的预测器（一）. 具体来说，MonteCarloj是从这个分布的一个分支。山姆的一代使用R软件包rockchalk执行plesfβcgt1TfβjY不...“1XB#Bb¼1αb;l（Johnson，2019）。给定蒙特卡罗样本fβcgt1T，结构化回归树预测器由下式给出b¼1μ¼;l¼1;F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1117L2不CBCct01t;lL0不不 0不^t¼1;（八）3. 实例图第六章 合成数据示例-测试数据集中响应变量的观测值与响应变量的预测值，用于（a）回归克里金法，（b）传统回归随机森林，和（c）建议的回归随机森林。.Y轴对称轴; Xβ轴对称轴;与;t;1βt;1;βt¼大于B。未采样位置s0D处的预测是通过对来自所有单个重建回归树预测器的预测进行平均来进行的Ybs1X^Ys（9）t1/2所提出的方法的能力，完全匹配的响应变量的采样位置的观测值说明使用合成和真实的数据集。使用一些众所周知的预测精度标准，与回归克里金法和传统的回归随机森林法进行预测性能比较（Hengl等人，2018）：平均绝对误差（MAE），均方根误差由于所有个体重建回归树预测器fYt检验：s2Dgt1;值，其平均值fYs：s2Dg也是如此。PC评分fαbgb<$1;（1）被称为无条件PC分数，RMSE）、决定系数（R-square）和Lin MAE和RMSE越低，模型越好。 R-square和CCC越接近1，模型越好。其中fβcg在方程中（8）称为条件PC分数。重要的是为了强调T相对于B没有约束;T可以更小，或者表2合成数据示例-测试数据集中的预测性能统计数据标准回归克立格法传统随机森林随机森林Random ForestMae12.6912.0111.05RMSE16.8615.6614.40r平方0.880.900.91CCC0.930.940.95F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1118图第七章 真实数据实例-一些预测变量：（a）海拔，（b）陆地卫星8波段6，（c）重力测量高通滤波布格异常，（d）伽马射线光谱测定法的钾计数。图八、 真实数据示例-（a）响应变量（Ga浓度），以及（b）训练和测试位置。F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1119图第九章 真实数据示例-B <$10000无条件第一PC评分和T <$1000有条件第一PC评分。F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1120...×¼[8s2½0;100]（10）不t¼1;半]ð·Þð·Þ ð·Þ ð·Þ ð·Þð·Þt t¼1;见图10。真实数据示例-训练数据集中响应3.1. 合成数据示例数据生成过程由以下基础模型给出：fY~b=1：s2½0;100]2gb110000人建成。根据Sect.2，对该集合进行主成分分析，然后对新的PC分数进行Monte Carlo采样，以确保精确调节。生成T1/4 1000个新PC分数s s2sodium bicarbonateXsodiumbicarbonate2-50 sodiumbicarbonateXsodiumbicarbonate;从而给出T1/41000重建（新）回归树的集合YX140X1X2342预测因子nYs：s2½0;100]2o，其中Y是响应变量;X1、X2、X3和X4是预测变量;ε是潜在（未观测）变量。预测变量在空间域0; 100 2上模拟为高斯各向同性平稳随机场，平均值和协方差函数见表1。 有关高斯随机场的背景，请参见Chiles and Delfiner（2012）。 使用R包RGostats包（Renard等人， 2020年）。在研究域内的任何地方都可以获得地面实况的该模拟数据示例是指响应变量和预测变量之间存在非线性关系的情况，其中预测变量之间存在一些相互作用。此外，响应变量显示出一定的空间自相关性，其分布不是高斯分布。图1表示100100规则网格上的合成数据。随机抽取n1000个观测值，作为训练数据，如图所示。（二）、其余数据（9000个观察结果）保留用于测试。回归随机森林是在训练数据上执行的，其中大量回归树设置为B1/4 10000。因此，B1/410000回归树预测器的集合响应变量在采样位置的观测值。重建的（新的）回归树预测因子的均值预测也与响应变量在采样位置的观测值完全匹配。预 处 理 前 的 PC 评 分 （ 无 条 件 PC 评 分 fαbgb<$1;PC分 数 fβcg）如图3所示。在该图中，由于条件作用，条件PC评分的点云比无条件PC评分的点云更不分散。事实上，无条件PC分数对其可能的值没有限制。 它们可以是整个欧氏空间中的任何点。然而，由等式定义的线性约束集（3）为条件PC得分产生可能值的凸可行域因此，条件PC分数不能是欧氏空间中的任何点。图 4显示响应变量的观测值与预测值值的训练数据，在回归克里格，传统的回归随机森林，和建议。人们可以有效地注意到，传统的回归随机森林并不能完美地拟合训练数据，而回归克里金法和提出的回归随机森林则可以。图5呈现了空间预测图F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1121¼¼见图11。 真实数据示例-（a）回归克里格法、（b）传统回归随机森林和（c）建议回归随机森林的空间预测图。由回归克里格法、传统回归随机森林和建议的回归随机森林提供。回归克里格法的空间预测图不同于传统的回归随机森林和提出的回归随机森林。特别是，回归克里金的空间预测图比其他两种更平滑。从传统的回归随机森林和建议的回归随机森林产生的空间预测地图的整体外观看起来非常相似。然而，由于所提出的回归随机森林的精确条件，存在一些局部差异回归克里格法、传统回归随机森林法和建议回归随机森林法在测试集中的预测性能如图所示。表6和表2。可以注意到，所提出的回归随机森林的性能优于回归克里金法和传统的3.2. 真实数据示例感兴趣的真实数据集包括英格兰西南部的地球化学浓度数据（Kirkwood等人，2016年b）。我们感兴趣的目标变量镓（镓）的浓度，这是在568个位置上的空间域的利益。 预测变量包括海拔、重力、地磁、地球资源卫星、辐射及其导数，共计26个预测变量。 一些预测变量如图所示。第七章 图8 a表示响应变量的测量值。如图所示，将数据分为训练集（约80%）和测试集（约20%）图8 b.估计的回归随机森林模型是B10000回归树预测器的集合PCA应用于该集合，随后是Monte Carlo抽样结果，以获得无条件和有条件PC分数，如图所示。9;生成T1000条件PC评分。图10显示了回归克里金、传统回归随机森林和建议回归随机森林的训练数据的条件性能。正如在模拟数据示例中注意到的那样，回归克里金和提出的回归随机森林完全适合数据，而传统的回归随机森林则不适合。回归克里格法、传统的回归随机森林和建议的回归随机森林提供的空间预测图如图所示。 十一岁回归-克里格法的空间预测图不同于其他两这些后来的空间预测图的一般外观看起来非常相似。然而，人们注意到由于所提出的回归随机森林的精确条件而导致的一些图图12和表3显示了回归-克里金法、传统回归随机森林和建议的回归随机森林对测试数据的预测性能。本文提出的回归随机森林方法比其他两种方法具有更好的预测性能。因此，所提出的方法可以精确地匹配响应变量F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1122图12个。 真实数据示例-测试数据集中响应变量的观测值与响应变量的预测值，用于（a）回归克里金法，（b）传统回归随机森林和（c）建议的回归随机森林。表3真实数据示例-测试数据集上的预测性能统计数据标准回归克立格法传统随机森林随机森林Random ForestMae2.872.742.63RMSE3.793.593.46r平方0.570.610.64CCC0.740.750.784. 总结发言这篇文章提出了一种方法，保证回归随机森林完全匹配响应变量在采样位置的观测值，就像竞争对手的技术，如回归克里金法。对于由传统回归随机森林得到的回归树预测子集合，通过主成分分析和蒙特卡罗抽样相结合的方法实现了精确条件化。结果，获得了一个新的回归树预测器集合，该集合完美地拟合了响应变量回归树预测器的这个新集合的平均值也通过构造精确地匹配响应变量所提出的方法的有效性已被证明在合成和真实的数据集。 它可以完美地拟合响应变量在采样位置的测量值，同时与回归克里金和传统的回归随机森林相比，具有良好的样本外性能。 它很容易实现，因为它结合了众所周知的现有机器学习和Monte Carlo抽样方法。如前所述，在回归树的数量大于采样位置的数量的情况下执行精确调节尽管如此，它总是可以满足这个约束，因为回归树的数量是一个自由参数。回归树的数量也应该足够大，以便在执行精确条件时能够很好地覆盖解空间。所提出的方法依赖于回归随机森林来执行精确的调节。因此，人们期望所提出的方法在有利于回归随机森林的情况下提供更好的预测性能，如响应变量和预测变量之间的非线性关系以及预测变量之间的一些相互作用在因变量和预测变量之间存在线性关系的情况下，回归克里格等竞争对手的技术可以表现得更好。所提出的方法可以用于任何空间维度（例如，2D和3D）。它可以在响应变量为分类变量的情况下扩展精确的条件反射可以按照Fouedjio等人的想法来实现。（2020年）。F. 富埃吉奥地球科学中的人工智能1（2020）1123竞合利益不存在利益冲突致谢作者感谢匿名审稿人和编辑的有益和建设性的意见，极大地帮助改进了手稿。引用Appelhans，T.，Mwangomo，E.，Hardy，D.R.，Hemp，A.，Nauss，T.，2015.评估机器学习方法在山月气温插值。乞力马扎罗山，坦桑尼亚。Spatial Statistics 14，91- 113.巴拉比奥角，Panagos，P.，Monatanarella湖，2016.利用卢卡斯数据库绘制欧洲尺度的表土物理特性图。 Geoderma 261，110- 123.巴泽加尔河Asghari Moghal，A.，Adamowski，J.，Fijani，E.，2017.预测地下水中氟化物污染的机器学习模型比较。 随机环境研究和风险评估31（10），2705- 2718。布莱曼湖，2001年随机森林马赫学习. 45，5- 32。Chiles，J.P.，Del finer，P.，2012.地理统计学：空间不确定性建模。John Wiley&个儿子Fouedjio，F.，Klump，J.，2019.地统计学和机器学习方法中空间数据预测不确定性的探索。环境地球科学78（1），38。Fouedjio，F.，Scheidt，C.，杨湖，杰夫，C.，2020.使用截尾多元正态分布的Gibbs抽样对线性不等式约束下的分类空间变量史托奇Environ.资源风险评估网址：http：//doi.org/10.1007/s00477-020-01925-7Hengl，T.，Heuvelink，G.B.，Stein，A.，2004.基于回归克里格法的土壤变量空间预测的一般框架。Geoderma 120，75- 93.Hengl，T.，Heuvelink，G.B.M.，Kempen，B.，李纳斯JGBWalsh，M.G.，Shepherd，K.D.，Sila，A.，麦克米伦，R.A.，Mendes de Jesus，J.，塔梅内湖Tondoh，J.E.，2015年。以250米分辨率绘制非洲土壤特性：随机森林显著改善了当前的预测。 PloS One 10，1- 26.亨一，T.，Nussbaum，M.，Wright，M.，Heuvelink，G.， Graler，B.，2018年随机森林作为 空 间 和 时 空 变 量 预 测 建 模 的 通 用 框 架 。 PeerJ6 ： e5518 。https://doi.org/10.7717/peerj.5518网站。约翰逊，体育，2019.回归估计和表示。URL.岩石粉笔。https：CRAN.R-project.org/package<$rockchalk. r包版本1.8.144。Khan，S.Z.，苏曼，S.，Pavani，M.，Das，S.K.，2016.基于泛函网络的粘土残余强度预测。 Geoscience Frontiers 7，67- 74.柯克伍德角，凯夫，M.，比米什，D.，Grebby，S.，Ferreira，A.，2016年a。地球化学制图的机器学习方法。J. 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